笔算开立方和N次方

笔算开n次方笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。

如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。

6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。

例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。

3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 92970 61757................................397^5-390^5____________________________________________1 48262 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5_________________________________________11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 77547 90756 09349 23307 82648 69351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。

笔算开立方的方法方法一1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；5．用同样方法继续进行下去。

方法二第1、2步同上。

第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×3 0+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。

然后重复第3、4步，直到除尽。

开方算法的历史记载九章算术《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。

开立方原文开立方〔立方适等，求其一面也。

〕术曰：置积为实。

借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。

〕议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。

以上议命而除之，则立方等也。

〕除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。

〕复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。

开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。

据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。

〕以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。

〕复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。

立方等未有定数，且置一算定其位。

〕步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。

求立方根（笔算开立方）方法1、从个位向左每3位数分一节，最左一节可能是3位、2位也可能是1位数。

分出几节说明立方根就有几位数。

2、求出最高（左边第一）节位立方根（整数），余数连接下一节3位数作为下一组的被除数。

3、用求出的立方根的2次方×300后试除被除数，能商几就用前面立方根的平方×300×商＋前面立方根×30×商的平方＋商的立方。

（注：一般实际商会比试商少1，因为在试商的情况下还要＋新商的立方）这个商就是所求立方根的第2位数。

4、同上：将第二次的余数连接下一节3位数作为新的被除数。

5、将前面已有两位数组成的立方根的平方×300后试除新的被除数，能商几就用：前两位立方根的平方×300×商＋前两位立方根×30×商的平方＋商的立方。

这个商就是所求立方根的第3位数。

6、反复采用上述计算方法，直到余数是0为止。

通过试商，如果发现商大或商小了就减小或增大数字就行了。

总之求出的立方根必须与题目相符。

例1：求17576的立方根解：分节：17’576说明立方根有2位数17的立方根（整数部分）是22×2×2=817-8=99000+576＝95762的平方×300＝12009576÷1200最多商77-1=6（试商）2×2×300×6+2×30×6×6+6×6×6=95769576-9576=020+6=2617576的立方根是26例2：求13144256的立方根解：分节：13’144’256说明立方根有3位数13的立方根（整数部分）是22×2×2=813-8=55000+144＝51442的平方×300＝12005144÷1200最多商44-1=3（试商）2×2×300×3+2×30×3×3+3×3×3=41675144-4167=977977000+256=97725623×23×300＝158700977256÷158700最多可以商623×23x300x6＋23×30×6×6+6×6×6＝977256977256-977256=0200+30+6=23613144256立方根是236。

笔算开立方公式范文开立方公式是指一个数的立方根的计算公式。

在数学中，立方根可以定义为一个数与自身相乘三次后等于一些给定的数。

开立方公式是求解立方根的一种常用方法。

开立方公式可以通过多种方法来推导。

这里我将为你介绍一个基于二次方程的方法来推导开立方公式。

我们可以假设需要求解的立方根为一个实数x。

根据定义，我们可以得到等式：x^3=a其中a是给定的一个实数。

我们需要找到x的表达式。

首先，我们需要将等式两边开三次方。

我们有：(x^3)^(1/3)=a^(1/3)由于两个开三次方操作互为逆运算，我们可以得到：x=a^(1/3)这样我们就得到了一个等式，它告诉我们求解立方根的方法就是将数a开三次方。

现在让我们用这个公式来解决一个具体的问题。

假设我们需要求解的立方根是8、根据公式，我们有:x=8^(1/3)我们可以将8写成2的三次方，这样我们有：x=(2^3)^(1/3)根据指数运算法则，我们可以得到：x=2^((3/3)*1/3)继续化简，我们有：x=2^(1/3)最后，我们可以得到解决方案：x=2^(1/3)=1.259这就是求解8的立方根的结果。

通过以上的推导，我们可以得到开立方公式：x=a^(1/3)其中a是需要求解立方根的数。

需要注意的是，开立方公式可以应用于实数和复数。

在实数领域中，立方根函数是一个增函数，即当a大于b时，a的立方根大于b的立方根。

而在复数领域中，存在三个互为倒数的解。

也就是说，复数的立方根存在三个互为倒数的解。

这就是开立方公式的笔算推导过程。

通过这个公式，我们可以方便地求解一个数的立方根，无论是实数还是复数。

希望这个解答能够满足你的需求。

笔算开立方的方法方法一1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；5．用同样方法继续进行下去。

方法二第1、2步同上。

第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×3 0+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。

然后重复第3、4步，直到除尽。

开方算法的历史记载九章算术《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。

开立方原文开立方〔立方适等，求其一面也。

〕术曰：置积为实。

借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。

〕议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。

以上议命而除之，则立方等也。

〕除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。

〕复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。

开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。

据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。

〕以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。

〕复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。

立方等未有定数，且置一算定其位。

〕步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。

开立方公式原理还是利用二项展开式（A+B）^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3过程比较麻烦,但可以用笔算求出任意数的平方根.过程用文字来描述有点烦,希望你能看明白,如有不明白的,可在线问我.以2460375求平方根为例.第一步,先把所求数从左至右每3个数分成一段,即2,460,375(你会算平方根的,立方根的竖式算式与其相同，开平方是每两位分成一段，开立方是第三位分成一段)先求第一段2,试算法,(试取一个数,使其的立方不溢出所求数该段上的数),这一步很容易可知得数是1,把该得数1定义为A,并把这个得数1写在立方根算式相应段2的上面.第二步,求第二段,1的立方为1,2-1=1,把余数1及第二段上的三个数移下来,变成1460,还是用试算法,试求一个数B,(B可先任选一个个位数,为了说明步骤简单些,我只接选B=3),第一步,算出3A^2,即3,把3写在算式边上其它空白的地方的第一行,第二步,算出3AB=9,把9写在3的下面往右移一位,(可理解为30+9),再算出B^2=9,把9再往右移一位写在上一个9的下面,(即变成300+90+9),算出这个三个数移位相加后的得数为399.再用这个得数与试算数B(这里是3)相乘得1197,这个数没有大于1460.可选B=4再按以上相同的方法进行试算, (你可以发现是3136*4,已大于1460,)所以可以确定第二位上的数是3.把这个得数3写在算式相应段460的上面,现在已算出得数的前两位数了(13),再算第三段.把1460-1197=263,再把第三段的数375顺延下来,变成263375,此时定义13为A,用B进行试算,算法与上一段完全相同,我这里先选B=5进行试算,先在其它空白处写上3A ^2=507,第二行,往右移一位,写上3AB=195,第三行又往右移移一位写上B^2=25,这个竖式求和变成是50700+1950+25=52675用52675乘以试算数5=263375,刚好等于第三段所求数.所以135就是2460375的立方根.任意数开立方根笔算步骤如下:1、把所求数从右往左每3位分一段分成若干段,从左往右开始计算.2、先从最左边一段开始计算。

笔算开方公式（竖式）今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。

只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。

既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。

以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！1.手开方公式举例：上式意为65536的开平方为256。

手开方过程类似于除法计算。

为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。

以65536为例，其具体计算过程如下：Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。

Step2：从高位开始计算开方。

例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。

于是将2写在根号上方，计算开方余项。

即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。

Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。

即本步除数是4x(四十几)。

按照要求，本步的商必须是x。

因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。

Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。

其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。

例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。

本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。

2.字母表示和手开方公式的证明：既然要证明，必须先把公式一般化。

简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。

任意正整数均可表示成则正整数M开方计算得到的就是A。

根据手开方公式的思路，应该写成：不失一般性，对A进行推广。

前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。

笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向由每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。

如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n 大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。

6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。

例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。

3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 92970 61757................................397^5-390^5____________________________________________1 48262 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5_________________________________________11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 77547 90756 09349 23307 82648 69351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。

今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。

当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。

因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。

在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。

它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。

(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。

在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。

然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。

因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。

(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a%2笔算开立方一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理题。

我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。

这促使我寻求笔算开立方的方法。

笔算开平方的方法我是掌握的。

我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组；2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数；3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。

再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。

5．用同样方法继续进行下去。

类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。

关键是第4步如何进行。

开立方的计算方法
开立方是指一个数的立方，即将一个数乘以自身再乘以自身。

一个数的立方可以表示为n^3或n³，其中n表示这个数。

1.立方根的定义方法：
开立方可以通过计算立方根来完成。

一个数的立方根可以表示为∛n
或n^(1/3)。

例如，要计算8的立方根，可以找到一个数x，使得x^3=8、在这个
例子中，x=2，因为2^3=8
因此，∛8=2，2是8的立方根，也是8的开立方结果。

2.乘法表方法：
开立方可以通过查阅乘法表来完成。

在古代，人们使用乘法表来计算
开立方。

例如，要计算8的开立方，可以查阅乘法表中的8行和8列的交汇点，即(8,8)的位置。

在这个位置上，可以找到一个数x，使得x^3=8、在这个例子中，x=2，因为2^3=8
因此，开立方结果为2
3.试探法：
试探法是一种逐步尝试的方法，通过逼近解来计算开立方。

例如，要计算8的开立方，可以从一个数x开始，例如x=2，计算x 的立方。

如果结果小于8，就尝试增大x的值；如果结果大于8，就尝试减小x的值。

在这个例子中，2的立方为8，因此2是8的开立方结果。

4.迭代法：
迭代法是一种逐步逼近解的方法，通过不断迭代计算来接近开立方的结果。

例如，要计算8的开立方，可以选择一个初始值x0，例如x0=2，然后通过以下迭代公式计算下一个近似值x1:
x1=(2/3)*x0+(8/(3*x0^2))
在这个例子中，通过多次迭代计算，可以得到开立方的结果。

对正数A笔算开n次方第一步，从A的末位开始，n位归一节，直到最左侧不足或恰好为n位；（如对123456789开立方，则分段位123 456 789）（设M为通过该方法，成功取得的前若干位结果，k为即将取得的下一位数值。

）第二步，对最左端试开n次方（试开n次方是指，寻找正整数k，使得n k≤B且()1+k n>B,这里B是要试开的数），结果设为a，则a为当前M。

然后将n a写到A最左侧那段并右对齐，求差，设为b。

第三步，将A的后面n个数接到b后面，记为B。

对下一位k，当且仅当[a n1-*M n1-+a n2-*M n2-*k +。

+a1*M*k n2-+a0*k n1-] *k≤B且[ a n1-*M n1-+a n2-*M n2-*()1+k+。

+a1*M* ()12+-k n+a0*()11+-k n]*(k+1)>B时，k为所求。

（这里，{}an为杨辉三角的第n层，a n1-=c n n1-*101-n，。

a1=c n1*101，a0=c n0第四步，将步骤三所求得的k接在M后，形成新的M，然后按照步骤三继续求下一个k，知道最右段用完。

第五步，在没有数字的（小数点后面）添上n个0，形成B，继续步骤三，知道需要的精确度。

对于有小数的数A，在第五步中，用后面的小数代替n个0，继续求下一个k。

______by仰星不颦下面是用该方法求123456789开立方，即n=3时的过程4 9 73123456789（3位归段,123试开立方得4，则4为当前M）64 （参见第二步，64为a的n次方）300*42+30*4*9+9259 456 （把后面3位接到差59后，试开数k=9）53 649 （300*42+30*4*9+92）*9的值300*492+30*49*7+72 5 807 789 （试开数k=7）5 114 473 （300*492+30*49*7+72）*7的值693 316 000 （后补0，下面重复步骤三）。

笔算开n次‎方笔算开n次‎方的方法：1、把被开方的‎整数部分从‎个位起向左‎每隔n位为‎一段，把开方的小‎数部分从小‎数点第一位‎起向右每隔‎n位为一段‎，用撇号分开‎；2、根据左边第‎一段里的数‎，求得开n次‎算术根的最‎高位上的数‎，假设这个数‎为a；3、从第一段的‎数减去求得‎的最高位上‎数的n次方‎，在它们的差‎的右边写上‎第二段数作‎为第一个余‎数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个‎余数，所得的整数‎部分试商（如果这个最‎大整数大于‎或等于10‎，就用9做试‎商）；5、设试商为b‎。

如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等‎于余数，这个试商就‎是n次算术‎根的第二位‎；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数‎，就把试商逐‎次减1再试‎，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等‎于余数为止‎。

6、用同样的方‎法，继续求n次‎算术跟的其‎它各位上的‎数（如果已经算‎了k位数数‎字，则a要取为‎全部k位数‎字）。

例如计算9‎87654‎32198‎76543‎21的五次‎算术根，就算到小数‎点后四位。

3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432‎'19876‎'54321‎.00000‎'00000‎'00000‎'00000‎243_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎___744 65432‎......................................74465‎432/(5×30^4)整数部分是‎18，用9作试商‎ 659 24199‎......................................39^5-30^5_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎85 41233‎19876‎................................85412‎33198‎76/(5×390^4)的整数部分‎是7，用7作试商‎83 92970‎61757‎................................397^5-390^5_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎____1 48262‎58119‎54321‎..........................14826‎25811‎95432‎1/(5×3970^4)的整数部分‎是1，用1作试商‎1 24265‎57094‎08851‎..........................3971^5-3970^5_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎___23997‎01025‎45470‎00000‎....................23997‎01025‎45470‎00000‎/(5×39710‎^4)的整数部分‎是1，用1作试商‎12433‎44352‎06091‎99551‎....................39711‎^5-39710‎^5_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_11563‎56673‎39378‎00449‎00000‎..............11563‎56673‎39378‎00449‎00000‎/(5×39711‎0^4)的整数部分‎是9，用9作试商‎11191‎17001‎57043‎20516‎21599‎..............39711‎9^5-39711‎0^5_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_372 39671‎82334‎79932‎78401‎00000‎........37239‎67182‎33479‎93278‎40100‎000/(5×39711‎90^4)的整数部分‎是2，用2作试商‎248 70419‎01386‎56554‎83574‎43232‎........39711‎92^5-39711‎90^5_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎____123 69252‎80948‎23377‎94826‎56768‎00000‎..12369‎25280‎94823‎37794‎82656‎76800‎000/(5×39711‎920^4)的整数部分‎是9，用9作试商‎111 91704‎90192‎14028‎71518‎74119‎30649‎..39711‎929^5-39711‎920^5_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎_____‎____11 77547‎90756‎09349‎23307‎82648‎69351‎这样就得到‎98765‎43219‎87654‎321的五‎次算术根精‎确到小数点‎前四位为3‎971.1929。

怎样笔算开方？数学2010-02-03 10:46:24 阅读677 评论0 字号：大中小订阅怎样笔算开方？在没有计算器也没有任何资料的情况下，需要笔算开方怎么算呢？下面就简单地介绍一下：第一步：先分节。

把被开方数分节，从小数点向两边分，每两位数一节。

（从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数，，从小数点起向右每隔两位一节）用“，”号将各节分开；如625分节为6’25，5625分节为56’25，11278分为1’12’78，等等，一个数可分为几节，开方后就有几位。

由于有小数点与无小数点的笔算方法是一样的，所以下面就以整数开方为例来说明。

第二步：在被开方数的上方画一个根号，就开始算了，比如9’61这个数，上面打上根号，先看第一节9，3×3=9所以在根号上与9对齐的位置“商”3，3×3=9把9写在下面减去，就像除法那样在961下面减。

减完后还余下61,为了明白这里的原理，你可以借助于图形去理解，你画一个正方形，边长是两位数，十位是3，个位暂时还不知道,3×3=9 减去就是在左下角挖去一个900的正方形，还余下61就是挖去后剩下的像“7”字形的面积。

也可以看作是由两个全等的长方形与一个小正方形组成的.再不明白你就想一想(30+?)的平方展开式中的后两项.第三步：把“商”3乘以20，3×20=60考虑(60+?)×?=61 61×1=61 好了,在根号上方与第二节对齐处写1, 61×1=61 从下面减去得0,这样就完了,961开方是31.那么,这一步的原理又是什么呢?你再观看图形，注意左下角挖去一个900的正方形后还剩下的像“7”字形的面积,把它掰直成”1”字形的长方形,再看这个长方形的长是(2×30+?),也就是(3×20+?),宽是?,它的面积是61，那么不就是考虑(60+?)×?=61吗.再以625开方来练习一下,先分节为6’25,打上根号,先看第一节6,由于3平方不够,只能在第一节上面“商”2,2平方是4,像做除法那样在下面减4,余下225,2×20=40.考虑(40+?)×?=225 (40+5)×5=225 好，在第二节上面“商”5，下面减225得0，完了，625开方是25。

笔算开方方法
笔算开n 次方并不难，这里的n 可以是一切不为0的实数，如果开不尽就保留X 位小数。

还有时候，n 为0.5（就是平方）甚至更小。

若n 为有理数，就由下面的公式导出来。

p q n y y y q p
==
也可以先算开方后算乘方。

按公式，先是将n 转换成分数q 分之p 然后计算。

如果n 为负数就可以用下面的公式计算。

n n y y --=1
即y 的倒数开负n 次方（负负得正）
接着就是笔算开正整数次方了。

1. 先按n 位分一节（从小数点起）
2. 求最高一节的最大n 次方所得的一位数。

3. 落下下面一节后，然后设a 为以“商”数，b 为试商数，做得除数。

∑=---n r r r n b a r n r n 1)1()())!
(!!(
上面是求除数公式，还可以根据需要用乘法分配律简化。

4. 检验除数，使下面的式子成立，若不成立重新更改b 的值。

（c 等于已落下数）
c b a r n r n c b a
r n r n r n r r n n r r r n >+-≤-∑∑=-=-)1())!
(!!(
))!(!!(1)(1
)( 5. 在竖式顶端对应的节里写上b 的值，并用除数乘以b 与c 求差，若差大于0就重复
3至5步。

6. 竖式顶端的值就是这个的结果。

很简单的。

筆算開立方一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理題。

我沒帶計算器或《中學數學用表》，只好逐個計算一些數的立方，並與10比較，好不容易才把小數點後第二位元數字確定下來。

這促使我尋求筆算開立方的方法。

筆算開平方的方法我是掌握的。

我想筆算開立方的方法應該與它有些關聯，不妨先把筆算開平方的主要步驟回憶一下：1．將被開方數的整數部分從個位起向左每兩位分為一組；2．根據最左邊一組，求得平方根的最高位數；3．用第一組數減去平方根最高位數的平方，在其差右邊寫上第二組數；4．用求得的最高位數的20倍試除上述餘數，得出試商。

再用最高位數的20倍與試商的和乘以試商，若所得的積不大於餘數，試商就是平方根的第二位數，若大於，就減小試商再試。

5．用同樣方法繼續進行下去。

類似地，若要寫出筆算開立方的法則，顯然第1步中的“兩”應改為“三”，第2、3步中的“平”應改為“立”，而第5步不變化。

關鍵是第4步如何進行。

當天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。

於是我猜想“20倍”應該與“2ab”有關。

我先後想出了幾種可能的方法，經檢驗，都是行不通的。

那麼我有必要分析筆算開平方的本質。

以兩位數ab為例，2ab= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。

這裏a代表平方根的最高位數，b代表試商。

事實上，100a2已在第3步裏被減去了。

那麼剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位數的20倍與試商的和再乘以試商”。

這樣，如果被開方數是(10a+b)2，那麼最後所得的餘數恰好為零；如果被開方數比(10a+b)2大，就把10a+b看作a繼續進行下去。

同樣的道理，這個法則對多位數、一位元數和小數也適用。

類似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在開立方法則第3 步裏被減去了。

笔算开立方的方法A方法一 1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组； 2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数； 3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数； 4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数； 5．用同样方法继续进行下去。

方法二 第1、2步同上。

第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0； 第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×30+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。

然后重复第3、4步，直到除尽。

Ｂ原理还是利用二项展开式（A+B）^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3过程比较麻烦,但可以用笔算求出任意数的平方根.过程用文字来描述有点烦,希望你能看明白,如有不明白的,可在线问我.以2460375求平方根为例.第一步,先把所求数从左至右每3个数分成一段,即2,460,375(你会算平方根的,立方根的竖式算式与其相同，开平方是每两位分成一段，开立方是第三位分成一段)先求第一段2,试算法,(试取一个数,使其的立方不溢出所求数该段上的数),这一步很容易可知得数是1,把该得数1定义为A,并把这个得数1写在立方根算式相应段2的上面.第二步,求第二段,1的立方为1,2-1=1,把余数1及第二段上的三个数移下来,变成1460,还是用试算法,试求一个数B,(B可先任选一个个位数,为了说明步骤简单些,我只接选B=3),第一步,算出3A^2,即3,把3写在算式边上其它空白的地方的第一行,第二步,算出3AB=9,把9写在3的下面往右移一位,(可理解为30+9),再算出B^2=9,把9再往右移一位写在上一个9的下面,(即变成300+90+9),算出这个三个数移位相加后的得数为399.再用这个得数与试算数B(这里是3)相乘得1197,这个数没有大于1460.可选B=4再按以上相同的方法进行试算,(你可以发现是3136*4,已大于1460,)所以可以确定第二位上的数是3.把这个得数3写在算式相应段460的上面,现在已算出得数的前两位数了(13),再算第三段.把1460-1197=263,再把第三段的数375顺延下来,变成263375,此时定义13为A,用B进行试算,算法与上一段完全相同,我这里先选B=5进行试算,先在其它空白处写上3A^2=507,第二行,往右移一位,写上3AB=195,第三行又往右移移一位写上B^2=25,这个竖式求和变成是50700+1950+25=52675用52675乘以试算数5=263375,刚好等于第三段所求数.所以135就是2460375的立方根.任意数开立方根笔算步骤如下:1、把所求数从右往左每3位分一段分成若干段,从左往右开始计算.2、先从最左边一段开始计算。

关于开平方及开立方的手动算法关于开平方及开立方的手动算法序言计算器已经被取缔了，然而题目的计算量仍然存在，尤其是那些该死的开平方和开立方的运算，真是世风日下，人心不古，时代变了，我无话可说……然而，我们不能坐以待毙，万一正规考试中出题人真得很阴险地让你开平方或者开立方，在没有计算器的情况下不就挂掉了吗？为了负隅顽抗到底，我费劲八力的研发出了开方的手动算法，仅供列位参考。

一、开平方的手动算法此方法是在高一学万有引力和航天时，因需要大量开平方运算又不能用计算器，而被逼无奈研发的。

开平方的整个过程分为以下几步：（一）分位分位，意即将一个较长的被开方数分成几段。

具体法则是：1、分位的方向是从低位到高位；2、每两个数字为一段；3、分到最后，最高位上可以不满两个数字，但不能没有数字。

如：43046721分位后是43｜04｜67｜2112321分位后是1｜23｜21其中，每段中间的竖线在熟练了以后可不必写。

分位以后，其实就能看出开方后的结果是几位数了，如43046721分位后是四段，那么开方结果就是四位数。

（二）开方开方的运算过程其实与做除法很类似，都有一个相乘以后再相减的过程。

这里以43046721为例。

分位后是43｜04｜67｜21运算时从高位到低位，先看前两位43，由于62最接近43而不超过43，因而商（这里找不到合适的字眼，因而沿用除法时的字眼）6，然后做减法（如下图）：6———————————————4 3｜0 4｜6 7｜2 13 6————————7 0 4这里一次落两位，与除法不同。

下面的过程是整个算法中最复杂的部分，称为造数，之所以用这个词是因为算出最后要减掉的数的过程较为麻烦。

首先，将已商数6乘以2：6×2=12这里的12不是真正的12，实际上是120，个位上的0之所以空出来是为了写下一个要商的数。

我们不妨假设下一个要商的数为A，我们下面要考虑的问题就是：从0-9中找一个A，使得：12A×A最接近但不超过上面余下的数704。

开立方的计算方法与技巧1.定义与符号：开立方是将一个数的立方根求出来。

通常用符号³来表示，例如a³表示a的立方。

2.原理与规律：开立方的计算可以通过乘法与除法的运算规律来实现。

具体来说，一个数的立方是指这个数连续乘以自己三次的结果。

3.方法一：直接计算。

可以通过逐步计算的方法来求一个数的立方。

例如，要计算5的立方，可以先计算5乘以5，得到25，再将25乘以5，得到125、所以，5的立方就是1254.方法二：规律计算。

对于一些较小的数，我们可以利用一些规律来简化计算。

例如，要计算2的立方，可以直接将2乘以自己，并再乘一次，得到8、同样地，3的立方为27，4的立方为64，以此类推。

5.方法三：使用计算器。

对于大数的立方，手动计算往往十分繁琐和耗时。

而现代科学计算器和电子计算机通常都内置了立方根函数，可以通过直接输入数字并按下特定键来得到结果。

这样可以大大提高计算的效率。

6. 技巧一：利用乘法的交换律。

乘法具有交换律，即ab=ba。

因此，在计算一个数的立方时，可以调换计算顺序以减少乘法的次数，从而简化计算过程。

7. 技巧二：利用乘法的结合律。

乘法还具有结合律，即abc=(ab)c。

因此，在计算一个数的立方时，可以将它分解为一个数的平方与另一个数的乘积的形式，进而简化计算过程。

8. 技巧三：利用指数法则。

指数的计算法则中有一个规律是(a^m)^n=a^(mn)。

这意味着，可以先计算底数的乘积，再计算指数的乘积，从而简化计算过程。

9.技巧四：利用立方的几何意义。

立方不仅仅是一个数学概念，还有着丰富的几何意义。

通过观察和理解立方的形状与属性，可以更好地理解和应用立方的计算。

例如，立方的体积等于其中任意一条边的立方。

10.技巧五：利用近似值。

当需要计算大数的立方时，可以利用近似值来简化计算。

例如，要计算101的立方，可以将101近似为100，然后再计算100的立方，最后再稍微调整一下结果。

笔算开平方、开立方、甚至开n (n>1) 次方根的探讨我们可以用竖式进行除法计算，同样也可以用竖式进行开平方、开立方、甚至开n (n>1)次方的计算。

1、 笔算开平方的具体步骤：（附例说明）例1、计算41.524第一步：从小数点起两位、两位向左、向右分节，试找平方根的首位（首位尽可能大，并且平方后与被开方数第一节作差非负）。

第二步：顺次下移被开方数的后继两位数，找平方根的第二位数字（平方根第一位乘以20加上要商数字的和作为除数）。

第三步：再下移被开方数的后继两位数字，不足补零相应地给平方根点上小数点，试找平方根的第三位数字（平方根前两位数乘以20加上要商数字的和作新除数）。

2 2 2 2 2. 941.425'' 41.425'' 41.425''4 4 41 42 1 2 4 42 12 484 844041 449 40414041（1） （2） （3）这样做到最后刚好整除，便结束运算。

否则可继续做下去，到要精确的数位。

2、笔算开平方的理论证明ba b ab a b ab a b a +=++∴++=+102010020100)10(22222 )0,0(>>b a用竖式演算： a 10 + b2220100b ab a ++2100ab a +20 222020b ab b ab ++由于a 可以取大于10的整数，故找到平方根的第一位数字后，可类似地次找到其它数位上的数。

3、笔算开立方的理论证明b a b ab b a a b ab b a a b a +=+++∴+++=+10303001000303001000)10(3322332233用竖式演算：b a +103332231000a303001000b ab b a a +++ 2230300b ab a ++ 3223223030030300b ab b a b ab b a ++++4、笔算开立方的具体步骤：（附例说明）例2、计算3584.40707第一步：从小数点起向左、向右三位、三位分节，试找立方根的第一位（要求立方根的第一位尽可能大，并且立方后与被开方数第一节作差非负）。