2009年高考不等式问题分类解析

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做事不要太苛求自己．为．人处事。但求无愧于天，无愧于地・无愧于自己．
相当高，占据着令人瞩目的地位．
（责任编辑刘钟华）
万 方数据
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2009年高考不等式问题分类解析
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 赵春祥， 王雪艳
中学生数理化（高考版） MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(SENIOR HIGH SCHOOL EDITION) 2009(11)
１列７设函数，（ｚ）一Ｉ
ｚ一１ Ｉ＋Ｉ ｚ一口Ｉ．
（１）若口一一１，解不等式，（Ｉ）≥３．
中
学
生
（２）如果ｚ∈Ｒ，ｆ（ｚ）≥２，求口的取值范围． 解：（１）当ｎ一一１时，，（ｚ）一Ｉ ｚ一１ Ｉ＋ｆ ｚ＋１ １． 由厂（ｚ）≥３，得ｉ ｚ一１ ｊ＋ｌ工＋１ ｌ≥３．
（＊）
数
■●阻
高 考
理 化
当ｚ≤一１时，不等式（＊）化为１一ｚ一１一ｚ≥３净ｚ≤一要．
中
１纠，
（ ）．
已知口、６、ｃ、ｄ为实数，且ｃ＞ｄ，则“口＞６，，是“ｎ～ｆ＞ｂ－－ｄ’’的 Ｂ．必要不充分条件
－－Ｗ－ 生 数 理 化
Ａ．充分不必要条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 解：令ａ一２，ｂ一１，ｃ一３，ｄ一一５，则ａ—ｃ一～１＜６一ｄ一６． 由ａ～ｃ＞６～ｄ，得口＞６＋（ｃ—ｄ）．又ｆ＞ｄ辛ｆ—ｄ＞Ｏ，则口＞ｂ． 因此，“ａ＞ｂ”是“ａ—ｃ＞６一ｄ”的必要不充分条件．应选Ｂ． 评析：不等式的基本性质是不等式的基础，它是证明不等式与解不等 式的主要理论依据，只有正确理解每条，｝生质的条件和结论，注意条件的变 化，才能正确利用其解决有关问题． ＝．解不等式基本问题
评析：从近几年高考试题来看，分式不等式一直是考查的热点题型． 解此类题的关键是准确无误地将分式不等式转化为整式不等式． 三．利用均值不等式求最值问题
倒了设ａ＞０，ｂ＞０，若万是３４与３６的等比中项，则去＋ｆ吉的最小
值为（
Ａ．８
）．
Ｂ．４
ｃ．１
Ｄ．÷
＋
Ｄ ａ １７， ａｔ ｏ
解：由万是３ｎ与３６的等比中项，得３ａ・３６—３净３“６—３净ｎ＋６—１．
）． 中的整数恰有３个，则（ Ａ．一１＜ａ＜０ Ｂ．０＜口＜１
＿
妻
版
Ｃ．１＜ａ＜３
Ｄ．３＜ａ＜６
解：由（ｚ一６）２＞（ｎｚ）２，得（１一ａ２）ｚ２—２ｂｘ＋ｂ２＞０． 由于该不等式的解集中的整数恰有３个，则有１一口２＜Ｏ，即ａ２＞１．又 Ｏ＜６＜１＋ｎ，故ｎ＞１．
解不等式（１＿０２）ｚ２—２ｂｘ＋ｂ２＞ｏ，得ｉ鲁＜工＜ｉ各．Ｘ－ｏ＜ｉ缶＜
鼍 霞
当一１＜ｚ≤１时，不等式（＊）化为１一ｚ＋１＋ｚ≥３，显然不成立．
＾
当ｚ＞１时，不等式（｛÷）化为ｚ一１＋１＋ｚ≥３寺ｚ≥要．
版
综上所述，当ｎ一一１时，厂（上）≥３的解集为｛ｚ Ｊｚ≤一号或ｚ≥导）．
（２）若口一１，则，（ｚ）一２ｌ工－１ Ｊ，不满足题意． ｆ一２ｚ＋口＋ｌ（ｚ≤ｎ），
若口＜１，则厂（ｚ）一．｛１一口（口＜≥＜１），
由于口＞０，６＞０，则土＋＿１一—ａ＋—ｂ＋Ｔａ－４－ｂ一２０ 由于口＞，６＞，则土＋百一——＋Ｔ一 ＋＋鱼＋－８≥ ａ２≥－ｂ“＋旦
０
２、／旦・导一２＋２．＿４．应选Ｂ．
皇 轰
爱
评析：在使用均值不等式解决问题时，根据题中不等式的结构，常常 需要配合一定的变形技巧与转化策略． 四，含参数不等式问题
倒霉设Ｏ－＜ｂ＜ｌ＋口，若关于ｚ的不等式（ｚ－－ｂ）２，、。。）ｚ的解集
侧６按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为ａ
元，，如果他卖出该产品的单价为ｍ元，则他的满意度为磊％；如果他买进
该产品的单价为咒元，则他的满意度为矛薏．如果一个人对两种交易（卖
出或买进）的满意度分别为ｈ，和ｈｚ，则他对这两种交易的综合满意度为 小ｉ瓦． 现假设甲生产Ａ、Ｂ两种产品的单件成本分别为１２元和５元，乙生 产Ａ、Ｂ两种产品的单件成本分别为３元和２０元．设产品Ａ、Ｂ的单价分 别为ｍＡ元和ｍ。元，甲买进Ａ与卖出Ｂ的综合满意度为ｈ甲，乙卖出Ａ 与买进Ｂ的综合满意度为ｈ乙．
圳㈣≤鲁＜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ｛喏ａ＜ｂ扎－｛－１，
由于。＜６＜ｌ＋ｎ，则』口＜字＋ｉ，≥１＜口＜３．应选ｃ．
【口＞１
评析：对于含有参数的问题，有时需要根据参数的不同取值情况进行 分类讨论． 五．不等式证明问题
倒芗设口≥６＞ｏ，求证：３ａ３＋２ｂｓ≥３口２６＋２口ｂ２．
证明：乩３＋２６３一（３矿６＋２口驴）一３ａ２（口一６）＋２妒（６一口）一（３ａ２－－Ｚｂ２）・（口
２００９年第１１期
■河北
赵春祥
■河南
王雪艳
不等式是中学数学的重要内容，它可以渗透到中学数学的很多章节， 是解决其他数学问题的有利工具，再加上它在实际问题中的广泛应用，决 定了它将是常考不衰的高考热点问题．不等式试题主要体现了等价转化、 函数与方程、分类讨论等数学思想．与函数、数列综合的不等式证明问题 以及涉及不等式的应用题，在近年来的高考中以解答题的形式出现，这说 明熟练掌握解决不等式问题的基本方法非常必要． 一．不等式基本性质问题
中
学
生 数
（１）求ｈ甲和ｈ乙关于ｍ＾、研Ｂ的表达式；当ｍＡ一詈ｍＢ时，求证：＾＿一
｜ｌｌ乙．
理
化
（２）设ｍ。一詈ｍ。，当ｍ。、优。分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度
均最大？最大的综合满意度为多少？ 解：设ｍＡ＝ｚ，ｍＢ—Ｙ．
高 考
版
（１）甲买进产品Ａ的满意度为ｈ。＿一；‰，甲卖出产品１３的满意度
为蛔一南删＾－一√鼎・寿．
万 方数据
２００９年第１１期
’２∞＠ｖ５’了，－ｙ。２５．． ｙｆ・ｏ＋２５－＿一一剐一
半。即ｙ一１０时，等号成立，等号成立时ｚ一６．
因此，当ｚ一６、３，一１０时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大综 合满意度为÷． 评析：本题主要考查基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽 象概括能力以及数学阅读能力．在高考试卷中，以基本不等式为解题工具 的应用题成为常考不衰的热点题型． 七、不等式与函数综合问题
曾经以为放弃了梦想，现在发现依然深爱着它，为了它，努力吧．
——ｉｎｔｆｏｍｇｐ＠１２６．ｃｏｒｎ
万 方数据
２００９年第１１期
－－ｂ）．
由ｎ≥６＞Ｏ，得ｎ一６≥０，３ａ２—２ｂ２＞Ｏ，则（３ａ２～２ｂ２）（ａ一６）≥０，故 ３ｎ３＋２６３≥３ａ２６＋２ａｂ２． 评析：本题主要考查利用比较法证明不等式以及代数变形能力： 六．应用题
高 考
版
倒２
已知关于ｚ的不等式掣＜０的解集是（一ｏ。，一１）Ｕ
（÷，＋一），则ａ一——．
解：由题意知ａ＜０．
警寻＜ｏ辛口（ｚ一土ａ）（ｚ＋１）＜ｏ辛（ｚ一三ａ）（ｚ＋１）＞ｏ．
由一元二次方程与其所对应的一元二次不等式的关系，得一１和寺
心怀信仰，彼此守望．
万 方数据
２００９年第１１期
为方程（ｚ一丢）（ｚ＋１）一。的两根，则丢＝专，解得ｎ一２．
净厂（ｚ）的最小值为１一口．
１２ｚ一（口＋１）（ｚ≥１）
ｆ一２ｚ＋ｎ＋１（ｚ≤１），
若ａ＞１，则，（ｚ）一．｛口一１（１＜ｚ＜口），
净，（ｚ）的最小值为ｎ一１．
【２ｚ一（口＋１）（ｚ≥ｎ）
由于２∈Ｒ，，（ｚ）≥２，则『口一１ Ｉ≥２，解得口≥３或ｎ≤一１． 评析：本题考查绝对值的意义、分段函数、函数最值和不等式等知识， 考查分类讨论的思想方法和技巧．以函数为载体，综合不等式交叉汇合处 为主干，构筑成知识网络型的不等式证明问题，在高考试题中出现的频率