高三数学一轮复习练习 7.1挑战真题

真题操练集训1．[2016 ·北京卷 ] 已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则 ()1 1A.x－y＞0B．sin x－sin y＞01 x 1 y＜0C.2－2D．ln x＋ln y＞0答案： C分析：解法一：由于 x>y>0，选项 A，取 x＝1，y＝1，则1－1＝2x yπ1－2＝－ 1<0，清除 A ；选项 B，取 x＝π，y＝2，则 sin x－sin y＝sin π1π－sin 2＝－1<0，清除 B；选项 D，取 x＝2，y＝2，则 ln x＋ln y＝ln(xy)＝ln 1＝0，清除 D.应选 C.1 x 1 x 1解法二：由于函数 y＝2在 R 上单一递减，且x>y>0，因此2<2 y1 x 1 y<0，应选 C.，即2－22．[2016 ·新课标全国卷Ⅰ]若 a>b>1,0<c<1，则 ()A ．a c<b c B．ab c<ba cC．alog b c<blog a cD．log a c<log b c答案： C分析：关于选项 A ，考虑幂函数 y＝x c，由于 c>0，因此 y＝x c为增函数，又 a>b>1，因此 a c>b c，故 A 错；关于选项B，ab c<ba c?b ac<b，又 y ＝ b x是减函数，故 B 错；关于选项 D ，由对数函数的性质 a a可知 D 错，应选 C.3． [2014 ·辽宁卷 当 ∈ － 2,1]时，不等式3－x 2＋4x ＋3≥0 恒] x [ ax建立，则实数 a 的取值范围是 ()9A ．[－5，－ 3]B. －6，－8C ．[－6，－ 2]D ．[－4，－ 3]答案： C分析： 当 x ＝0 时， ax 3－x 2＋4x ＋3≥0 变成 3≥0 恒建立，即 a ∈x 2－4x －3R ，当 x ∈(0,1]时， ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 3，x 2－4x －3∴a ≥x 3max.x 2－4x －3设 φ(x)＝x 3，2x －4 x 3－ x 2－4x －3 3x 2φ′(x)＝x 6x 2－8x －9x －9x ＋1＝－ x 4＝－ x 4＞0，∴φ(x)在(0,1]上递加， φ(x)max ＝φ(1)＝－ 6.∴a ≥－6.x 2－4x －3当 x ∈[－2,0)时， a ≤x 3，x2－4x－3∴a≤x3min.x2－4x－3仍设φ(x)＝x3，x－9 x＋1φ′(x)＝－x4，当 x∈[－2，－ 1)时，φ′(x)＜0；当 x∈(－1,0)时，φ′(x)＞0.∴当x＝－ 1 时，φ(x)有极小值，即为最小值．而φ(x)min＝φ(－1)＝1＋4－3＝－ 2，－1∴a≤－2.综上可知 a 的取值范围为 [ －6，－ 2]．4．[2015 ·辽宁卷 ] 不等式 2x2－x＜4 的解集为 ________．答案： { x|－1＜x＜2}( 或(－1,2))分析：∵＜4，∴＜22，∴2－＜，即2－－＜，∴－x x2x x 201＜x＜2.5．[2014 ·江苏卷 ]已知函数 f(x)＝x2＋mx－ 1，若关于随意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)＜0 建立，则实数 m 的取值范围是 ________．2答案：－2，0分析：由题可得， f(x) ＜ 0 关于x∈[m， m＋ 1] 恒建立，即f m ＝2m2－1＜0，f m＋1 ＝2m2＋3m＜0，2解得－2＜m＜0.。

1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔ 可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc 注意c 的符号3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × ) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1a C ．|a |>－b D.－a >－b答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立． 2．(教材改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0.故选D.4．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是________________． 答案 a <－a 2<a 2<－a 解析 由a 2＋a <0得a <－a 2， ∴a <0且a >－1，∴－a 2<a 2<－a .5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 (1)B (2)B解析 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1 ＝a 1(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________． 答案 (1)B (2)a <b 解析 (1)∵A ≥0，B ≥0， A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b ) ＝2ab ≥0， ∴A ≥B .(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1，∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 (1)A (2)C解析 (1)由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．(2)因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc <0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确．∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， ∴a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C. 方法二 取特殊值． 题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究1．若将例4条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围． 解 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0， 故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将例4条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232)．思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等． (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b >1bB ．a 2<abC.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1) ⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b， 又c <0，∴c a >c b，①正确； 构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c <b c ，②正确；∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．7．利用不等式变形求范围典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 错解展示 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ② ①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12，又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1，③②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0，又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12，∴f (－2)的取值范围是[3,12]．答案 [3,12]现场纠错解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.答案 [5,10]纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( )A ．ad >bcB ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．(2016·包头模拟)若6<a <10，a 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( ) A ．9≤c ≤18B ．15<c <30C ．9≤c ≤30D ．9<c <30 答案 D解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2， ∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30. 3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y | 答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇏ (a －b )·a 2<0，必要性不成立．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π)D ．(－π6，π) 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确； 当a <0且b <0时，可知D 不正确．7．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 8．若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( )A.1a <1bB ．log 2a >log 2bC ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2D ．b <ab <a ＋b 2<a 答案 C解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)，∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴C 项一定不成立．9．若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n <0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，43 B.⎝⎛⎭⎫12，43 C.⎝⎛⎭⎫1，74 D.⎝⎛⎭⎫12，74 答案 D解析 当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1,1－a <13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝⎛⎭⎫321，∴a >12.当n 为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝⎛⎭⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74，故选D. 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a ＝b >c解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b ，又a ＝log 233>1，c ＝log 32<1，∴a >c ，故a ＝b >c .12．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .*13.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。

高三数学一轮复习练习 7.3挑战真题1.（2010·辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA =a , OB =b ,则△OAB 的面积等于 （ ） A.222||||()a b a b -• B.222||||()a b a b +•C.2221||||()2a b a b -• D.2221||||()2a b a b +•答案：C2.（2010·全国Ⅰ）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB 的最小值为 （ ）2222 解析：设圆的方程为x 2+y 2=1,设A （x 1,y 1）， B （x 1,-y 1）,P （x 0,0）, 因为OA ⊥PA,答案：D3.（2009·福建）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于 ( ) A ．以a ，b 为两边的三角形的面积 B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积解析：本题考查的是平面向量的基本知识与数形结合思想，中等偏难题．由题意可作图．不妨设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，再作CE ⊥OB ，AF ⊥OB ，则可得△OCE ≌△OAF ，可得OE ＝AF ，|b·c|＝||b||c|cos θ|＝|OB |·|AF |，故又是以AF 为高的平行四边形的面积，显然只有C 符合题意．3答案：C4.（2009·辽宁）平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 解析：因为a ＝(2,0)，|b|＝1， 所以|a|＝2，a·b ＝2×1×cos 60°＝1， 故|a ＋2b|＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝23.答案：B5.（2008·天津）如图，在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →＝__ __.解析：AD →·AC →＝⎣⎡⎦⎤12(AC →＋BD →)·AC →＝12[(1,2)＋(－3,2)]·(1,2)＝(－1,2)·(1,2)＝3.答案：3。

题组层级快练(七十一)一、单项选择题1．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品 答案 A解析 依据互斥和对立事件的定义知，B ，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件．2．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23 B.12 C.13 D.16答案 C解析 从A ，B 中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共6种情况，其中和为4的有(2，2)，(3，1)，共2种情况，所求概率P ＝26＝13.选C.3．(2020·长沙市统考)某城市2019年的空气质量状况如下表：当T ≤量为轻微污染，则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为( ) A.35 B.1180 C.119 D.56答案 A解析 由题意可知，2019年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.4．(2021·江苏苏州期末)围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为13，都是白子的概率为215，则取出的2粒颜色不同的概率为( )A.15 B.13 C.715 D.815答案 D解析 2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为13＋215＝715，取出的2粒颜色不同的概率为1－715＝815.故选D. 5．(2018·课标全国Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 答案 B解析 因为支付方式只有现金和非现金两种，所以群体中的成员的支付方式只有三类：只用现金支付、只用非现金支付和既用现金支付又用非现金支付，所以不用现金支付的概率即为只用非现金支付的概率，P ＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.6．(2016·天津改编)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则甲获胜的概率和甲不输的概率分别为( ) A.16，16 B.12，23 C.16，23 D.23，12 答案 C解析 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16.设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23(或设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)＝1－13＝23)．7．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45答案 D解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25，30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.8．(2021·黑龙江哈师大附中高三模拟)某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a 元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个2a 元．某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图．若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率为( )A.15B.710 C.45 D.910答案 D解析 由柱状图可知，机器在三年使用期内更换的易损零件数小于20的频率为6＋16＋24＋24100＝710，所以购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率约为710.故选B.9．(2021·沧州七校联考)造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用．某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有( ) A ．69人 B ．84人 C ．108人D ．115人答案 C解析 在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100－73＝27(人)，设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x 人，则10027＝400x，解得x ＝108.故选C. 二、多项选择题10．(2021·琼山海南中学期中)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是( ) A ．P(B)＝710B ．P(A ∪B)＝910C ．P(A ∩B)＝0D ．P(A ∪B)＝P(C)答案 ABC解析 由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝710，P(A)＝15，P(C)＝110，则P(A ∪B)＝910，故A 、B 、C 正确，D 错误．故选ABC.11．(2021·江苏泰州期末)下列叙述正确的是( )A ．某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”是互斥事件B ．甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件C ．抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于12D ．抛掷一枚硬币4次，恰出现2次正面向上的概率为12答案 AB解析 “射中7环”和“射中8环”是两个不可能同时发生的事件，所以是互斥事件，故A 正确；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包含“1人射中，1人没有射中”和“2人都射中目标”，所以根据对立事件的定义可知，“至少有1人射中目标”与“没有人射中目标”是对立事件，故B 正确；抛掷一枚硬币，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率都是12，每次出现反面向上的概率也是12，故C 不正确；抛掷一枚硬币4次，恰出现2次正面向上的概率P ＝C 42·⎝⎛⎭⎫124＝38，故D 不正确．故选AB. 三、填空题与解答题12．(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案 56解析 从4只球中一次随机摸出2只球，有C 42＝6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56.13．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________． 答案 0.9解析 方法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D ，而事件D 包含事件A 与B ，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.方法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D ，由题意知C 与D 是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.14．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个． 答案 15解析 1－0.42－0.28＝0.30，21÷0.42＝50，50×0.30＝15.15．(2021·开封市二中期末)某地为了整顿电动车道路交通秩序，考虑对电动车闯红灯等违章行为进行处罚，为了更好地了解情况，在某路口骑车人中随机选取了100人进行调查，得到如下数据，其中a ＝b ＋10.(1)(2)用分层抽样的方法在处罚金额为10元和20元的抽样人群中抽取5人，再从这5人中选取2人参与路口执勤，求这两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率． 答案 (1)110 (2)35解析 (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋10，a ＋b ＋50＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝20，所以处罚10元的有30人，处罚20元的有20人．所以对骑车人处罚10元与20元的概率的差为30100－20100＝110.(2)用分层抽样的方法在受处罚的人中抽取5人，则在受处罚10元的人中应抽取3人，分别记为a ，b ，c ，在受处罚20元的人中应抽取2人，分别记为A ，B ，若再从这5人中选2人参与路口执勤，共有10种情况：(a ，b)，(a ，c)，(a ，A)，(a ，B)，(b ，c)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)，(A ，B)， 其中两种受处罚的人中各有一人的情况有6种：(a ，A)，(a ，B)，(b ，A)，(b ，B)，(c ，A)，(c ，B)，所以两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率为610＝35.16．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是( ) A.78 B.58 C.38 D.18答案 A解析 由题意知本题要求的是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将3枚硬币同时抛出，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少有1枚正面向上的概率是1－18＝78，故选A.17．(2019·课标全国Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________． 答案 0.98解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.18．(2017·课标全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15)[15，20) [20，25) [25，30) [30，35)[35，40)天数216362574(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率． 答案 (1)0.6 (2)0.8解析 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃.由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25 ℃，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20 ℃，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y 的所有可能值为900，300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此估计Y 大于零的概率为0.8.。

………………………………………………………………………………………………时间：分钟基础组.[·衡水二中周测]若>>，则下列不等式中一定成立的是( )．＋>＋>．－>－>答案解析取＝，＝，排除和；另外，函数()＝－是(，＋∞)上的增函数，但函数()＝＋在(]上递减，在[，＋∞)上递增，所以当>>时，()>()必定成立，但()>()未必成立，这样，－>－⇔＋>＋，故选.. [·枣强中学仿真]设α∈，β∈，那么α－的取值范围是( )．(，π)答案解析由题设得<α<π，≤≤，∴－≤－≤，∴－<α－<π.. [·衡水二中月考]已知<<，＝＋，＝，＝－，则( )．>>．>>．>>．>>答案解析由题意得＝，＝，＝，而<<，∴函数＝在(，＋∞)上单调递减，∴>>，故选.．[·武邑中学热身]若<<，则下列不等式一定成立的是( )>．<<．>答案解析取＝－，＝－，逐个检验，可知，，项均不正确；项，<⇔(＋)<(＋)⇔＋<＋⇔<，∵<<，∴<成立，故选.．[·衡水二中期中]如果>，则下列各式正确的是( )． > ．>．>．·>·答案解析项，当＝，即＝时不满足；项，当＝时不满足；项，当＝，＝－时不满足；项，因为>，所以·>·.综上可知选.．[·枣强中学模拟]若<<<<，且＋＝＋＝，则下列代数式中值最大的是( )．＋．＋．＋答案解析解法一：取＝＝，＝＝，那么＋＝，＋＝，＋＝，有＋＝＋<<＋，于是排除、、三个选项．故选.解法二：∵<<，＋＝，∴<<，<<，同理，<<，<<，∴＋－(＋)＝(－)·(－)>，＋－(＋)＝(－)·(－)>，＋－＝＋－＝[＋－(＋)]＝(－)·(－)>，∴＋的值最大．故选.．[·衡水二中期末]设>>，下列各数小于的是( )．－) －－－－答案解析解法一：(特殊值法)取＝，＝，代入验证．解法二：＝(>且≠)．当>，>时，>；当<<，>时，<<.∵>>，∴－>，><<.。

121.( 文)(2012 ·天津文，5) 设x∈ R，则“x>2”是“2x＋x－1>0”的 () A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不必需条件[答案]A[ 分析 ]此题考察充要条件，解一元二次不等式的知识．由 2x2＋x－ 1>0 得( x＋ 1)(2 x－ 1)>0 ，即 x112＋x－1>0，<－ 1 或x> ，又因为x>? 2x22而 2x 2－ 1>0?/x1＋>，选A. x2( 理 )(2012·河北保定模拟 ) 若a>0 且a≠1，b>0，则“ log a b>0”是“(a－1)( b－ 1) ＞0”的()A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件[答案]C[ 分析 ] ∵a>0 且a≠1，b>0，∴ log b>0?0<a<1，或a>1，? ( a－ 1)( b－ 1)>0.0< <1，>1.ab b2．( 文 )(2 011·甘肃天水一中期末) 已知a、b为非零实数，且a<b，则以下不等式建立的是()22 1 1A．a <b B. a>b1 111C.ab2<a2bD.a－b>a[答案] C[分析]∵，b 为非零实数，且< ，∴当＝－ 5，＝ 1 时， A、 B 不建立，当＝ 1，ba ab a b a＝2 时， D不建立，应选 C.2 2 a b 1 1[评论] C 可证明以下：∵a、b为非零实数，∴a b >0，∵a<b，∴a2b2<a2b2，∴ab2<a2b.( 理)(2011 ·泉州质检 ) 已知a、a∈ (0,1)，记 M＝ a a ，N＝ a ＋ a －1，则 M与 N 的大121212小关系是 ()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确立[答案]B[分析]由题意得－＝－－＋1＝(－ 1)(－1)>0，故>，选B.3．(2011 ·山东临沂模拟 ) 已知 0<a <b ，且 a ＋ b ＝1，则以下不等式中，正确的选项是( )a － b1A ． log 2a >0B ． 2<2b aa ＋b 1C ． 2< 2D ． log 2a ＋ log 2b <－ 2[答案]D13[ 分析 ]当 a ＝ 4， b ＝ 4时 A 不建立；a － b1a －b － 1a －b <－ 1，对B 有2 <2? 2<2 ? 又 a ＋b ＝ 1，可得 a <0，与 a >0 矛盾；b ab aa ＋b 1a ＋b－ 1b a b a对C 有2< 2? 2<2 ? a ＋ b <－ 1，与 a ＋ b >2( ∵ a ≠ b ，且 a >0，b >0) 矛盾，故选 D.4．(2011 ·海南三亚联考22－ 2mx ＋ 1>0，若) 已知 p ：? x ∈ R ， mx ＋2≤0， q ：? x ∈ R ，x p ∨ q 为假命题，则实数 m 的取值范围是 ()A ． m ≥1B ． m ≤－ 1C ． m ≤－ 1 或 m ≥1D ．－ 1≤ m ≤1[答案] A[ 分析 ] ∵ p ∨ q 为假命题，∴ p 和 q 都是假命题．22由 p ：? x ∈ R ， mx ＋2≤2 为假，得 ? x ∈ R ， mx ＋2>0，∴ m ≥0. ①由 q ：?x ∈ R ，x 2＋ 1>0 为假，得 ?x 0∈ R ，2－ 2 0＋1≤0，－2mxxmx22②∴Δ＝ ( － 2m ) －4≥0? m ≥1? m ≤－ 1 或 m ≥1.由①和②得 m ≥1，应选 A.5．( 文)(2011 ·吉林长春模拟 ) 已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ( －∞， 0] 上是减函数，1且 f 2 ＝ 2，则不等式 f (log 4x )>2 的解集为 ()1A ．(0， 2) ∪(2 ，＋∞ )B ． (2 ，＋∞)C ．(0，22 ))∪( 2，＋∞) D． (0，2 2[答案 ] A[分析]作出函数f ( x ) 的表示图如图，则log 4 x 1或 log 41 x >2或0<x 1> <－ ，解得< . 故2 x 22选 A.x －1， x <2，2e( 理)(2011 ·河南郑州第二次模拟) 设 f ( x ) ＝ log 3x 2－ 1 ，x ≥2，则不等式f ( x )<2 的解集为 ()A ． ( 10，＋∞ )B ． (－∞， 1)∪[2 ， 10)C ． (1,2) ∪( 10，＋∞ )D ． (1， 10)[答案]Bx <2 ，≥ ，x <2，x ≥2，[ 分析 ] f ( x )<2 ?或x2或x － 1log2 <2.?x <10.?2e<2，3x － 1x <1，x <1 或 2≤ x < 10，应选 B.6．(2012 ·哈尔滨三中模拟 ) 已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，当 0< <1 时， f ( x ) ＝lg x .x635设 a ＝ f ( 5) ， b ＝ f ( 2) ， c ＝ f ( 2) ，则 ()A ． a <b <cB ． b <a <cC ． c <b <aD ． c <a <b[答案] D[分析] ∵ f ( x ) 是周期为 2 的奇函数，51 3 1 6 4∴ f ( 2) ＝ f ( 2) ， f ( 2) ＝－ f ( 2) ， f ( 5) ＝－ f ( 5) ，14∵ 0<x <1 时， f ( x ) ＝ lg x ，∴ f ( 2)< f ( 5)<0 ，14 1∴ f ( 2)<0< － f ( 5)< － f ( 2) ，即 c <a <b .7．若规定a b 1 1 c ＝ | ad － bc | ，则不等式 log 2<0 的解集为 ________．d1 x[ 答案 ] (0,1) ∪ (1,2)[分析]11据题意＝ | x－ 1| ，1x112| x－ 1|<0 ，∴不等式 log 2<0 化为 log1x∴0<| x－ 1|<1 ，∴ 1<x<2 或 0<x<1.8．若对于x 的不等式(－ 1)>x2－x的解集为 {x|1<x<2} ，则实数的值为 ________．m x m[答案]2[分析]解法 1：由m( x－ 1)> x2－x整理得 ( x－ 1)(m－ x)>0，即( x－1)( x－ m)<0，又 m( x －1)> x2－x的解集为 { x|1< x<2} ，因此m＝2.解法 2：由条件知，x＝2是方程 m( x－1)＝ x2－x 的根，∴m＝2.9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙＝＋＋ ( 、为正实数 )，若 1⊙<3，b ab a b a b k则 k 的取值范围为________．[ 答案 ] (0,1)[ 分析 ]由题意得1⊙k＝k＋1＋k<3，即(k＋2)(k－1)<0，因此0<k<1.10．欣园食品加工厂要为员工每人配一身工作服和若干帮手套，市场价每套工作服53元，手套 3 元一副，该工厂联系了两家商铺，因为用货量大，这两家商铺都给出了优惠方法．商铺甲：买一赠一，买一套工作服赠予一帮手套；商铺乙：打折，按总价的95%收款．现该工厂需要工作服75 套，手套若干( 许多于 75 套 ) ，若你是厂长，你选择哪一家？[ 分析 ]设需要手套x 副，付款数为 y 元，按商铺甲的优惠方法付款：y1＝75×53＋3( x －75) ＝ 3x＋ 3750( x≥75) ；按商铺乙的优惠方法付款：y2＝(75×53＋3x)×95%＝2.85 x＋3776.25( x≥75)．令 y1＝ y2，即3x＋3750＝2.85 x＋3776.25，解得 x＝175，即购置175帮手套时，两商铺优惠同样．当 75≤x<175 时，y1<y2，选商铺甲省钱；当 x>175时， y1>y2，选商铺乙省钱．综上所述，当买175 帮手套时，两商铺的价钱同样，选择哪个商铺都能够；当买的手套数多于75 套少于 175 套时，选商铺甲优惠；当买的手套数多于175 副时，选商铺乙优惠.能力拓展提高11.( 文 ) 若对于x 的不等式( m－1) x<4x－x2的解集为 { x|0< x<2} ，则实数m 的值是()1A. 2B． 1C．2 D ．0[答案]C[分析]在同一平面直角坐标系中画出函数y＝4x－x2和y＝ ( m－ 1) x的图象，联合题意及图象可知，函数y ＝( －1)x的图象必经过点(2,2)，即有 2(－1) ＝ 2，求得＝2. 应选m m mC.( 理)(2011 ·杭州二模 ) 对于实数x，规定 [ x] 表示不大于x 的最大整数，那么使不等式4[ x]2－ 36[ x] ＋ 45<0 建立的x的取值范围是 ()315A．( 2，2 ) B ．[2,8]C． [2,8)D ． [2,7][答案]C[分析]由 4[ ] 2－36[x ] ＋45<0，得3<[x]<15，x22又 [ x] 表示不大于x的最大整数，因此2≤x<8.12．( 文 ) (2012 ·延边州质检 ) 函数f (x) 的定义域为 R， (1)＝ 8，对随意x∈R，′( )>6 ，f fx设 F( x)＝ f ( x)－6x－2，则 F( x)>0的解集为()A．(1，＋∞) B ． ( －1,1)C． ( －∞，－ 1) D ． ( －1，＋∞)[答案]A[ 分析 ] ∵f′(x)> 6，∴ F′(x)＝f′(x)－6>0，∴F( x)为增函数，又 F(1)＝ f (1)－6－2＝8－6－2＝0，∴ F( x)>0，即 F( x)> F(1)，∴ x>1，应选 A.( 理)(2012 ·包头一中期末) 设偶函数 f ( x)知足 f ( x)＝2x－4( x≥0)，则{ x| f ( x－2)>0}＝()A． { x| x<－ 2 或x>4} B ． { x| x<0 或x>4}C． { x| x<0 或x>6} D ． { x| x<－ 2 或x>2}[答案]B[ 分析 ]令t＝x－2，则f(x－2)>0化为f(t)>0，∴ t≥0时，2t－4>0，∴t>2，又f(x)为偶函数，∴ t <0时， f ( t )>0的解为 t <－2，∴ x－2>2或 x－2<－2，∴ x>4或 x<0，应选B.[评论]也能够先由偶函数定义求出 f ( x)在R上的分析式，再代入 f ( x－2)>0中化为对于 x 的不等式组求解．13．(2011 ·海淀抽检 ) 若对于x的不等式 4x－ 2x＋1－a≥0在 [1,2]上恒建立，则实数 a 的取值范围为 ________．[答案]( －∞， 0][ 分析 ] ∵ 4x－ 2x＋1－a≥0在[1,2]上恒建立，x x ＋1∴4 － 2 ≥a在[1,2] 上恒建立．令 y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴ 2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当x＝ 2，即x＝ 1 时，y有最小值 0，∴a∈ ( －∞， 0]．26*14．(2012 ·重庆市期末 ) 已知a>1，若不等式 log a＋1x－ log a x＋5<n＋n对随意n∈N 恒成立，则实数 x 的取值范围是________．[答案](1 ，＋∞)6*[ 分析 ] ∵n>0，n＋n≥26，当n＝6时取等号，但n∈N，∴ n＝2或3，当 n＝2时， n 666＋n＝ 5，当n＝ 3 时，n＋n＝ 5，∴n＋n≥5，由条件知， log a＋1x－log a x＋ 5<5，∴log a＋1x<log a x，又 a>1，∴ x>1.ax－515．已知对于x 的不等式x2－a<0的解集为 M.(1 ) 当a＝ 4 时，求会合M；(2)若 3∈M且 5?M，务实数a的取值范围．4x－ 55 [分析](1) a＝4 时，不等式化为x2－4<0，解得M＝(－∞，－2)∪4，2 .3a－ 5<0，3∈ ，9－aM(2) a≠25 时，由得5a－55?M，25－a≥0.∴∈1，5∪ (9,25) ；a3当 a＝25时，不等式化为25x－ 5 2<0，x －251∴M＝(－∞，－5)∪5，5 .知足 3∈M且 5?M，∴a＝25 知足条件．综上得 a 的取值范围是1，5．3∪ (9,25]16． ( 文 ) 已知向量a ＝ (， ) ，＝(1－，) ，此中∈R. 若f() ＝·.x m b x x m x a b(1)当 m＝3时解不等式 f ( x)< x；(2) 假如f ( x) 在( － 2，＋∞ ) 上单一递减，务实数m的取值范围．[ 分析 ]因为a＝(x，m)，b＝(1－x，x)，因此 f ( x)＝ a·b＝－ x2＋( m＋1) x.(1)当 m＝3时， f ( x)＝－ x2＋4x，不等式 f ( x)< x，即－ x2＋4x<x，解得 x>3或 x<0，因此 m＝3时，不等式 f ( x)< x 的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．2m＋1(2) 假如f ( x) ＝－x＋ ( m＋1) x在 ( －2，＋∞ ) 上单一递减，则有2≤－2，解得m≤－5，因此实数 m的取值范围是m≤－5.( 理 ) 某产品生产厂家依据过去的生产销售经验获得下边相关生产销售的统计规律：每生产产品 x(百台)，其总成本为G( x)(万元)，此中固定成本为 2 万元，而且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元 ( 总成本＝固定成本＋生产成本) ；销售收入R( x)(万元)知足：－ 0.4 x2＋4.2 x－ 0.80≤x≤ 5，R( x)＝10.2x>5.假设该产品产销均衡，那么依据上述统计规律．(1)要使工厂有盈利，产量 x 应控制在什么范围内？(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？[分析]依题意， G( x)＝x＋2设收益函数为 f ( x)，则f ( x)＝－ 0.4 x2＋3.2 x－ 2.80≤x≤5，8.2 －xx>5 .(1)要使工厂有盈利，即解不等式f ( x)>0，当0≤ x≤5时，解不等式－0.4 x2＋3.2 x－2.8>0即x2－8x＋7<0，得1<x<7，∴ 1<x≤5.当 x>5时，解不等式8.2 －x>0，得x<8.2，∴5<x<8.2综上所述，要使工厂盈利， x 应知足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100 台，小于820台的范围内．(2)0 ≤x≤5时，f ( x) ＝－ 0.4( x－4) 2＋ 3.6 ，故当 x＝4时， f ( x)有最大值 3.6，而当 x>5时， f ( x)<8.2－5＝3.2.因此，当工厂生产400 台产品时，盈利最多．π2x<1”是“ x sin x<1”的()1．设 0<x< 2，则“x sinA．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件[答案]Bπ2[ 分析 ] ∵ 0<x< 2，∴ 0<sin x<1，∴ 0<sin x<sin x<1∴sin2<s inxx x x则 x·sin x<1? x·sin2x<1建立，但 x sin2x<1建即刻，得不出 x sin x<1建立，∵ x sin2x<1 11? x sin x<sin x，但sin x<1 必定不建立．应选 B.2．已知> ≥2，有以下不等式：①b 2>3－；②1＋4>211；③ >＋；④＋a b b aab a b ab a blog 3>log3，此中正确的选项是 ()a bA．②④ B．①②C．③④ D．①③[答案] D224 [ 分析 ] ∵a>b≥2，∴b－ (3 b－a) ＝b( b－ 2) ＋ ( a－b)>0，∴ b >3b－ a，①正确；1＋ab－2222a＋b＝a－ 1b－ 1 ≥0，当b＝ 2 时，取等号，∴②错；ab－( a＋ b)＝ a( b－1)－ b≥a－11，即 log a3<log b3，b>0，故③正确； y＝log3x 为增函数，∴log3a>log3b≥log32>0，∴<log a log3b3故④错，∴选 D.3．已知实数x知足x2＋x<0，则x2、x、－x的大小关系是 () A．－x<x<x2B．x<－x<x222C．x <x<－x D．x<x <－x[答案]D[ 分析 ] ∵x2＋x<0，∴－ 1<x<0，∴0<x2<1,0< －x<1，又 x2－(－ x)＝ x2＋ x<0，∴ x2<－ x，故 x<x2<－x.212[评论]可取特值查验，由x＋ x<0得－ 1<x<0，取x＝－3知，x<x <－x.1x≥0，4．已知f ( x) ＝x<0 .则不等式 xf ( x)＋ x≤2的解集是________．0 [答案]( －∞， 1][分析]2x≤2，x≤2，原不等式化为①或②x≥0，x<0.它们的解集分别为[0,1] ， ( －∞， 0) ，取并集得原不等式的解集为(－∞， 1] ．5．(2012 ·山东青岛市检测 ) 已知函数y＝ax2＋ 2ax＋1的定义域为R，解对于x的不等式 x2－ x－ a2＋a>0.[剖析]函数 y＝ f x的定义域为 R，即f ( x) ≥0恒建立，ax2＋ 2ax＋1≥0恒建立，a＝0，a>0，不等式 x2－ x－ a2＋ a>0，可利用分组分解因式得，( x－a)( x＋a 即或1≥0，Δ≤ 0.－1)>0.[分析]因为函数y ＝ax2＋ 2＋ 1的定义域为 R，ax因此 ax2＋2ax＋1≥0恒建立(*)．当 a＝0时，1≥0恒建立，知足题意，当a ≠0时，为知足 (*) 必有>0 且＝ 4a2－ 4 ≤0，解得0< ≤1，a a a综上可知： a 的取值范围是0≤a≤1，原不等式可化为( x－a)[ x－ (1 －a)]>0 ，1当 0≤a<2时，解得x<a，或 x>1－ a；11当 a＝2时，解得 x≠2；1当2<a≤1时，解得x<1－ a，或 x>a，1综上，当 0≤a< 时，不等式的解集为{ x| x<a或x>1－a} ，29当 a＝1{ x| x∈R，x≠12时，不等式的解集为2} ，1当2<a≤1时，不等式的解集为{ x| x<1－a或x>a} ．10。

7.1 空间几何中的平行与垂直（精练）（提升版）1（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED 的边长为1，G ，F 分别是EC ，BD 的中点，求证：//GF 平面ABC2．（2022·辽宁抚顺）在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1,AD BD 和1B C的中点.求证：(1)NP 平面11CC D D .(2)平面MNP 平面11CC D D .3．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且AM FN =，过M 作MH AB ⊥于H ，求证：(1)平面//MNH 平面BCE ；(2)//MN 平面BCE .题组一 平行问题4．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上，若直线//CE 平面BDM ，求:EM AM 的值5．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是平行四边形，M 为PC 的中点，在DM 上任取一点G ，过G 和AP 作平面PAHG 交平面DMB 于GH .(1)求证：//BC 平面PAD ；(2)求证：//AP 平面BDM ；(3)求证：//AP GH .6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 相交于点O ，F 点是PD 的中点，E 点在线段PA 上，且2PE EA =．求证：直线CF ∥平面EBD7（2022·山西临汾）如图（1），在梯形ABCD 中，//AD BC 且AD CD ⊥，线段AD 上有一点E ，满足1CD DE ==，2AE BC ==，现将,ABE CDE 分别沿,BE CE 折起，使5,3AD BD ==，得到如图（2）所示的几何体．求证：//AB CD8．（2022·江西）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面1,2PAD BC AD =，E 是PD 的中点. (1)求证：AD //平面PBC(2)求证：CE //平面PAB .9．（2022·全国·高一）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，G 为FC 的中点，平面ABFE ∩平面CDEF =EF(1)证明:AF //平面BDG(2)证明:AB //EF1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中6,4,AB BC ==过A 点作CD 的垂线交CD 的延长线于点E ，AE 23=.连接EB 交AD 于点F ，如图1，将ADE 沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置.如图2.证明：直线AD ⊥平面BFP .题组二 空间几何中的垂直2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且//AE DC ，90ACD ∠=︒，2DC AC AB AE ===．证明：EP ⊥平面BCD3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥BD PA ⊥4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，3AB =， F 是PD 的中点，点E 在棱CD 上．(1)求四棱锥P ABCD -的全面积；(2)求证：PE AF ⊥．5．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，M 为BC 中点．(1)求证：1//A B 平面1AC M ；(2)若三棱柱111ABC A B C -上下底面为正三角形，6AB =，13AA =，求证：平面1AB M ⊥平面1AC M ． 6．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，,E F 分别为BC ，PD 的中点.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求证：CF //平面PAE ；(3)若平面PAE ⊥平面PAD ，求ABC ∠的大小.1．（2022·上海虹口·二模）已知1l ，2l 是平面α内的两条直线，l 是空间的一条直线，则“l α⊥”是“1l l ⊥且2l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ）A ．平面1B EF ⊥平面1BDDB ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11AC D3．（2022·安徽省舒城中学三模（理））设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确题组三 空间几何中的定理辨析的是（ ）A ．若αβ⊥，αγ⊥，则//βγB ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若//m n ，n ⊂α，则//m α4（2022·全国·高三专题练习（理））已知1O 是正方体1111ABCD A B C D -的中心O 关于平面1111D C B A 的对称点，则下列说法中正确的是（ ）A ．11O C 与1A C 是异面直线B ．11OC ∥平面11A BCDC ．11O C AD ⊥ D ．11O C ⊥平面11BDD B5．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列命题： ∥若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥∥若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥∥若,,a b αβαβ⊂⊥∥，则a b ⊥∥若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥其中为真命题的是（ ）A ．∥∥B ．∥∥C ．∥∥D ．∥∥6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线PB 与直线1A D 垂直，直线PB ∥平面11B D CB ．直线PB 与直线1DC 平行，直线PB ⊥平面11AC DC ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面11ADC BD ．直线PB 与直线11B D 相交，直线PB ⊂平面1ABC7．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：∥直线BE 与直线CF 异面；∥直线BE 与直线AF 异面；∥直线EF 平面PBC ；∥平面BCE ∥平面P AD .其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.1 空间几何中的平行与垂直（精练）（提升版）1（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED 的边长为1，G ，F 分别是EC ，BD 的中点，求证：//GF 平面ABC【答案】证明见解析；【解析】如图，连接AE ，因F 是正方形ABED 对角线BD 的中点，则F 是AE 的中点，而G 是CE 的中点，则//GF AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，所以//GF 平面ABC .2．（2022·辽宁抚顺）在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1,AD BD 和1B C 的中点.求证：(1)NP 平面11CC D D .(2)平面MNP 平面11CC D D .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接11,BC C D ，因为四边形11BB C C 为正方形，P 为1B C 中点，所以P 为1BC 中点，又因为N 为BD 中点，所以1NP C D ∥.因为NP ⊄平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ，所以NP 平面11CC D D ，题组一 平行问题（2）连接1,AC CD ，因为四边形ABCD 为正方形，N 为BD 中点，所以N 为AC 中点.又因为M 为1AD 中点，所以1∥MN CD .因为MN ⊄平面111CC D D CD ⊂，平面11CC D D 所以MN平面11CC D D .由（1）知NP 平面11CC D D ，又MN PN N ⋂=，MN PN ⊂、平面MNP ，所以平面MNP 平面11CC D D . 3．（2022·江西南昌）两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且AM FN =，过M 作MH AB ⊥于H ，求证：(1)平面//MNH 平面BCE ；(2)//MN 平面BCE .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）在正方形ABCD 中，MH AB ⊥，BC AB ⊥，则//MH BC ，又MH ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，因此//MH 平面BCE ，由//MH BC ，得AM AH MC HB=，而AM FN =，AC FB =，则有MC NB =，即FN AM AH NB MC HB==，于是得////NH AF BE ，又NH ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，则//NH 平面BCE ，因MH NH H ⋂=，,MH NH ⊂平面MNH ，所以平面//MNH 平面BCE .（2）由（1）知：平面//MNH 平面BCE ，而MN ⊂平面MNH ，所以//MN 平面BCE .4．（2022·安徽安庆市）如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上，若直线//CE 平面BDM ，求:EM AM 的值【答案】（1）1∶2；【解析】连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，//AB CD ，24AB CD ==，CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴==， 又//CE 平面BDM ，CE ⊂平面ACE ，且平面ACE 平面BDM MN =//CE MN ∴12EM CN MA AN ∴==． 5．（2022·北京市第十三中学）如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，M 为PC 的中点，在DM 上任取一点G ，过G 和AP 作平面PAHG 交平面DMB 于GH .(1)求证：//BC 平面PAD ；(2)求证：//AP 平面BDM ；(3)求证：//AP GH .【答案】证明见解析【解析】(1)证明：因为四边形ABCD 为平行四边形，则//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，因此，//BC 平面PAD .(2)证明：连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为四边形ABCD 为平行四边形，AC BD N ⋂=，则N 为AC 的中点， 又因为M 为PC 的中点，则//PA MN ，AP ⊄平面BDM ，MN ⊂平面BDM ，//AP ∴平面BDM .(3)证明：//AP 平面BDM ，AP ⊂平面APGH ，平面APGH ⋂平面BDM GH =，//AP GH ∴.6．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 相交于点O ，F 点是PD 的中点，E 点在线段PA 上，且2PE EA =．求证：直线CF ∥平面EBD【答案】证明见解析；【解析】取EP 的中点G ，连接CG 、GF 、EO ．∥2PE EA =，则AE EG GP ==，∥F 点是PD 的中点，故GF DE ∥，且GF ⊄平面EBD ，故GF 平面EBD ．又AE EG =，故E 是AG 的中点，O 是AC 的中点，则OE GC ∥，且GC ⊄平面EBD ，故GC 平面EBD ，且GF GC G ⋂=，故平面GFC 平面EBD ．又CF ⊂平面GFC ，故CF平面EBD ． 7（2022·山西临汾）如图（1），在梯形ABCD 中，//AD BC 且AD CD ⊥，线段AD 上有一点E ，满足1CD DE ==，2AE BC ==，现将,ABE CDE 分别沿,BE CE 折起，使AD BD ==得到如图（2）所示的几何体．求证：//AB CD【答案】证明见解析；【解析】图（1）中，1,CD DE AD CD ==⊥，则45CE DEC =∠=︒，而//AD BC ，即45ECB ∠=︒，在BCE 中，BE =，有45AEB EBC ∠=∠=︒，同理可得AB =AB BE ⊥，图（2）中，2225AB BD AD +==，则AB BD ⊥，而BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BDE ，则有AB ⊥平面BDE ，在BCD △中，2224CD BD BC +==，则CD BD ⊥，又CD DE ⊥，BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，因此CD ⊥平面BDE ，所以//AB CD .8．（2022·江西）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面1,2PAD BC AD =，E 是PD 的中点. (1)求证：AD //平面PBC(2)求证：CE //平面PAB .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)因为BC //平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以AD //BC ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，则AD //平面PBC ；(2)取PA 中点F ，连接,EF BF ，易得EF //AD ，且12EF AD =，由（1）知AD //BC 且12BC AD =， 则EF //BC 且EF BC =，则四边形BCEF 为平行四边形，则CE //BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，则CE //平面PAB .9．（2022·全国·高一）如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，G 为FC 的中点，平面ABFE ∩平面CDEF =EF(1)证明:AF //平面BDG(2)证明:AB //EF【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.【解析】(1)连接AC 交BD 于O ,连接OG .因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC 、BD 互相平分.又G 为FC 的中点，所以OG 为三角形ACF 的中位线，所以//AF OG .因为OG ⊂面BDG ,AF ⊄面BDG ,所以AF //平面BDG.(2)因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB//CD .因为CD ⊂面CDEF ,AB ⊄面CDEF ,所以AB //平面CDEF .因为AB 面ABEF ,面CDEF 面ABEF =EF .所以AB //EF .1．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中6,4,AB BC ==过A 点作CD 的垂线交CD 的延长线于点E ，AE 23=.连接EB 交AD 于点F ，如图1，将ADE 沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置.如图2.证明：直线AD ⊥平面BFP .【答案】证明见解析【解析】证明：图1中，在Rt BAE 中，6,23,AB AE ==所以60AEB ∠=.所以43BE =ADE 也是直角三角形，222DE AD AE ∴=-=∴33AE DE AB AE == 90AED EAB ∠=∠=︒AEBAED ∴EAD ABE ∴∠=∠90DAB ABE DAB EAD ∴∠+∠=∠+∠=︒∴BE AD ⊥， 在图2中，,,,PF AD BF AD PF BF F ⊥⊥⋂=所以AD ⊥平面BFP .2．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且//AE DC ，90ACD ∠=︒，2DC AC AB AE ===．证明：EP ⊥平面BCD【答案】证明见解析题组二 空间几何中的垂直【解析】证明：如图，连接AF ，由题意知ABC 为等腰三角形，而F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥．又因为平面AEDC ⊥平面ABC ，且90ACD ∠=︒，平面AEDC 平面ABC AC =，DC ⊂平面AEDC ， 所以DC ⊥平面ABC ．而AF ⊂平面ABC ，所以AF DC ⊥．而BC DC C =，,BC DC ⊂平面BCD ，所以AF ⊥平面BCD ．连接PF ，则//PF DC ，12PF DC =，而//AE DC ，12AE DC =，所以//AE PF 且AE PF =， 所以AFPE 是平行四边形，因此//EP AF ，故EP ⊥平面BCD ．3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥BD PA ⊥【答案】证明见解析；【解析】证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故DE =BD == 所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又PD AD D ⋂=，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；4．（2022·上海松江·二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，3AB =， F 是PD 的中点，点E 在棱CD 上．(1)求四棱锥P ABCD -的全面积；(2)求证：PE AF ⊥．【答案】(1)32(2)证明见解析. 【解析】(1)∥BC //AD ，AD ∥平面ABP ，∥BC ∥平面ABP ，∥BC ∥BP ，∥90PBC ∠=︒, 同理可得90PDC ∠=︒,∥∆∆∆∆=++++PAB PBC PDC PAD S S S S S S 底全131(11211)22=⨯⨯⨯=(2)∥P A ∥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∥CD ∥P A ． 又ABCD 是矩形，∥CD ∥AD ，∥P A ∩AD ＝A ，∥CD ∥平面P AD ．∥AF ⊂平面P AD ，∥AF ∥CD ．∥P A ＝AD ，点F 是PD 的中点，∥AF ∥PD ． 又CD ∩PD ＝D ，∥AF ∥平面PDC ．∥PE ⊂平面PDC ，∥PE ∥AF ．5．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，M 为BC 中点．(1)求证：1//A B 平面1AC M ；(2)若三棱柱111ABC A B C -上下底面为正三角形，6AB =，13AA =，求证：平面1AB M ⊥平面1AC M ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接1A C ，与1AC 相交于点F ，连接MF ，则F 为1A C 的中点， 因为M 为BC 中点，所以MF 是1A BC 的中位线，所以1//MF A B ， 因为MF ⊂平面1AMC ，1A B ⊄平面1AMC ，所以1//A B 平面1AMC(2)因为直三棱柱111ABC A B C -上下底面为正三角形，6AB =，13AA =， 所以113CC CM BM BB ====，所以1145CMC BMB ∠=∠=︒，所以1190B MC ∠=︒，即11B M MC ⊥，由三线合一可得：AM BC ⊥，又因为1BB ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ， 所以1BB AM ⊥，因为1BC BB B =，所以AM ⊥平面11BCC B ，因为1B M ⊂平面11BCC B ，所以AM ⊥1B M因为1AM MC M ⋂=所以1B M ⊥平面1AMC ，因为1B M ⊂平面1AMB ，所以平面1AB M ⊥平面1AC M6．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，,E F 分别为BC ，PD 的中点.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)求证：CF //平面PAE ；(3)若平面PAE ⊥平面PAD ，求ABC ∠的大小.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)60【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥. 又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥. 又因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC .(2)取G 为PA 的中点，联结,EG GF .在PAD △中，,G F 分别为,PA PD 的中点， 所以12//,GF AD GF AD =. 因为底面ABCD 为菱形，且E 为BC 的中点， 所以1//,2CE AD CE AD =. 所以,//CE GF CE GF =.所以四边形GFCE 为平行四边形. 所以//EG CF .因为CF ⊄平面,PAE EG ⊂平面PAE .所以CF //平面PAE .(3)因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥. 因为平面PAE ⊥平面PAD ，且平面PAE 平面,PAD PA AD =⊂平面PAD ，所以AD ⊥平面PAE .所以AD AE ⊥.因为底面ABCD 为菱形，且E 为BC 的中点，所以//CE AD .所以90AEB EAD ∠∠== 则ABC 是等边三角形.所以60ABC ∠=. 1．（2022·上海虹口·二模）已知1l ，2l 是平面α内的两条直线，l 是空间的一条直线，则“l α⊥”是“1l l ⊥且2l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当l α⊥时，12,l l αα⊂⊂，所以1l l ⊥且2l l ⊥； 题组三 空间几何中的定理辨析当1l l ⊥且2l l ⊥，12,l l αα⊂⊂，但1l ，2l 是否相交无法判断，所以l α⊥可能成立，也可能不成立．综上，“l α⊥”是“1l l ⊥且2l l ⊥”的充分不必要条件． 故选：A ．2．（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ） A ．平面1B EF ⊥平面1BDDB ．平面1B EF ⊥平面1A BDC ．平面1//B EF 平面1A ACD ．平面1//B EF 平面11AC D【答案】A【解析】解：在正方体1111ABCD A B C D -中， AC BD ⊥且1DD ⊥平面ABCD ， 又EF ⊂平面ABCD ，所以1EF DD ⊥， 因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC ，所以EF BD ⊥， 又1BD DD D =，所以EF ⊥平面1BDD ，又EF ⊂平面1B EF ，所以平面1B EF ⊥平面1BDD ，故A 正确； 选项BCD 解法一：如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =， 则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ， ()10,2,2C ，则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-=，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC AC ==-=-设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =， 则有11111020m EF x y m EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1m =-， 同理可得平面1A BD 的法向量为()11,1,1n =--，平面1A AC 的法向量为()21,1,0n =，平面11AC D 的法向量为()31,1,1n =-，则122110m n ⋅=-+=≠，所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直，故B 错误；因为m 与2n 不平行，所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行，故C 错误；因为m 与3n 不平行，所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行，故D 错误，故选：A.选项BCD 解法二：解：对于选项B ，如图所示，设11A B B E M =，EF BD N =，则MN 为平面1B EF 与平面1A BD 的交线， 在BMN △内，作BP MN ⊥于点P ，在EMN 内，作GP MN ⊥，交EN 于点G ，连结BG ，则BPG ∠或其补角为平面1B EF 与平面1A BD 所成二面角的平面角，由勾股定理可知：222PB PN BN +=，222PG PN GN +=，底面正方形ABCD 中，,E F 为中点，则EF BD ⊥，由勾股定理可得222NB NG BG +=，从而有：()()2222222NB NG PB PN PG PN BG +=+++=， 据此可得222PB PG BG +≠，即90BPG ∠≠，据此可得平面1B EF ⊥平面1A BD 不成立，选项B 错误；对于选项C ，取11A B 的中点H ，则1AH B E ，由于AH 与平面1A AC 相交，故平面1∥B EF 平面1A AC 不成立，选项C 错误；对于选项D ，取AD 的中点M ，很明显四边形11A B FM 为平行四边形，则11A M B F ，由于1A M 与平面11AC D 相交，故平面1∥B EF 平面11AC D 不成立，选项D 错误；故选：A.3．（2022·安徽省舒城中学三模（理））设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）A ．若αβ⊥，αγ⊥，则//βγB ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若//m n ，n ⊂α，则//m α【答案】C【解析】A ：由αβ⊥，αγ⊥，则//βγ或,βγ相交，错误；B ：由αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或,m β相交，错误；C ：由//m β，则存在直线l β⊂且//l m ，而m α⊥则l α⊥，根据面面垂直的判定易知αβ⊥，正确；D ：由//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，错误.故选：C4（2022·全国·高三专题练习（理））已知1O 是正方体1111ABCD A B C D -的中心O 关于平面1111D C B A 的对称点，则下列说法中正确的是（ ）A ．11O C 与1A C 是异面直线B ．11OC ∥平面11A BCDC ．11O C AD ⊥D ．11O C ⊥平面11BDD B【答案】B【解析】连接1A C 、1AC ，交于点O ，连接11A C 、11B D ，交于点P .连接AC 、BD 、1A B 、1D C 、1O O .由题可知，1O 在平面11A C CA 上，所以11O C 与1A C 共面，故A 错误； 在四边形11OO C C 中，11//O O C C 且11O O C C =，所以四边形11OO C C 为平行四边形.11//O C OC ∴.OC ⊂平面11A BCD ，11O C ⊄平面11A BCD ，11O C ∴∥平面11A BCD ，故B 正确；由正方体的性质可得1111AC B D ⊥，因为1111O B O D =，所以111O P B D ⊥，又111O P AC P =，11B D ∴⊥平面111O AC ， 1111B D O C ∴⊥，又11//B D BD ， 11BD O C ∴⊥，而AD 与BD 所成角为45︒，所以显然11O C 与AD 不垂直，故C 错误； 显然11O C 与11O B 不垂直，而11O B ⊂平面11BDD B ，所以11O C 与平面11BDD B 不垂直，故D 错误.故选：B.5．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列命题： ∥若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥∥若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥∥若,,a b αβαβ⊂⊥∥，则a b ⊥∥若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥其中为真命题的是（ ）A ．∥∥B ．∥∥C ．∥∥D ．∥∥【答案】C【解析】∥中，,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则平面α与平面β可能平行，可能相交也可能垂直，故∥错误； ∥中，,,a b αβαβ⊂⊂∥，直线a 与直线b 可能平行，异面或者垂直，故∥错误；∥中，,,a b αβαβ⊂⊥∥，则b α⊥，故a b ⊥，故∥正确；∥中，,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥，故∥正确.故选：C.6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线PB 与直线1A D 垂直，直线PB ∥平面11B D CB ．直线PB 与直线1DC 平行，直线PB ⊥平面11AC DC ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面11ADC BD ．直线PB 与直线11B D 相交，直线PB ⊂平面1ABC【答案】A【解析】连接11111,,,,DB A B D B D C B C ；由正方体的性质可知1BA BD =，P 是1A D 的中点，所以直线PB 与直线1A D 垂直；由正方体的性质可知1111//,//DB D B A B D C ，所以平面1//BDA 平面11B D C ，又PB ⊂平面1BDA ，所以直线PB ∥平面11B D C ，故A 正确；以D 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，()111,1,,0,1,122PB D C ⎛⎫==- ⎪⎝⎭显然直线PB 与直线1D C 不平行，故B 不正确；直线PB 与直线AC 异面正确，()1,0,0DA =，102PB DA ⋅=≠，所以直线PB 与平面11ADC B 不垂直，故C 不正确；直线PB 与直线11B D 异面，不相交，故D 不正确；故选：A. 7．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：∥直线BE 与直线CF 异面；∥直线BE 与直线AF 异面；∥直线EF 平面PBC ；∥平面BCE ∥平面P AD .其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】画出该几何体，如图所示，∥因为E ，F 分别是P A ，PD 的中点，所以EF AD ，所以EF BC ，直线BE 与直线CF 是共面直线，故∥不正确；∥直线BE 与直线AF 满足异面直线的定义，故∥正确；∥由E ，F 分别是P A ，PD 的中点，可知EF AD ，所以EF BC ，因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以直线EF 平面PBC ，故∥正确；∥因为BE与P A的关系不能确定，所以不能判定平面BCE∥平面P AD，故∥不正确.所以正确结论的个数是2.故选：B。

7.1 不等式及其解法应用篇 知行合一1.(2019课标Ⅰ,4,5分美育教育)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm答案 B 由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于260.618≈42cm,可得到此人的身高应小于26+42+26+420.618≈178cm;同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170cm,结合选项可知,只有B 选项符合题意,故选B.一题多解 用线段代替人,如图.已知a a =a a =√5-12≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为hcm,则a+b=h,由{a >105,a ≈0.618a⇒a>64.89, 由{a <26,a ≈0.618a⇒d<42.07,所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,由{a <68.07,a ≈0.618a⇒b<110.15, 整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,即169.89<h<178.22(单位:cm).故选B.2.(2019北京理,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为 .答案 ①130 ②15解析 ①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.②设每笔订单金额为m 元,当m<120时,李明得到的金额为m×80%元,符合要求.当m≥120时,根据题意得(m-x)80%≥m×70%,所以x≤a 8,而m≥120,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤(a 8)min ,而(a 8)min =15,∴x≤15.所以x 的最大值为15.。

专题7.1数列的概念与简单表示练基础1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n =a n-1+a n-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（）A ．6B ．7C ．8D ．92．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（）A ．递推公式也是数列的一种表示方法B ．a n =a n-1，a 1=1(n ≥2)是递推公式C ．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法D ．a n =2a n-1，a 1=2(n ≥2)是递推公式3．（2019·绥德中学高二月考）数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2015S =A ．1008B ．2015C ．1008-D ．504-4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列{}n x 中，212n n n x x x +++≤，1n ≥，设其前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．()1012110x x x x -≥-B ．1101011099x x S x x +≤≤+C ．122kk x x x +≤D ．若11n n n x x n +-=+，则1(1)2n n n n S nx ++>-5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列{}n a 的首项13a =，且122n n a a -=-()2n ≥，则2021a =（）A ．3B ．43C ．12D ．2-6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n 行黑圈的个数为n a ，则6a =（）A ．55B ．58C ．60D ．627．（2021·河南高三其他模拟（文））数列{}n a 满足递推公式21++=+n n n a a a ，且12a a =，201920202020a a ⋅=，则222122019a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．1010B ．2020C ．3030D ．40408.（2019·浙江高考模拟）已知数列{}n a 满足10a >，114a =，2112n n n a a a +=+，数列{}n b 满足0n b >，112b a =，21112n n n b b b ++=+，*n N ∈若存在正整数(),m n m n ≤，使得14m n b b +=，则（）A．10,12m n ==B．9,11m n ==C．4,6m n ==D．1,3m n ==9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则2019S =______．10.（山东省单县第五中学月考）数列{}n a 的通项()()*10111nn a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.练提升1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列{}n a 满足123232nn a a a na ++++= ，则239101229444a a a a a a +++ 的值为（）A ．710B ．1310C ．95D ．9202．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，()()111131,,2n n n n n a a a a a ----⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 中必存在值为1的项．若01a =，则5a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43.（2021·辽宁高二月考）设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n +=∈N ，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,3]B ．(1,3)C ．()2,3D ．3(1,24．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（）A ．1270a =B ．1384a =C ．当n 为偶数时，1121n n n S S S n +--+=+D ．当n 为奇数时，()1121n n n S S S n n +--+=>5．（2020·四川高一期末（理））已知数列{}n a 满足2*12222()n n a a a n n N +++=∈ ，2211log log n n n b a a +=⋅，n S 为数列{}n b 的前n 项和.若对任意实数λ，都有n S λ<成立，则实数λ的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞D ．1[,)2+∞6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 满足()*5n n a a n +=∈N ，前n 项和为n S 满足()112nn n n S a =-+()316n n +-≤≤；数列{}n b 满足：11b =，且对任意的m ､*n N ∈都有：n m n m b b b nm +=++，则数列2n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第47项的值为（）A ．384B ．47C ．49D ．3767．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列{}n a 满足：1n a n=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，()ln 1n n n a b a +=，下列命题正确的是（）A ．11ln n n n a a n ++⎛⎫<<⎪⎝⎭B ．数列{}n b 是递增数列C ．202120201ln 2021S S ->>D ．ln 2ln 3n b ≤<8．【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{}n a ，121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，边长为斐波那契数n a 的正方形所对应扇形面积记为()*n b n ∈N ，则（）A ．()2233n n n a a a n -+=+≥B ．123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+C ．()2020201920182021π4b b a a -=⋅D ．123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列{}n a 满足()211232222n n n a a a a n n N *+++⋯+⋅∈﹣＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若51n n S a λ-≥恒成立，求实数λ的取值范围.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列{}n a 中，12a =，1(1)()2(1)n n n n a a a n ++-=++.（1）求2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是1n a n =+，21n a n =+，2n a n n =+中的一个，设数列1{}na 的前n 项和为n S ，1{}n n a a +-的前n 项和为n T ，若360nnT S >，求n 的取值范围．练真题1．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+==∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．100332S <<B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<2.（2019·浙江高考真题）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈,则（）A．当101,102b a =>B．当101,104b a =>C．当102,10b a =->D．当104,10b a =->3．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I 理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A．11010 B．11011C．10001D．110015．（2020·全国高考真题（文））数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =______________.6.（2021·全国高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.。

2019年高考数学第一轮复习测试题（含答案）世界上没有不付出就成功的可能，想要高考取得好成绩，扎实的第一轮复习必不可少，查字典数学网小编带来了2019年高考数学第一轮复习测试题(含答案)，希望能够让更多的高三学生更好的复习。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1.(2019?合肥质检)集合A={1,2,3}，B={x∈R|x2-ax+1=0，a∈A}，则A∩B=B时a的值是()A.2B.2或3C.1或3D.1或2[答案] D[解析] 由A∩B=B知B?A，a=1时，B={x|x2-x+1=0}=??A;a=2时，B={x|x2-2x+1=0}={1}?A;a=3时，B={x|x2-3x+1=0}={3+52，3-52}?A，故选D.2.(文)(2019?合肥质检)在复平面内，复数i3-i(i是虚数单位)对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] B[解析] z=i3-i=i?3+i?3-?-1?=-14+34i的对应点-14，34在第二象限.(理)(2019?蚌埠二中质检)如果复数2-bi1+2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于() A.2 B.23C.-23D.2[答案] C[解析] ∵2-bi1+2i=?2-bi??1-2i?5=2-2b5+-b-45i的实部与虚部互为相反数，∴2-2b5+-b-45=0，∴b=-23，故选C. 3.(文)(2019?日照调研)若e1，e2是夹角为π3的单位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2，则a?b等于()A.1B.-4C.-72D.72[答案] C[解析] e1?e2=1×1×cosπ3=12，a?b=(2e1+e2)?(-3e1+2e2)=-6e21+2e22+e1?e2=-6+2+12=-7 2，故选C.(理)(2019?河南豫州九校联考)若A、B是平面内的两个定点，点P为该平面内动点，且满足向量AB→与AP→夹角为锐角θ，|PB→||AB→|+PA→?AB→=0，则点P的轨迹是()A.直线(除去与直线AB的交点)B.圆(除去与直线AB的交点)C.椭圆(除去与直线AB的交点)D.抛物线(除去与直线AB的交点)[答案] D[解析] 以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，设A(-1,0)，则B(1,0)，设P(x，y)，则PB→=(1-x，-y)，PA→=(-1-x，-y)，AB→=(2,0)，∵|PB→|?|AB→|+PA→?AB→=0，∴2?1-x?2+?-y?2+2(-1-x)=0，化简得y2=4x，故选D.4.(2019?黑龙江哈六中期末)为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为()A.150B.160C.200D.230[答案] B[解析] 依据分层抽样的定义，抽样比为50900=118，故这次调研一共抽查试卷(1260+720+900)×118=160份.5.(文)(2019?福州市期末)设函数y=f(x)的定义域为实数集R，对于给定的正数k，定义函数fk(x)=f?x? ?f?x?≤k?k ?f?x?>k?，给出函数f(x)=-x2+2，若对于任意的x∈(-∞，+∞)，恒有fk(x)=f(x)，则()A.k的最大值为2B.k的最小值为2C.k的最大值为1D.k的最小值为1[答案] B[解析] ∵x∈(-∞，+∞)时，f(x)=-x2+2≤2，且fk(x)=f(x)恒成立，且当f(x)>k时，fk(x)=k，故k的最小值为2. (理)(2019?丰台区期末)用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)=max{x2，x}(x≥14)，那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=14和直线x=2所围成的封闭图形的面积是()A.3512B.5924C.578D.9112[答案] A[解析] 如图，平面区域的面积为6.(2019?北京丰台区期末)下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[-2，12]内，则输入的实数x的取值范围是()A.(-∞，-1]B.[14，2]C.(-∞，0)∪[14，2]D.(-∞，-1]∪[14，2][答案] D[解析] ∵x0得，14≤x≤2，故选D.7.(文)(2019?潍坊一中期末)下列有关命题的说法错误的是()A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件C.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D.对于命题p：?x∈R使得x2+x+11”;④命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的逆否命题为“若x+y0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y=cosx-3sinx=2cosx+π3左移m个单位得y=2cosx+m+π3为偶函数，∴m+π3=kπ，k∈Z.∵m>0，∴m的最小值为2π3.(理)(2019?咸阳模拟)将函数y=sin2x+π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是()A.y=2+sin2x+3π4B.y=2+sin2x-π4C.y=2+sin2xD.y=2+cos2x[答案] A[解析] y=sin2x+π4――――――――→图象再向上平移π4个单位用x+π4代替xy=sin2x+π4+π4―――――――→图象再向上平移2个单位用y-2代替yy-2=sin2x+π4+π4，即得y=sin2x+3π4+2，故选A.9.(2019?陕西咸阳模拟)如图所示的程序框图，其输出结果是()A.341B.1364C.1365D.1366[答案] C[解析] 程序运行过程依次为：a=1，a=4×1+1=5，a0，b>0，(a+1)2+(b+1)2=8，∴a2+b2+2a+2b=6，∴2ab+4ab≤6，∵ab>0，∴0[点评] 作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y=x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.15.(2019?重庆南开中学期末)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1，则当n≥2时，1a1+1a2+…+1an=________. [答案] 2-12n-1[解析] a1=S1=1，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，∴an=2n-1(n∈N*)，∴1an=12n-1，∴1a1+1a2+…+1an=1-12n1-12=2-12n-1.16.(文)(2019?北京学普教育中心)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈M(M?D)，有x+l∈D，且f(x+l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.如果定义域为[-1，+∞)的函数f(x)=x2为[-1，+∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是________.[答案] [2，+∞)[解析] f(x)=x2(x≥-1)的图象如图所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)=1，应有m≥2;故x≥-1时，恒有f(x+m)≥f(x)，只须m≥2即可.(理)(2019?四川资阳模拟)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M，如图①;将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③.图③中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n.给出下列命题：①f14=1;②f(x)是奇函数;③f(x)在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________.(填出所有真命题的序号)[答案] ③[解析] 由m的象是n的定义知，f140，∴0∴实数a的取值范围是(0,1].(2)当a=1时，h(x)=f(x)g(x)=-x2+2x+mx=-x+mx+2;当m≥0时，显然h(x)在(0，+∞)上单调递减，∴h(x)无最大值;当m0)F′(x)=1x-x+32=2-2x2+3x2x=-?2x+1??x-2?2x，∵x>0，∴当0∴F(x)的增区间为(0,2)，减区间为(2，+∞).(2)令h(x)=f(x)-g(x) (x>0)则由h′(x)=f′(x)-g′(x)=1x+2-2ax-a=-?2x+1??ax-1?x=0，解得x=1a，∵h(x)在0，1a上增，在1a，+∞上减，∴当x=1a时，h(x)有最大值h1a=ln1a+2a-a1a2+1a=ln1a+1a-1，∵a≥1，∴ln1a≤0，1a-1≤0，∴h(x)≤h1a≤0，所以f(x)≤g(x).19.(本小题满分12分)(文)(2019?厦门期末)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列.(1)求通项an;(2)令bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析] (1)设数列{an}的公关差为d，则d≠0，∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22=a1?a4，∴(a1+d)2=a1?(a1+3d)，整理得：a1=d，又a1=1，∴d=1，∴an=a1+(n-1)?d=1+(n-1)?1=n.即数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)可得bn=an+2an=n+2n，∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)=(1+2+3+…+n)+(21+22+23+…+2n)=n?n+1?2+2?1-2n?1-2=n?n+1?2+2(2n-1)=2n+1+12n2+12n-2.故数列{bn}的前n项和为Sn=2n+1+12n2+12n-2.(理)(2019?河北冀州期末)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式(用n，d表示);(2)设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立，求c的最大值.[解析] (1)由题意知：d>0，Sn=S1+(n-1)d=a1+(n-1)d2a2=a1+a3?3a2=S3?3(S2-S1)=S3,3[(a1+d)2-a1]2=(a1+2d) 2，化简得：a1-2a1?d+d2=0，∴a1=d，∴a1=d2Sn=d+(n-1)d=nd，Sn=n2d2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2，适合n=1的情形.故an=(2n-1)d2.(2)Sm+Sn>cSk?m2d2+n2d2>c?k2d2?m2+n2>c?k2，∴c又m+n=3k且m≠n,2(m2+n2)>(m+n)2=9k2?m2+n2k2>92，故c≤92，即c的最大值为92.20.(本小题满分12分)(2019?山西太原调研)已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，它的一个顶点为M(0,1)，离心率e=63.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB的面积的最大值.[解析] (1)依题意得b=1e=ca=a2-b2a=63解得a=3，b=1，∴椭圆的方程为x23+y2=1.(2)①当AB⊥x轴时，|AB|=3，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知|m|1+k2=32得，m2=34(k2+1)，把y=kx+m代入椭圆方程整理得，(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，∴x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3?m2-1?3k2+1.当k≠0时，|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)36k2m2?3k2+1?2-12?m2-1?3k2+1=12?1+k2??3k2+1-m2??3k2+1?2=3?k2+1??9k2+1??3k2+1?2 =3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4.当且仅当9k2=1k2，即k=±33时等号成立，此时|AB|=2.当k=0时，|AB|=3.综上所述：|AB|max=2，此时△AOB面积取最大值S=12|AB|max×32=32.21.(本小题满分12分)(文)一个多面体的三视图及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点.(1)求证：MN∥平面ACC1A1;(2)求证：MN⊥平面A1BC.[证明] 由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1.(1)由直三棱柱的性质知，四边形ABB1A1为矩形，对角线交点M为A1B的中点，又∵N为B1C1的中点，∴△AB1C1中，MN∥AC1.又∵AC1?平面ACC1A1，MN?平面ACC1A1.∴MN∥平面ACC1A1.(2)∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，交线为AC，又AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵AC1?平面ACC1A1，∴BC⊥AC1.在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C.又BC∩A1C=C，∴AC1⊥平面A1BC，∵MN∥AC1，∴MN⊥平面A1BC.[点评] 将几何体的三视图与线面平行垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向.解答这类问题首先要通过其三视图确定几何体的形状和主要几何量，然后利用几何体的性质进行推理或计算.请再练习下题：已知四棱锥P-ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若点F在线段BD上，且DF=3BF，则当PEEC等于多少时，有EF∥平面PAB?并证明你的结论;(3)试证明P、A、B、C、D五个点在同一球面上.[解析] (1)由四棱锥的三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.∴VP-ABCD=13S正方形ABCD?PC=23.(2)当PEEC=13时，有EF∥平面PAB.连结CF延长交AB于G，连结PG，在正方形ABCD中，DF=3BF. 由△BFG∽△DFC得，GFFC=BFDF=13.在△PCG中，PEEC=13=GFFC，∴EF∥PG.又PG?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB.(3)证明：取PA的中点O.在四棱锥P-ABCD中，侧棱PC⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，又O为PA中点，∴OA=OP=OB=OC=OD.∴点P、A、B、C、D在以点O为球心的球面上.(理)(2019?湖南长沙一中期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D;(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.[解析] (1)因为A1O⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD=O，∴BC⊥平面A1CD.因为A1D?平面A1CD，∴BC⊥A1D.(2)连结BO，则∠A1B O是直线A1B与平面BCD所成的角. 因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC=B，∴A1D⊥平面A1BC，∵A1C?平面A1BC，∴A1D⊥A1C.在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，∴A1C=4.根据S△A1CD=12A1D?A1C=12A1O?CD，得到A1O=125，在Rt△A1OB中，sin∠A1BO=A1OA1B=1255=1225.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.选做题(22至24题选做一题)22.(本小题满分12分)几何证明选讲(2019?北京学普教育中心联考)如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的长.[解析] 设CB=AD=x，则由割线定理得：CA?CD=CB?CE，即4(4+x)=x(x+10)化简得x2+6x-16=0，解得x=2或x=-8(舍去)即CD=6，CE=12.因为CA为直径，所以∠CBA=90°，即∠ABE=90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D=90°，则CD2+DE2=CE2，∴62+DE2=122，∴DE=63.23.(本小题满分12分)极坐标与参数方程(2019?辽宁省实验中学期末)已知直线l经过点P12，1，倾斜角α=π6，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ-π4.(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程;(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积.[解析] (1)直线l的参数方程为x=12+tcosπ6y=1+tsinπ6即x=12+32ty=1+12t(t为参数)由ρ=2cosθ-π4得ρ=cosθ+sinθ，所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴x-122+y-122=12.(2)把x=12+32ty=1+12t代入x-122+y-122=12得t2+12t-14=0，|PA|?|PB|=|t1t2|=14.故点P到点A、B两点的距离之积为14.24.(本小题满分12分)不等式选讲(2019?大连市联考)已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R);(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围.[解析] (1)不等式f(x)+a-1>0，即|x-2|+a-1>0，当a=1时，解集为x≠2，即(-∞，2)∪(2，+∞);当a>1时，解集为全体实数R;当a1-a，∴x-2>1-a或x-2故解集为(-∞，a+1)∪(3-a，+∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x-2|+|x+3|>m恒成立.又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5，于是得m。