《直角三角形》小结与复习30页PPT

直角三角形
学习目标
• 1.掌握直角三角形的性质定理和判定 定理
• 2.掌握含30º角的直角三角形的性质
学习重点和难点
• 重点：
• 直角三角形的性质定理和判定定理
• •
难点： PPT模板：素材： PPT背景：图表： PPT下载：教程： 资料下载：范文下载： 试卷下载：教案下载： PPT论坛：课件： 语文课件：数学课件： 英语课件：美术课件： 科学课件：物理课件： 化学课件：生物课件：
3、直你得角到三了角什形么斜结边论上？ 的中线等于斜边的一半．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已 知 ： 在 Rt△ABC 中 ， ACB=90° ， CD 是
斜边AB上的中线。求证：CD= 1AB 2
A
E
证明：延长CD到点E,使
DE=DC，连接AE.
D
C
B
已知：在Rt△ABC中，ACB=90°，CD是
2 AB,那
由此可得出结论：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°
例2
在A岛周围20海里（1海里=1852 m）水域内有暗礁，
一轮船由西向东航行到O处时，发现A到在北偏东60°
的方向，且与轮船相距 30 3 海里，如图所示。该船 如果保持航向不变，有触礁的危险吗？
斜边AB上的中线。
求证：CD=
1 2
AB
证明：延长CD到C’,使C’D＝CD，连接AC’
在△ADC’与△BDC中
｛AD=BD
（已知）
ADC’= BDC（对顶角相等）
C’D=CD
（已作）
∴ △ADC’ ≌ △BDC (SAS)
A
C’

广东省怀集县凤岗镇初级中学 黎方和
一、基础知识
练一练： 1、已知△ABC中,∠A=∠B+∠C,则∠A的度数为 ( B)
A.100° B.90° C.80° D.85°
2、三角形的每个外角都为120°，则这个三角 形是（ C ）
A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形
一、基础知识
A．11
B．12
C．13
D．14
4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D 是 AB 上一点，
将△ABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 B′处，则∠ADB′等于( D )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
第4题
二、填空题 5．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三 角形具有____稳定 _____性．
角形的第三边长m的取值范是 6〈m〈10
.
广东省怀集县凤岗镇初级中学 黎方和
一、基础知识
3、如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，BE 是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是 24，则ABE的面积是（ B ）
A
A、3
B、6
E
C、9
D、12
C
B
D
广东省怀集县凤岗镇初级中学 黎方和
一、基础知识
F
B 广东省怀集县凤岗镇初级中学
G 黎方和
E C
二. 强化训练 8.如图，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别为 ∠ABC与∠ADC的平分线，能判断BE∥DF吗？ 试说明理由．
广东省怀集县凤岗镇初级中学 黎方和
一、选择题 章末检测
1．如图，在△ABC 中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD 的度数( B )

特 别 常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24， 提 25及9，40，41等 醒
【例2】如图，P是等边三角形ABC内 的一点，连结PA，PB，PC，以BP为 边作∠PBQ=60°，且BQ=BP， 连结CQ. (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小 关系，并证明你的结论； (2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. 【思路点拨】(1) (2)由勾股定理的逆定理判别即可.
【解题导引】设出未知数，分别表示出C′D和AD，然后在 Rt△ADC′中利用勾股定理列方程求解. 【规范解答】根据勾股定理得AB=10 cm，设CD=x，则 C′D=x，AD=8-x，根据折叠可知BC′=BC=6 cm，因此 AC′=4 cm，在Rt△ADC′中，根据勾股定理得(8-x)2=42+x2， 解得x=3，因此C′D=3 cm，因此求得△ADC′的面积为6 cm2. 答案：6 cm2
启 示
所需要的量时，可以考虑通过设出未知数，然后列方程 (组)求解.
1.(2012·黄石中考)如图所示，矩
形纸片ABCD中，AB＝6 cm，
BC＝8 cm，现将其沿EF对折，
【名师点评】通过对方程思想在勾股定理中的应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型 题目的创新点拨和解题启示：
创 利用方程思想解题时，首先通过分析题意，设出适当的 新 未知数，然后利用所设未知数表示出其他的边，并把它 点 们集中到一个直角三角形中，最后利用勾股定理等关系 拨 列方程求解.
解
题 在直角三角形中，根据题目所给的条件，无法直接求出
勾股定理 ◆中考指数：★★★☆☆ 知 勾股定理的三个应用 识 1．已知直角三角形的两边求第三条边； 点 2．已知直角三角形的一边及另两边关系求另两边，一般设 睛 未知数；

A
E
B
C D
作业
如图，AC与BD相交于点. O,DA⊥AC,
DB⊥BC,AC=BD，说明OD=OC成立 的理由. A O D C B
如图:AC与BD相交于点O,DA⊥AC, DB⊥BC,AC=BD，说明OD=OC成立 的理由. A B 解：理由如下：连接DC， O ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=90° 又∵AC=BD(已知) C D CD=DC(公共边) ∴Rt△ACD≌Rt△BDC(HL) ∴∠BDC=∠ACD(全等三角形的对应角相等) ∴ OD=OC(等角对等边)
A
E
2、如图：直线L上有三个正方形A、B、C。
若A、C的面积分别为5和11，则B的面积为
多少？
B A C
例2、如图：设A城市气象台测得台风中心，在 A城正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风 影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？ 为什么？如果你是气象员，请你算一算。
.
1、如图：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10cm， BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC 上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，请探 究当点P满足什么条件时，△ABC和△PQA全等。 解:当P点为AC中点或P点与C点 重合时△ABC和△PQA全等. 1)当P为AC中点时,PA=PC=5cm, M ∴PA=CB, Q ∵AB=QP ∴Rt △ABC≌ Rt △QPA(HL) B 2)当P点与C点重合时,AC=PA ∵AB=PQ ∴Rt △ABC≌ Rt △PQA(HL)
∴ △ACD是Rt △ ∴S四边形ABCD= ×4 ×3﹢ ×12 ×5=36
1 2 1 2
练习

A E
C
B
D
9、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标 注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
A D
AB=AB,
B
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
10、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
二、直角三角形全等的判定： 斜边直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”）.
三、角平分线的性质： 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离
相等。 逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角
的平分线上。
随堂练习
1.如图，AB ⊥DB,CD ⊥DB,下列说法错误的是（ C ）
知识梳理
一、直角三角形的性质和判定：
性质定理： 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的
平方.
a2 + b2 =c2
判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形。 如果三角形的三条边长，a,b,c满足关系：
a2 + b2 =c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里， 故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没 有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动， 日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青 蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生 路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，

点拨：台风中心在AC上移动，要知道B处是否 受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这 个最短距离与200的关系，若小于或等于200 海里则受影响，若大于200海里则不受影响。
（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风 中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时 间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角 形边角关系，此题就不难得到解决。
2、 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的 B处，经16时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知， 一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 （1）问B处是否会受到影响？请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响，该船应在多长时间内卸完货物?
第一章 直角三角形的边角关系
回顾与思考
大庆市第四十四中学 王 琦
小结
拓展
回味无穷
• 由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 ∠A= 2
300 sin A 3 ∠A=
2
600 sin A 2 ∠A= 450
2
cos A 1 ∠A= 2
北
C
西
D
E
B
A
4
1、在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，则 sinA=
5
2、（1） 2 sin 600 3 cos 450 6
（2） 3 cos 600 5 sin 300 1

1
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的
对边.
(1)已知c=8,b=4,则a= 4 3 ∠A= 60°

60°，AB 与 DE 有怎样的位置关系？AD 与 BC 有怎样
的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC. 理由如下： ∵ 六边形 ABCDEF 的内角都相等，
D
E
2C
∴ 六边形 ABCDEF 的每一个内角都是 120°.
∴∠C =∠EDC =∠FAB = 120°.
F
1B
∵∠1 =∠2 = 60°，
1．(德阳)八一中学九年级 2 班学生小冲和小锐的家
到学校的直线距离分别是 5 km 和 3 km. 那么小冲、
小锐两家的直线距离不可能是
(A)
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
2．(抚州)已知等腰三角形两边的长分别为 a，b，且满 足 |a－3|＋(b－7)2＝0.则这个等腰三角形的周长为_1_7__.
例4 如图，D 是△ABC 的边 BC 上任意一点，E、F 分
别是线段 AD、CE 的中点，且△ABC 的面积为 24，求
△BEF 的面积．
A
解：∵ 点 E 是 AD 的中点，
EF
∴ S△DBE = S△ABD，S△DCE = S△ADC.
BD
C
∴ S△DBE + S△DCE = S△ABC = ×24 = 12，即 S△BCE = 12.
考点二 三角形的重要线段
例3 如图，CD 为△ABC 的 AB 边上的中线，△BCD 的周
长比△ACD 的周长大 3 cm，BC = 8 cm，求边 AC 的长． 解：∵ CD 为△ABC 的 AB 边上的中线， ∴ AD = BD． ∵△BCD 的周长比△ACD 的周长大 3 cm， ∴ (BC + BD + CD)－(AC + AD + CD) = 3． ∴ BC－AC = 3． ∵ BC = 8 cm， ∴ AC = 5 cm．

5. 直角三角形_两__直__角__边__的平方和等于__斜__边___的平
方。如果用字母a，b和c分别表示直角三角形的两条
直角边和斜边，那么__a_2__+ ___b2__=___c2__。
6.如果三角形中_两__边_的平方和等于 第三边 边的 平方，那么这个三角形是直角三角形， 最大边 所 对的角是直角。
逆时针旋转90°而得，连结DE，可得：
E
∠DAE=90°，CE=BD
在Rt∆DEC中，CE2+CD2=DE2 B
D
C
∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2
又∵∠DCE=90° AE=AD， ∴ 在Rt∆ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2
∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2
分析：要证OD=OC，就只要证∠1=∠2
只要证明Rt∆BDC≌Rt∆ACD， 条件满足吗？
A
B
O
证明: ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=900
D1
2
C
又∵ AC=BD ，CD=DC ∴ ∆ACD≌∆BDC （HL）
∴ ∠BDC= ∠ACD（全等三角形的对应角相等）
∴ OD=OC（等角对等边）
即：(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0 ∴ a=3，b=4，c=5 ∵ 32+42=52
∴ △ABC是直角三角形。 作业：p28 A 1、6、7
定
勾股定理逆定理
3、直角三角形中300角所对的边的大小性质及逆定理。
4.直角三角形勾股定理的内容： A
∵△ABC为直角三角形． ∴a2＋b2＝c2 .
bc C aB

（1）作线段CB=a，
（2）过点C，作MC⊥CB.
M A
（3）以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A,
（4）连接AB.
C
B
画法：1.画∠MCN=90 °. 2.在射线CM上取CB=a. 3.以B为圆心，c为半径画弧， 交射线CN于点A.
a
c
N A c
4.连结AB . △ABC就是所要画的直角三角形. M B a C
角三角形.
A
D
B
C
观察与思考
在一张半透明的纸上画出Rt△ABC”表示，如图所示；
A
将∠B折叠，使点B与点C重合，
折痕为EF，沿BE画出虚线EF，
E
如图所示；
C
（B）
F
将纸展开，如图所示； BB
A E
C
F
B
我们发现：CE__=__AE__=__EB.即CE是AB的中线且CE=
1 2
AB.
下面我们就来证明这个“发现”.
∴可得到：∠C=90°，△ABC为直角三角形. 直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三
角形.
练一练 1.为已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3.那么
这个三角形是__直__角__三__角__形____.
2.四边形ABCD是长方形，连接AC，BD，找出图中所有的直
证明：在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠C=90°，∠C′=90°，
A A'
∴BC2=AB2－AC2， B′C′2=A′B′2－A′C′2(勾股定理).
∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
B
C C'

考点精讲
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角 边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021