第7讲 信道中的噪声、信道容量
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§4.2信道容量的计算这里,我们介绍一般离散信道的信道容量计算方法,根据信道容量的定义,就是在固定信道的条件下,对所有可能的输入概率分布)(x P 求平均互信息的极大值。
前面已知()Y X I ;是输入概率分布的上凸函数,所以极大值一定存在。
而);(Y X I 是r 个变量)}(),(),({21r x p x p x p 的多元函数。
并且满足1)(1=∑=ri i x p 。
所以可用拉格朗日乘子法来计算这个条件极值。
引入一个函数:∑-=ii x p Y X I )();(λφ解方程组0)(])();([)(=∑∂-∂∂∂i ii i x p x p Y X I x p λφ1)(=∑iix p (4.2。
1)可以先解出达到极值的概率分布和拉格朗日乘子λ的值,然后在解出信道容量C .因为 )()(log)()();(11i i i i i ri sj i y p x y Q x y Q x p Y X I ∑∑===而)()()(1i i ri i i x y Q x p y p ∑==,所以e e y p y p i i i i i x y Q i x p i x p log log ))(ln ()(log )()()(==∂∂∂∂。
解(4.2。
1)式有0log )()()()()()(log )(111=--∑∑∑===λe y p x y Q x y Q x p y p x y Q x y Q ii i ii r i s j i i i i sj i i (对r i ,,2,1 =都成立) 又因为)()()(1j k k rk k y p x y Q x p =∑=ri x y Q sj i j,,2,1,1)(1==∑=所以(4.2.1)式方程组可以转化为 ),,2,1(log )()(log)(1r i e y p x y Q x y Q j i j sj i j =+=∑=λ1)(1=∑=ri i x p假设使得平均互信息);(Y X I 达到极值的输入概率分布},,{21r p p p 这样有 e y p x y Q x y Q x p j i j i j ri sj i log )()(log)()(11+=∑∑==λ从而上式左边即为信道容量,得 e C log +=λ 现在令)()(log)();(1j i j sj i j i y p x y Q x y Q Y x I ∑==式中,);(Y x I i 是输出端接收到Y 后获得关于i x X =的信息量,即是信源符号i x X =对输出端Y 平均提供的互信息。
噪声对信道容量影响的理论分析一、噪声对信道容量影响的理论基础噪声是通信系统中不可避免的现象,它对信号的传输质量有着显著的影响。
信道容量,作为衡量信道传输信息能力的一个重要指标,受到噪声的直接影响。
在信道容量的理论分析中,我们首先需要了解信号与噪声的基本特性以及它们如何相互作用。
1.1 信号与噪声的基本概念在通信系统中,信号是携带信息的电磁波,而噪声则是非预期的信号,它可能来源于多种因素,如电子设备的内部噪声、外部环境的干扰等。
信号与噪声的叠加,会导致接收端信号质量的降低,从而影响信息的准确传输。
1.2 信道容量的定义信道容量是指在特定的信道条件下,能够无误传输信息的最大速率。
它由香农在1948年提出,并通过香农公式来定量描述。
香农公式表明,信道容量与信道的带宽、信号功率和噪声功率有关。
1.3 噪声对信道容量的影响机制噪声的存在会降低信号与噪声比(SNR),从而影响信道容量。
在高噪声环境下,为了保持一定的误码率,必须降低信息的传输速率,这直接限制了信道的容量。
二、噪声的分类及其对信道容量的影响噪声可以根据其来源和特性进行分类,不同类型的噪声对信道容量的影响也不尽相同。
2.1 热噪声热噪声,也称为约翰逊-奈奎斯特噪声,是由电子设备内部的热运动引起的。
它在频域上呈现均匀分布,对所有频率的信号都有影响。
热噪声的存在会限制信号的有效带宽,进而影响信道容量。
2.2 外部干扰噪声外部干扰噪声包括电磁干扰、射频干扰等,它们可能来源于其他电子设备或自然现象。
这类噪声通常具有非均匀分布的特性,对特定频率的信号影响更大。
在分析信道容量时,需要考虑这些噪声对信号传输的特定影响。
2.3 脉冲噪声脉冲噪声是由突发性事件引起的,如电源波动、设备故障等。
它在时间上表现为短暂的高能量脉冲,对信号的瞬时影响较大。
脉冲噪声可能导致信号的瞬时失真,影响信号的可靠性。
2.4 噪声对信道容量的具体影响不同类型的噪声对信道容量的影响可以通过信噪比(SNR)来量化。
信道容量是信道的一个参数,反映了信道所能传输的最大信息量,其大小与信源无关。
对不同的输入概率分布,互信息一定存在最大值。
我们将这个最大值定义为信道的容量。
一但转移概率矩阵确定以后,信道容量也完全确定了。
尽管信道容量的定义涉及到输入概率分布,但信道容量的数值与输入概率分布无关。
我们将不同的输入概率分布称为试验信源,对不同的试验信源,互信息也不同。
其中必有一个试验信源使互信息达到最大。
这个最大值就是信道容量。
信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数(称信道的数据传输速率,位速率),以位/秒(b/s)形式予以表示,简记为bps。
通信的目的是为了获得信息,为度量信息的多少(信息量),我们用到了熵这个概念。
在信号通过信道传输的过程中,我们涉及到了两个熵,发射端处信源熵——即发端信源的不确定度,接收端处在接收信号条件下的发端信源熵——即在接收信号条件下发端信源的不确定度。
接收到了信号,不确定度小了,我们也就在一定程度上消除了发端信源的不确定性,也就是在一定程度上获得了发端信源的信息,这部分信息的获取是通过信道传输信号带来的。
如果在通信的过程中熵不能够减小(不确定度减小)的话,也就没有通信的必要了。
最理想的情况就是在接收信号条件下信源熵变为0(不确定度完全消失),这时,发端信息完全得到。
通信信道,发端X,收端Y。
从信息传输的角度看,通过信道传输了I(X;Y)=H(X)-H(X|Y) ,( 接收Y前后对于X的不确定度的变化)。
I该值与两个概率有关,p(x),p(y|x),特定信道转移概率一定,那么在所有p(x) 分布中,max I(X;Y)就是该信道的信道容量C(互信息的上凸性)。
入与输出的互信息量的最大值,这一最大取值由输入信号的概率分布决定。
[3]X代表已传送信号的随机变量空间,Y代表已收到信号的随机变量空间。
代表已知X的情况下Y的条件机率。
我们先把通道的统计特性当作已知,p Y | X(y | x)就是通道的统计特性。
信道容量是信道的一个参数,反映了信道所能传输的最大信息量,其大小与信源无关。
对不同的输入概率分布,互信息一定存在最大值。
我们将这个最大值定义为信道的容量。
一但转移概率矩阵确定以后,信道容量也完全确定了。
尽管信道容量的定义涉及到输入概率分布,但信道容量的数值与输入概率分布无关。
我们将不同的输入概率分布称为试验信源,对不同的试验信源,互信息也不同。
其中必有一个试验信源使互信息达到最大。
这个最大值就是信道容量。
信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数(称信道的数据传输速率,位速率),以位/秒(b/s)形式予以表示,简记为bps。
通信的目的是为了获得信息,为度量信息的多少(信息量),我们用到了熵这个概念。
在信号通过信道传输的过程中,我们涉及到了两个熵,发射端处信源熵——即发端信源的不确定度,接收端处在接收信号条件下的发端信源熵——即在接收信号条件下发端信源的不确定度。
接收到了信号,不确定度小了,我们也就在一定程度上消除了发端信源的不确定性,也就是在一定程度上获得了发端信源的信息,这部分信息的获取是通过信道传输信号带来的。
如果在通信的过程中熵不能够减小(不确定度减小)的话,也就没有通信的必要了。
最理想的情况就是在接收信号条件下信源熵变为0(不确定度完全消失),这时,发端信息完全得到。
通信信道,发端X,收端Y。
从信息传输的角度看,通过信道传输了I(X;Y)=H(X)-H(X|Y) ,( 接收Y前后对于X的不确定度的变化)。
I该值与两个概率有关,p(x),p(y|x),特定信道转移概率一定,那么在所有p(x) 分布中,max I(X;Y)就是该信道的信道容量C(互信息的上凸性)。
入与输出的互信息量的最大值,这一最大取值由输入信号的概率分布决定。
[3]X代表已传送信号的随机变量空间,Y代表已收到信号的随机变量空间。
代表已知X的情况下Y的条件机率。
我们先把通道的统计特性当作已知,p Y | X(y | x)就是通道的统计特性。