112旋转体的概念

【引入】旋转体的概念平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体。

该定直线叫做旋转体的轴。

如：【圆柱】将矩形ABCD绕其一边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱AB所在的直线叫做圆柱的轴线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面线段CD旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面CD叫做圆柱的一条母线圆柱的两个底面间的距离叫做圆柱的高。

圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行。

经过圆柱的轴的截面叫圆柱的轴截面【圆锥】将直角三角形ABC绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥AB所在的直线叫做圆锥的轴点A叫做圆锥的顶点直角边BC旋转所形成的圆面叫做圆锥的底面斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面斜边AC叫做圆锥的一条母线圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高圆锥有无穷多条母线，且所有母线都相交于圆锥的顶点，每条母线与轴的夹角都相等。

【问题】1、举出生活中的圆柱、圆锥的实例2、圆柱与圆锥的轴截面是什么图形？3、将圆柱或圆锥的侧面沿着一条母线剪开，并展开铺平，会得到什么样的图形？【练习】轴截面为等边三角形的圆锥，它的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数是多少？【球】将圆心为O的半圆绕其直径AB所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作：球O半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面点O叫做球心把原来圆的半径叫做球的半径与直径过球心的圆叫做球的大圆，不经过球心的圆叫做球的小圆。

O是AB上的【例1】设AB是球O的直径，AB=10，'点，平面 通过点'O，且垂直于AB，截得圆'O，当'O满足下列条件时，求圆'O 的半径：(1)'4OO = (2)'2OO =【练习】1、与球的一条直径垂直的大圆有多少个？2、在球O 上，满足下列条件的大圆有多少个?它们的相互位置如何？(1)经过球面的点P （2）经过球面上不同的两点P ，Q ，且P 、Q 、O 不共线(3)经过球面上不同的两点P ，Q ，且P 、Q 、O 共线。

高二数学春季班（教师版）1、旋转体的概念（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴； （2）圆柱：将矩形ABCD 绕其一边AB 所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；AB 所在直线叫做圆柱的轴；线段AD 和BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；线段CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；CD 叫做圆柱侧面的一条母线； 圆柱的两个底面间的距离（即AB 的长度）叫做圆柱的高（3）圆锥：将直角三角形ABC （及其内部）绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；AB 所在直线叫做圆锥的轴；点A 叫做圆锥的顶点； 直角边BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边AC 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边AC 叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．旋转体知识梳理【性质】根据圆柱的形成过程易知：① 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；② 圆柱有两个相互平行的底面.【性质】根据圆锥的形成过程易知：① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；② 每条母线与轴的夹角都相等.（4）球：将圆心为O 的半圆绕其直径AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点O 称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．2、侧面积、表面积和体积圆柱，圆锥的侧面积：=c l =2r l S π圆柱侧，其中r ，c 分别为圆柱的底面半径、周长，l 为母线长； 1=c l =r l2S π圆锥侧，其中r ，c 分别为圆锥的底面半径、周长，l 为母线长. 圆柱、圆锥的体积2=h =r h V S π圆柱，其中S 为底面积，h 为高，r 为底面半径； 211=h=r h 33V S π圆锥，其中S 为底面积，h 为高，r 为底面半径。

1、旋转体的概念【例1】有下列命题:①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆； ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. 其中正确的是( )A .①②；B .②③；C .①③；D .②④. 【难度】★ 【答案】D【例2】下列命题中的真命题是（ ）例题解析【补充】① 球心到球面上任意点的距离都相等； ② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.A ．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；B ．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱；C ．圆柱、圆锥的底面都是圆；D ．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径． 【难度】★ 【答案】C【例3】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ） A 、圆锥 B 、圆柱 C 、球体 D 、以上都有可能 【难度】★ 【答案】B【巩固训练】1．用一张长、宽分别为cm cm 12,8的矩形纸张卷成一个没有底面的圆柱筒，则圆柱的底面积为 ． 【难度】★ 【答案】ππ16,362．轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。

空间几何中的旋转体与曲面在空间几何学中，旋转体与曲面是两个重要的概念。

它们在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。

本文将介绍旋转体和曲面的基本概念、性质以及相关应用。

一、旋转体旋转体是指一个平面图形绕某条轴线旋转一周形成的立体图形。

其中，轴线一般为与平面图形平行且在平面图形上的一条线段。

旋转体的旋转轴可以是任意方向，但最常见的是绕坐标轴旋转。

常见的旋转体有圆柱体、圆锥体和球体等。

圆柱体是指一个平行于坐标轴的圆形截面绕着与圆形截面相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。

圆锥体是指一个与坐标轴相交的锥面绕着与坐标轴相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。

球体则是指一个半径为r的球面绕着与球面上一点相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。

旋转体具有一些重要的性质。

首先，旋转体的体积可以通过积分来计算。

对于平行于坐标轴的旋转体，可以通过在相应坐标轴上的积分来计算体积。

其次，旋转体的表面积也可以通过积分来计算。

对于平行于坐标轴的旋转体，可以通过在相应坐标轴上的积分来计算表面积。

最后，旋转体具有对称性，其旋转轴是旋转体上任意一点到旋转轴的垂直平分线。

旋转体在日常生活和工程设计中有广泛的应用。

例如，食品加工业中的螺旋输送器和搅拌机就是基于旋转体的原理设计的。

此外，在建筑设计中，许多建筑物的柱子、圆形窗户等也是基于旋转体的形状。

二、曲面曲面是指由平面曲线沿曲线上的点运动而成的曲线。

曲面可以是平面曲线在空间中沿其曲线方向上运动形成的曲面，也可以是曲线在空间中绕曲线旋转形成的曲面。

常见的曲面有圆锥曲面、椭球面和双曲面等。

圆锥曲面是指一个与坐标轴相交的锥面，其侧面是一条直线和一个圆锥交线。

椭球面是指一个椭球体的表面，主要用来描述地球的形状。

双曲面是指一个双曲抛物面或双曲抛物柱面的表面，其形状类似于双曲线。

曲面也具有一些重要的性质。

首先，曲面可以通过参数方程或隐函数方程来表示。

参数方程是指用一个或多个参数来表示曲面上的点，隐函数方程则是指用一个或多个未知数的方程来表示曲面上的点。