下载文档原格式
传奇教师孙维刚教学“秘方”孙维刚，从1962年开始任教于北京二十二中学，直至2002年去世。
孙维刚老师生前系全国著名数学特级教师，曾被评为建国50年来50位“首都楷模”之一，北京市十大杰出教师，北京市模范班主任，全国十佳师德标兵，全国十佳职业道德标兵，全国先进工作者等。
《教育》杂志社曾在北京师范大学主办了“孙维刚实验班教学模式10年研究成果新闻发布会”，介绍课题已取得的系列成果。
发布会上，课题组负责人马国忠（现为郑州维纲中学校长）表示，他们正试图利用10年来的研究成果再创奇迹。
1998年，北京市教育委员会、东城区教育委员会发起了向孙维刚学习的倡议，并成立“孙维刚教育思想研究基金”。
2002年孙维刚逝世后，几十名教育专家、400多名优秀教师又继续参与了研究工作，梳理孙老师从教40年的教育思想，不断研究、总结和提炼孙维刚老师教学经验背后的科学规律和运用的操作方法，并希望能形成一整套便于素质教育推广的模式和方法。
“一年可以学完三年课程”——方法才是学习捷径孙老师训练学生“一题多解、多解归一、多题归一”，就是在训练学生大脑的思维能力，让学生能够站在系统的高度看问题，进而升华到从哲学的角度认知世界，从而形成强大的学习能力。
所以，孙老师带的实验班，不单数学成绩名列前茅，其他各科成绩也有显著提高。
课题组实验教师将孙老师的教学思想在各个学科进行应用，也取得了显著的教学效果。
马国忠表示说：“孙维刚老师教数学时，可以让学生半年多学完三年的数学课程。
经过近十年对孙维刚老师教学经验背后的科学规律和运用的操作方法的研究，提炼出来一个提高学生智力素质的基本模型。
经过两个月的训练，学生便可以熟练掌握，可以在一年内学完三年的所有课程。
”如果能在一年内学完三年的所有课程，这无疑完全颠覆了传统的学习进度。
课题组通过研究孙维刚的教学经验发现，各学科的思维结构和思维原点是相通的、有规律可循的，从这些思维原点中能够提炼出一个包含4种基本学习能力的基本模型：发现研究对象的能力、围绕研究对象确定研究角度的能力、寻找知识之间联系规律的能力、建构知识网络制作联系导图的能力。
《孙维刚高中数学》内容简介本书是著名的数学教育家孙维刚老师的著作，涵盖了现行高中数学教育大纲中所要求掌握的内容，是孙老师三轮实验班的教材。
本书立足于对高中数学中基础知识的分析把握，以及对方法和思想的指导，在详述概念后，引申概念外围的规律、方法，以及解题思考规律。
书中提出，学好数学必须站在系统的角度看问题，力求一题多解、多解归一（结论一个）、多题归一（善于总结），善于用“动”的观点思考问题（做到“风物长宜放眼量”），这对开启学生的数学智慧，掌握科学的学习方法、思维规律，提高学习效率有很大的帮助。
本书可作为教师和学生的辅导用书或自学教材。
目录第一篇怎样学好高中数学第1章热爱数学，学好数学一、热爱数学，是学好数学的前提与途径二、学好数学，需“醉翁之意不仅在酒”第2章站在系统的高度学习一、理解概念要深入本质，注意抓住知识之间的联系二、在类比中发现和谐，简化记忆第3章把知识的学习、能力的培养、素质一、主动学习二、注意学习、积累和掌握数学方法与思想第4章各类知识学习方法示范一、概念与基础知识的学习二、公式、定理的学习三、一个单元的学习与小结四、一个数学方法（数学归纳法）的学习和小结五、一个思考方法的学习和小结第5章学会做题一、题不求多，但求精彩二、讲究做题的方法第6章学会复习. 一、培养做小结的习惯和能力二、有效地进行高中数学总复习第二篇高中数学各章学习指要Ⅰ 重要概念、基础知识、方法、思想一、有关命题的知识二、充分条件和必要条件三、数学归纳法四、反证法五、同一法六、换元法七、列方程组的方法八、待定系数法九、配方法十、转化归结思想十一、动的思想方法——换个角度看问题十二、对称的观点和思想十三、数形结合的方法Ⅱ 高中代数第7章幂函数、指数函数和对数函数一、学习指导二、解题思考方法小结第8章三角函数、三角变换、反三角函数与三角方程一、学习指导二、解题思考方法小结第9章数列与数学归纳法一、学习指导二、解题思考方法小结第10章不等式一、学习指导二、解题思考方法小结第11章复数一、学习指导二、解题思考方法小结第12章排列、组合、二项式定理一、学习指导二、解题思考方法小结Ⅲ 微积分初步第13章极限一、学习指导二、解题思考方法小结Ⅳ 立体几何第14章直线和平面一、学习指导二、解题思考方法小结第15章多面体和旋转体一、学习指导二、解题思考方法小结Ⅴ 平面解析几何第16章直线一、学习指导二、解题思考方法小结第17章圆锥曲线一、学习指导二、解题思考方法小结第18章坐标变换一、学习指导二、解题思考方法小结第19章参数方程、极坐标一、学习指导二、解题思考方法小结第三篇学会考试一、做好应考前的准备二、学会在考场上科学应对三、养成检验习惯，积累检验方法，提高检验能力四、分析一份综合练习，看对待难题的态度和方法第四篇解题思考分析的再示范一、示范一二、示范二三、示范三四、示范四后记。
解读孙维刚初中数学教学秘方!在初中数学教学领域，孙维刚老师的教学方法堪称独树一帜，成效显著。
他的教学秘方不仅让学生在数学学习上取得了优异的成绩，更培养了学生的思维能力和综合素质。
那么，孙维刚老师的初中数学教学秘方究竟是什么呢？首先，孙维刚老师极其重视知识的系统构建。
他认为，数学知识不是孤立的点，而是相互关联的网络。
在教学中，他会引导学生梳理知识脉络，将看似零散的知识点串联起来，形成一个有机的整体。
比如，在教授代数时，他会将方程、函数、不等式等内容结合起来，让学生明白它们之间的内在联系。
通过这种方式，学生能够更深入地理解数学概念，掌握知识的本质。
孙维刚老师强调让学生站在系统的高度去学习知识。
他会在课堂上带领学生回顾已学知识，找到新知识与旧知识的连接点，从而实现知识的迁移和拓展。
例如，在学习三角形的相似时，他会先引导学生回顾三角形全等的相关知识，让学生发现相似与全等之间的相似之处和不同点，这样学生在学习新内容时就不会感到陌生和突兀，而是能够自然而然地接受和理解。
其次，孙维刚老师注重思维能力的培养。
他认为，数学学习不仅仅是掌握知识，更重要的是培养思维。
他通过各种方式激发学生的思维火花，让学生学会思考、善于思考。
在课堂上，孙维刚老师常常提出一些具有启发性的问题，引导学生进行深入思考。
这些问题不是简单的“是什么”，而是“为什么”和“怎么样”。
例如，在讲解一道数学题时，他不会直接给出答案，而是让学生自己去分析题目中的条件，思考解题的思路和方法。
他会鼓励学生提出不同的解法，然后一起探讨哪种解法更优，为什么优。
通过这种方式，学生的思维得到了锻炼，解题能力也得到了提高。
孙维刚老师还注重培养学生的创新思维。
他鼓励学生敢于质疑、敢于提出不同的观点。
他认为，只有在不断的质疑和探索中，学生的思维才能得到真正的发展。
比如，在学习某个定理时，他会引导学生思考定理的条件是否可以放宽，结论是否可以进一步推广。
这种创新思维的培养，让学生在面对新的问题时能够灵活运用所学知识，创造性地解决问题。
解读传奇教师孙维刚教学“秘方”现代教育报近日，《教育》杂志社在北京师范大学主办了“孙维刚实验班教学模式10年研究成果新闻发布会”，介绍课题已取得的系列成果。
发布会上，课题组负责人马国忠表示，他们正试图利用10年来的研究成果再创奇迹。
1998年，北京市教育委员会、东城区教育委员会发起了向孙维刚学习的倡议，并成立“孙维刚教育思想研究基金”。
2002年孙维刚逝世后，几十名教育专家、400多名优秀教师又继续参与了研究工作，梳理孙老师从教40年的教育思想，不断研究、总结和提炼孙维刚老师教学经验背后的科学规律和运用的操作方法，并希望能形成一整套便于素质教育推广的模式和方法。
他担任班主任的班级中，40名学生有22人考上北大、清华，而在当年升入中学时，这个班2/3的学生，成绩低于区属重点中学的录取分数线。
这个奇迹就是被中国基础教育界誉为传奇教师、被授予“全国十大师德标兵”荣誉的北京市特级教师孙维刚创造出来的。
“一年可以学完三年课程”方法才是学习捷径孙老师训练学生“一题多解、多解归一、多题归一”，就是在训练学生大脑的思维能力，让学生能够站在系统的高度看问题，进而升华到从哲学的角度认知世界，从而形成强大的学习能力。
所以，孙老师带的实验班，不单数学成绩名列前茅，其他各科成绩也有显著提高。
课题组实验教师将孙老师的教学思想在各个学科进行应用，也取得了显著的教学效果。
马国忠表示说：“孙维刚老师教数学时，可以让学生半年多学完三年的数学课程。
经过近十年对孙维刚老师教学经验背后的科学规律和运用的操作方法的研究，提炼出来一个提高学生智力素质的基本模型。
经过两个月的训练，学生便可以熟练掌握，可以在一年内学完三年的所有课程。
”如果能在一年内学完三年的所有课程，这无疑完全颠覆了传统的学习进度。
课题组通过研究孙维刚的教学经验发现，各学科的思维结构和思维原点是相通的、有规律可循的，从这些思维原点中能够提炼出一个包含4种基本学习能力的基本模型：发现研究对象的能力、围绕研究对象确定研究角度的能力、寻找知识之间联系规律的能力、建构知识网络制作联系导图的能力。
孙维刚老师数学教学法一、以德育促进智育。
德育只是为了高效形成想要达成的环境服务而已。
“德育的成功，将有力地促进开发智育的进程；而德育的苍白或紊乱，将滞误智育工作顺利地进行”（孙维刚语）二、一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）孙维刚训练学生，一要“敢”提问题；二要“会”提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。
别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。
初中三年便提前学完了高中的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。
初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。
而孙维刚学生的成绩，总是和“付出”之间有一道“不等式”：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。
孙维刚到底靠什么呢？他说：“我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。
”在孙维刚的书橱里，记者找到了一摞大硬皮本。
数数共有二十二个（但这只是其中一部分）。
上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。
他为学生开创了解题的“三级跳”：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。
三、在可见的系统中学习，知道自己还缺什么，知道自己已拥有什么。
达到知己知彼。
魏书生认为，教学中首先应当帮助学生解决“学什么”的问题。
为此，他与学生多次讨论、商量，画出了语文学科的知识结构图，整理成了支干、小杈、叶子的系统，即所谓“语文知识树”，或叫“知识地图”。
这样做就能使学生“当思维的车在知识的原野上奔驰时．有了这张‘地图’，目标才能明确，少走冤枉路”。
孙维刚则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：一、每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；二、在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；三、在系统中进行教学。
《名师孙维刚的教学理念》--县中学数学名师工作室教研活动讲座稿陈财贵一、孙维刚其人孙维刚任教于北京二十二中学，自1980年开始，他进行了从初一到高三的三轮半六年一循环教学教育改革实验，经过20年的长期探索、反复实验和比较研究，取得了大面积、全方位、高质量的育人实践成果和理论成果，被评为全国十佳模范教师，认为是中国智力素质培养之父。
孙维刚进行了为期17年的三轮教学改革实验，彻底颠覆传统教学模式，快速提高学生智力素质，最大限度激发学生自主学习潜能，形成了一整套便于推广的模式和方法，他所带的一个普通班，都是基础较差、其他学校不要的学生，通过他独树一帜的创新教学，高考成绩一届比一届出色：第一轮班，除1人外，高考全部上线；第二轮班，高考平均分达534分，40人中15人考入北大、清华，那一年，东城区达到600分以上的考生，有一半来自这个班。
第三轮班，40人中的22人55%升入北大、清华，全班40名同学平均分为558.67分，数学平均分为117分，38人达到全国重点大学录取线，600分以上的9人，而在当年升入中学时，这个班2/3的学生，成绩低于区属重点中学的录取分数线。
更重要的是，实验班的学生升入大学后，有相当数量的学生当了学生干部、拿到奖学金；绝大多数继续攻读了硕士、博士。
尽管这些学生升入初中时大都考不上重点校，但经过孙维刚6年的培养，不论是在大学里，还是毕业走上工作岗位，都是全面发展、备受称赞。
他先后出版了《全班55%怎样考上北大、清华》、《我的三轮教育教学实验》、《孙维刚数学》等专著。
一怪：学生多是别人挑剩的全班55%升入北大、清华的那个班，都来自普通工薪家庭，在当年升入中学时，这个班2/3的学生成绩低于区属重点中学的录取分数线，基本上都是其他学校挑剩下的“碎沫儿”。
二怪：一年学完三年的课程孙维刚实验班，初一新生9月份入学到第二年3月，仅用半年多时间便学会了初中三年的全部数学课程！带着红领巾的初一学生参加北京数学中考，全班数学平均分超过北京市中考的数学平均分10分！三怪：课上没笔记，课后没作业更令人吃惊的是，当别的学生点灯熬油，在题海中苦苦挣扎，而孙维刚的学生“课前不用预习、课上没有笔记、课后没有作业”，而且每天保证八九个小时的睡眠四怪：学习后劲足，全面素质高很多大学生高分低能，而孙维刚实验班的学生升入大学后，很多人当了干部、拿到奖学金；绝大多数继续攻读了硕士、博士。
传奇教师孙维刚总结的数学的4个大规律数学作为一门科学，其内部存在着各种规律和定律。
传奇教师孙维刚总结的数学的四个大规律如下：第一个大规律是变量规律。
变量规律是指数学中各种数学关系中的参量与结果之间的相互依赖关系。
在数学中，我们常常研究的是各种变量之间的关系。
例如在代数学中，我们研究的是各个未知数之间的关系；在几何学中，我们研究的是点、线、面之间的关系。
变量规律帮助我们建立了各种数学模型，对现实世界中的问题进行了描述和解决。
第二个大规律是对称规律。
对称规律是指一种相对平衡和平等的状态。
在数学中，对称规律非常重要，它存在于各种几何形状中。
通过对称规律，我们可以研究几何图形的性质，了解它们之间的关系。
例如，正方形的四条边是相等的，对称轴将正方形划分成两个完全相同的部分。
对称规律不仅在几何学中有着广泛的应用，在代数学中也有着重要的意义。
第三个大规律是周期规律。
周期规律是指一种重复出现的现象。
在数学中，周期规律存在于各种函数中。
例如正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的图像在一定的周期内重复出现。
周期规律不仅存在于函数中，也存在于各种数列和序列中。
通过研究周期规律，我们可以方便地计算各种数学问题，也能够更好地理解数学的本质。
第四个大规律是趋势规律。
趋势规律是指一种向着一些方向发展的态势。
在数学中，趋势规律存在于各种函数和图像中。
通过研究趋势规律，我们可以预测未来的发展趋势，从而做出相应的决策。
例如线性函数在图像上表现为一条直线，其斜率代表了函数的变化率，通过观察斜率的正负和大小，我们可以推断出函数的趋势。
趋势规律在数学中扮演着非常重要的角色，帮助我们理解事物的发展过程和趋势。
总的来说，数学的四个大规律，即变量规律、对称规律、周期规律和趋势规律，帮助我们了解数学的本质和应用。
通过研究这些规律，我们能够更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。
这些规律是数学领域的重要基石，也是我们学习数学的重要方向。
中国教育之父孙维世的教学方法孙老师启发学生学习数学，按自己归纳的四个“大规律”、十五个“中规律”，还有三四十个“小规律”去做；开创了解题的“三级跳”：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；并让学生熟练后，掌握自己研发的一个复合学习模型，这个复合学习模型是由六种复合学习能力组成，即理解概念的能力、研究概念的能力、理解原理的能力、研究原理的能力、审题解题的能力和研究试题的能力。
学生掌握了这个复合学习模型，提升的是自己的智力素质，这样就可以很轻松自在的运用到所有科目的学习中去，一理通，百理通。
更为重要的是，它使使学生在思维的根源上具备了面对问题、探索问题、解决问题的能力，它打开了思维的万千视角，让学生将这种领悟延伸到未来，受益终生。
孙老师的教学方法被称为“结构教学法”，讲究新知识和旧知识的比较与联系。
他并不担心学生的脑子够不够使，因为教师的任务就是造就学生发达的脑子。
在他的课上，基本上是先出题，写出公式，然后让学生上黑板演示，老师在一旁点评让学生学会寻找规律！孙维刚初中数学课程目录第一篇代数第1章代数初步知识一、学习指导二、例题第2章有理数一、学习指导二、例题第3章整式的加减一、学习指导二、例题第4章一元一次方程一、学习指导二、例题第5章二元一次方程组一、学习指导二、例题第6章一元一次不等式和一元一次不等式组一、学习指导二、例题第7章整式的乘除一、学习指导二、例题第8章因式分解一、学习指导二、例题第9章分式一、学习指导二、例题第10章数的开方一、学习指导二、例题第11章二次根式一、学习指导二、例题第12章一元二次方程一、学习指导二、例题第13章函数及其图像一、学习指导二、例题第14章指数一、学习指导二、例题第15章常用对数一、学习指导二、例题第16章解三角形一、学习指导第二篇平面几何第17章线段、角一、学习指导二、例题第18章相交线、平行线一、学习指导二、例题第19章三角形一、学习指导二、例题第20章四边形一、学习指导二、例题第21章面积、勾股定理一、学习指导二、例题第22章相似形一、学习指导二、例题第23章圆一、学习指导第三篇专题选讲第24章命题、点的轨迹第25章反证法和同一法第26章对称第27章解综合题。
中国教学的奇迹之孙伟刚教学法学习青西中学申文彬孙维刚的德育观点班上的学生与看自行车的老人发生了争执，孩子们觉得这个老人太不讲理了。
孙维刚得知后，还是严厉地批评了同学们。
他认为，一个上了岁数的老人能为学校看自行车，并摆放得整整齐齐，是不容易的事，同学即便被错怪，也不应与老人发生争吵，有失班风。
原本愤愤的学生们，被孙老师一席话说得心服口服。
他从来没有为学生的学习发过火，但常常为他们不认真劳动、不保持教室整洁等“小事儿”发过很大的脾气。
一位学生家长清楚地记得，孙老师曾为学生违反校规在操场上踢球而把家长请到学校。
当时他已身患癌症，体质相当虚弱。
有个别家长私下认为，为这事儿生这样大的气，是不是“小题大作”。
而当他们的孩子健康地成长为一名高中生时，他们才深切地体会到孙老师的用心。
初中三年的严格要求，使学生们由“被人管”到“不用管”，这正是孙老师的高明之处。
在孙维刚的班上，常常会有这样的事。
数学讲座后，孙老师给学生们布置了一项特殊的作业：回家后，向爸爸妈妈问一声好。
不为事大而惧之，不为事小而轻之，这就是孙维刚做人的原则，他也这样要求着自己的学生。
一位好老师，就是一面旗帜。
他在学生身上延续的绝不仅仅是知识，还有理想、意志和做人的准则。
当年高三(1)班的班长，后考入清华大学经济管理学院的王一，家境优裕，而中学放假时却要到赛特购物中心门前擦车，上大学后每月的生活费也不超过300元。
他说：“孙老师告诉我们，要热爱枯燥和痛苦，要耐得住寂寞，要学会享受不享受的享受。
”学生刘莉莉，一个非常善良的女孩子，通过希望工程牵线，她结识了两个家境贫寒的小姑娘。
每年春节，她都要把几百元压岁钱寄给远方的小妹妹。
考上北大后，她又将获得的数百元奖学金寄给她们，资助她们读书，而她自己的生活十分俭朴。
她说，她愿意做一个像孙老师那样使别人生活得更幸福的人。
她的家长也非常感激孙老师把一种崇高而美好的感情融入女儿的心中。
最遗憾的是江姐，没能看到可爱的孙儿——彭壮壮，在孙维刚的培育下已经成长为一个热爱祖国，具有很强责任感的优秀青年。
我曾仔细读过已故特级教师孙维刚老师的书，书里孙老师谈到如何在教学中利用结构教学法，让学生在学习中学会举一反三、融会贯通。
孙老师的学生们学习灵活性都很强，也都有很强的自学能力。
孙老师带的班成绩都好得惊人，最好的班有全班55%的同学考上清华北大，其余全是一类本科，更难得的是他从不布置课后作业，即使高三学生也能保证每天睡到8个小时以上，这简直不可想象，但是我们敬爱的孙老师，他做到了！在构建知识结构的过程中，我意识到如果能巧妙利用知识结构进行教学，将使教学效率大大提高，会有效减轻学生的课业负担，而且学生能保持优良的成绩——这是我一直孜孜不倦梦寐以求的。
因自身水平有限，还需要进一步学习，我想借这次机会好好来谈谈我研读孙老师的结构教学法的收获，好好研究一下如何灵活运用知识结构教学法来提高学生的学习效率，与各位教师，各位家长，各位同学共同学习和探讨，让同学们达到轻松学习，快乐学习的美好境界，使学生真正有时间进行丰富多彩的课外活动，除了文化课的学习，还能参加更多的体育，艺术，社会活动，使学生们健康快乐地成长。
孙老师在课堂上的魅力案例很多，在这里无法一一叙述。
我想把我仔细研读孙老师的书的收获和感受，以及孙老师的结构教学法的优点，其中最值得学生们学习的一些经验以要点的形式总结出来，如果有不妥之处，恳请有识之士斧正。
孙老师的结构教学法主要有以下几点经验非常值得学生们学习：1、学会找知识的新旧联系。
许多知识都是互相联系的，比如高中时要学的余弦定理，你就应该明白勾股定理就余弦定理的一个特例。
找到新旧知识的联系，那么数学就变得简单多了。
课堂上老师常会重复以前的知识，这时候你应努力找到新旧知识的联系，这样学习数学就变得简单而有趣了。
就像华罗庚说的，读书应有个过程——先把书读“厚”，再把书读“薄”，也就是说要善于总结规律。
孙老师则把站在系统的高度教学知识分成了三层意思：（1）每个数学概念、定理、公式等知识的传输，都是在见树木更见森林、见森林才见树木的状况下进行的；（2）在教学过程中，对任何细节都鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么，寻找它与其它事物之间的联系；（3）在系统中进行教学。
孙老师认为这种做法所起到的作用是：“使学生发现知识之间既盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌的一张网，而不再是一堆杂乱无章的瓦砾和一片望而生畏的戈壁滩。
”孙老师的教学方法被称为“结构教学法”，讲究新知识和旧知识的比较与联系。
他并不担心学生的脑子够不够使，因为教师的任务就是造就学生发达的脑子。
在他的课上，基本上是先出题，写出公式，然后让学生讨论，上黑板演示，老师在一旁点拨，让学生学会寻找规律。
比如在教三角形内角和定理的证明时，课本上只是延长三角形底边并做出一边的平行线，引导学生做出证明。
而孙老师则把问题交给学生，上来就让学生猜想三角形内角和是多少，再让学生提出自己的证明。
几种证法出来后，孙维刚再问：“那么多边形内角和是多少？”学生答：“(n-2)180°。
”“怎么证？”学生们踊跃举手，把几种证法写在黑板上，然后，由孙老师做总结，提到了证明所用的就是数学归纳法的思想。
数学归纳法是高二才接触的内容，在初一教学中就涉及了，学生接受得了吗？当然，孙老师并不指望学生能一下子就理解和掌握数学归纳法，而只是抓住时机对教材结构进行调整，有关知识和方法先“闪现”一下，做个埋伏，做个铺垫，以后还会“再现”，以激发学生的求知欲望，培养他们的探索精神。
孙老师花费不知多少不眠之夜，设计，编写的“结构教学”和配套教材，取得了极大的成功。
“结构教学”使学生成了课堂的主人，课后没有硬性的、繁琐的家庭作业，上课超前学一步，下课更轻松。
他的“结构教学法”，注重新旧知识的比较与联系，用他的话说是“八方联系，浑然一体；漫江碧透，鱼翔浅底。
”……六年的课程三年学完，学生接连在各种竞赛中获奖。
在他看来，生源的差别不应该成为影响教育成果的首要因素，只要方向对头，方法得当，我们的教育对象都能成为栋梁之才。
2、听讲要专心，专心的标准是什么？是精神集中，不走神吗？孙老师觉得这不是一个好的回答，只把精神集中到老师的讲授内容上，很可能是跟在老师的后面亦步亦趋，学生的思维即使在活动，也只是处在被动的状态。
孙老师的建议是：一个命题提出来了，自己先试着去判断它的真假；一个定理或公式写出来了，自己先试着去证明它；一个例题写出来了，自己先试着分析、解出它。
甚至在学习进程中自己设想，该提出什么命题了，该定义什么概念了，让思维跑在老师的前面。
如果达不到大幅度的超前，也要设想讲课的老师正在进行的推理的这句话的下一句会是什么。
孙老师在每届的数学教学中，要求学生做到如下几点：（1）几乎每道例题、每个定理、每个公式都是引导学生自己动手完成的。
（2）在课堂上要创造条件，造成学生总是想在老师前面、向老师(包括课本)挑战的氛围，让学生在思维运动中训练思维。
让一个个学生到前面来讲，促进了学生之间聪明才智的相互传染。
（3）从数学学科特点出发，在知识上指导学生注意追根究底，寻找知识之间的联系和规律，在比较中学习新知识，站在哲理的高度思考问题，注重联想。
（4）在解题中指导学生一题多解，多题归一，多解归一，归纳共性，分离个性，并总结出了一套科学有效的解题规律。
（5）提倡和指导学生开展问题研究，练习写论文、写总结。
（6）不能忽视回顾总结工作，学生完成作业后，要回顾、总结、反思，只有掩卷反思才会有所发现和优化。
（7）世上不存在没有“为什么”的事物，凡事需问“所以然”。
知其然，更知其所以然，凡事都要问一个为什么。
鼓励学生勇于探索大胆创新，各抒己见，展开争论。
孙老师认为：老师给学生讲题，如果只把题目的解法过程一步一步讲清楚，哪怕再细致明白，而讲不出这些解法步骤是怎么想出来的，对提高学生的解题能力，效果是不大的，甚至起消极作用。
要讲清楚自己当时的心绪和想法，在笨拙中学会反思，学会提出问题解决问题。
3、学习的四种基本能力组成了学习的基本模型。
孙老师训练学生，一要“敢”提问题；二要“会”提问题；三是在发现问题后，找出此知识与彼知识间的相互联系。
别人要花一个月，他们仅用三个半天便讲完了高中数学的118个公式。
初中三年便提前学完了高中的全部数学课程，而且还增加了许多课本上没有的内容和部分大学的数学课程。
初二上到一半，便可以优异的成绩答完前一年的高考数学试卷。
而孙老师的学生的成绩，总是和“付出”之间有一道“不等式”：课前不用预习，课上没有笔记，课后没有作业。
孙老师到底靠什么呢？孙老师说：“我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的。
”在孙老师的书橱里，有一摞大硬皮本，共有二十二个（但这只是其中一部分）。
上面画着三角、圆锥等各种几何图形，旁边则是密密麻麻的解题笔记。
孙老师每出一道题，自己要先做上10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的，让学生在课堂上讨论，不用预习，不留作业。
学生在讨论中感受到学习数学的乐趣，下课自己就会把找题解题当做一种乐趣。
这就是孙老师教学成功的秘诀。
孙老师为学生开创了解题的“三级跳”：一题多解（达到熟悉）、多解归一（寻求共性）、多题归一（寻求规律）；又是他为学生归纳了4个大规律，15个中规律，30多个小规律，使他们从初一到高三，从代数到几何，再没有不会做的题目了。
心理学研究可以证明，孙老师的结构教学法是有理论支持的。
心理学研究发现：学优生和学差生的知识组织是不一样的。
学差生头脑中的知识是零散的和孤立的，呈现水平排列方式、列举方式，而学优生头脑中的知识是有组织和系统的，知识点按层次排列，并且知识点之间有内在联系，呈现出一个层次网络结构。
可见如果知识在头脑中无条理地堆积的话，那么知识越多，越不利于问题的解决，就像是进入图书馆借书一样，当书按一定顺序整齐地排列着，那么书会很容易找到；但书如果无顺序、杂乱无章地堆放着，我们就很难找到需要的书。
有些家长会说自己孩子上课听讲很认真，也挺聪明，但就是考试不出成绩，上课听得很会，就是不会做题。
这到底是什么原因呢？其实这就是知识零散造成的结果。
结构乃是决定事物性质的重要因素。
知识的作用，主要不是知识量的作用，而是合理结构的作用。
在知识的应用、解决问题的过程中，并非独立的“某个单项知识”，而归根到底是整个知识结构在起作用。
学生学习课内外知识、获取信息，将这些知识、信息进行有目的的加工整理，即把个别的、零散的、无规律的知识、信息，进行分析、归纳、筛选，按其内在联系，分门别类，纳入相应的“知识库”中，使之结构化、系统化，形成网络。
这样，运用时可以准确、迅捷地从“知识库”中提取有效的知识信息解决问题，进而掌握《大纲》中应掌握的知识，形成《大纲》中应形成的能力。
不断地对新知识信息进行加工整理，并纳入相应的“知识库”，使之结构化、系统化，形成“知识网络”，简而言之：整理知识，这是建立合理的知识结构的关键环节。
它实际上包含这样的两个方面：（1）知识门类化，即对所获取的个别的、零散的、无规律的知识信息进行加工、筛选、并按其内在联系分门别类：（2）知识结构化，即将门类化的知识、信息纳入“知识库”中，使之结构化、系统化，形成知识网络。
合理的知识结构可以在运用时，快速、准确地提取有效的知识。
—个人是否真正把知识学到手了，要用“运用”来检查。
如果学了许多知识但不能在“运用”中表现出来，所贮存的知识不能根据需要成为进一步学习和解决实际问题的智慧和力量，那就是没有把知识学到手。
引导学生建立合理的知识结构，就是为了帮助学生快速提取，充分运用己掌握的知识，使知识发挥作用。
美国心理学家布鲁纳认为，记忆保持的重要问题不是贮存而运用时“如何把用到的知识易于提取”，“易于提取”的关键又在于“对知识的组织”。
因此掌握知识的人要善于把所掌握的知识进行科学安排，到需要时即能知道在何处提取。
这让人们想到图书馆的运作情况了。
当你走进一座相当规模的图书馆，藏书几万、几十万、几百万乃至上千万册，想借一本书，只要你递上索书单，工作人员就能从数以万计、十万、百万乃至上千万计的茫茫书海中，快速、准确地找到它，让你如愿以偿。
为什么能这样迅速而准确地做到呢?最根本的一点是：图书馆中的每本书，并非零散的，无系统性、规律性的，而是按某种结构标准进行划分归类，使它们从属于各自的类目。
工作人员就是以这为基础，根据这些，从相应的不同级别的书库中、书类目中准确快速地找到它的。
试想如果你不提供这本书所在的类目情况；如果图书馆的数以万计，乃至上千万计的书没有进行有目的的整理，分门别类，而是随意堆放，毫无规律性、结构性，那么，工作人员要找到它真的如大海捞针，千难万难。
由此可见，图书馆的运作过程中，把图书按一定的标准加以分类，并根据这种分类建立相应的各级别各类目的书库，按照设定的各级别各类目的书库情况，对进入馆内的每本书进行分类，标明其从属的类目，至关重要。
