112旋转体的概念

【引入】旋转体的概念平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体。

该定直线叫做旋转体的轴。

如：【圆柱】将矩形ABCD绕其一边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱AB所在的直线叫做圆柱的轴线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面线段CD旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面CD叫做圆柱的一条母线圆柱的两个底面间的距离叫做圆柱的高。

圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行。

经过圆柱的轴的截面叫圆柱的轴截面【圆锥】将直角三角形ABC绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥AB所在的直线叫做圆锥的轴点A叫做圆锥的顶点直角边BC旋转所形成的圆面叫做圆锥的底面斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面斜边AC叫做圆锥的一条母线圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高圆锥有无穷多条母线，且所有母线都相交于圆锥的顶点，每条母线与轴的夹角都相等。

【问题】1、举出生活中的圆柱、圆锥的实例2、圆柱与圆锥的轴截面是什么图形？3、将圆柱或圆锥的侧面沿着一条母线剪开，并展开铺平，会得到什么样的图形？【练习】轴截面为等边三角形的圆锥，它的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数是多少？【球】将圆心为O的半圆绕其直径AB所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作：球O半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面点O叫做球心把原来圆的半径叫做球的半径与直径过球心的圆叫做球的大圆，不经过球心的圆叫做球的小圆。

O是AB上的【例1】设AB是球O的直径，AB=10，'点，平面 通过点'O，且垂直于AB，截得圆'O，当'O满足下列条件时，求圆'O 的半径：(1)'4OO = (2)'2OO =【练习】1、与球的一条直径垂直的大圆有多少个？2、在球O 上，满足下列条件的大圆有多少个?它们的相互位置如何？(1)经过球面的点P （2）经过球面上不同的两点P ，Q ，且P 、Q 、O 不共线(3)经过球面上不同的两点P ，Q ，且P 、Q 、O 共线。

高二数学春季班（教师版）1、旋转体的概念（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴； （2）圆柱：将矩形ABCD 绕其一边AB 所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；AB 所在直线叫做圆柱的轴；线段AD 和BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；线段CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；CD 叫做圆柱侧面的一条母线； 圆柱的两个底面间的距离（即AB 的长度）叫做圆柱的高（3）圆锥：将直角三角形ABC （及其内部）绕其一条直角边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；AB 所在直线叫做圆锥的轴；点A 叫做圆锥的顶点； 直角边BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面； 斜边AC 旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面； 斜边AC 叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．旋转体知识梳理【性质】根据圆柱的形成过程易知：① 圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；② 圆柱有两个相互平行的底面.【性质】根据圆锥的形成过程易知：① 圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；② 每条母线与轴的夹角都相等.（4）球：将圆心为O 的半圆绕其直径AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点O 称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．2、侧面积、表面积和体积圆柱，圆锥的侧面积：=c l =2r l S π圆柱侧，其中r ，c 分别为圆柱的底面半径、周长，l 为母线长； 1=c l =r l2S π圆锥侧，其中r ，c 分别为圆锥的底面半径、周长，l 为母线长. 圆柱、圆锥的体积2=h =r h V S π圆柱，其中S 为底面积，h 为高，r 为底面半径； 211=h=r h 33V S π圆锥，其中S 为底面积，h 为高，r 为底面半径。

1、旋转体的概念【例1】有下列命题:①在圆柱的上､下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆； ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. 其中正确的是( )A .①②；B .②③；C .①③；D .②④. 【难度】★ 【答案】D【例2】下列命题中的真命题是（ ）例题解析【补充】① 球心到球面上任意点的距离都相等； ② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.A ．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；B ．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱；C ．圆柱、圆锥的底面都是圆；D ．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径． 【难度】★ 【答案】C【例3】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ） A 、圆锥 B 、圆柱 C 、球体 D 、以上都有可能 【难度】★ 【答案】B【巩固训练】1．用一张长、宽分别为cm cm 12,8的矩形纸张卷成一个没有底面的圆柱筒，则圆柱的底面积为 ． 【难度】★ 【答案】ππ16,362．轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。

空间几何中的旋转体与曲面在空间几何学中，旋转体与曲面是两个重要的概念。

它们在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。

本文将介绍旋转体和曲面的基本概念、性质以及相关应用。

一、旋转体旋转体是指一个平面图形绕某条轴线旋转一周形成的立体图形。

其中，轴线一般为与平面图形平行且在平面图形上的一条线段。

旋转体的旋转轴可以是任意方向，但最常见的是绕坐标轴旋转。

常见的旋转体有圆柱体、圆锥体和球体等。

圆柱体是指一个平行于坐标轴的圆形截面绕着与圆形截面相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。

圆锥体是指一个与坐标轴相交的锥面绕着与坐标轴相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。

球体则是指一个半径为r的球面绕着与球面上一点相交的一条轴线旋转一周形成的立体图形。

旋转体具有一些重要的性质。

首先，旋转体的体积可以通过积分来计算。

对于平行于坐标轴的旋转体，可以通过在相应坐标轴上的积分来计算体积。

其次，旋转体的表面积也可以通过积分来计算。

对于平行于坐标轴的旋转体，可以通过在相应坐标轴上的积分来计算表面积。

最后，旋转体具有对称性，其旋转轴是旋转体上任意一点到旋转轴的垂直平分线。

旋转体在日常生活和工程设计中有广泛的应用。

例如，食品加工业中的螺旋输送器和搅拌机就是基于旋转体的原理设计的。

此外，在建筑设计中，许多建筑物的柱子、圆形窗户等也是基于旋转体的形状。

二、曲面曲面是指由平面曲线沿曲线上的点运动而成的曲线。

曲面可以是平面曲线在空间中沿其曲线方向上运动形成的曲面，也可以是曲线在空间中绕曲线旋转形成的曲面。

常见的曲面有圆锥曲面、椭球面和双曲面等。

圆锥曲面是指一个与坐标轴相交的锥面，其侧面是一条直线和一个圆锥交线。

椭球面是指一个椭球体的表面，主要用来描述地球的形状。

双曲面是指一个双曲抛物面或双曲抛物柱面的表面，其形状类似于双曲线。

曲面也具有一些重要的性质。

首先，曲面可以通过参数方程或隐函数方程来表示。

参数方程是指用一个或多个参数来表示曲面上的点，隐函数方程则是指用一个或多个未知数的方程来表示曲面上的点。

高一数学旋转体知识点旋转体是高中数学中一个重要的几何概念，也是学习数学的基石之一。

通过学习旋转体的知识，我们可以更深入地理解几何形体的特性和属性。

本文将以旋转体为主题，结合实际应用和数学公式，探讨旋转体的相关知识点。

1. 表面积与体积旋转体的表面积和体积是我们研究的核心内容之一。

以一个圆为例，我们将它绕着直线旋转一周，形成一个圆柱体。

对于一个任意形状的曲线，我们可以通过旋转来得到一个旋转体。

表面积和体积的计算公式如下：表面积(S) = 2π r h + π r^2体积(V) = π r^2 h其中，r表示旋转的曲线所围成的圆的半径，h表示曲线的长度。

例如，我们有一个半径为2厘米的圆弧，长为6厘米。

将其绕x轴旋转一周，可以得到一个旋转体。

根据公式，该旋转体的表面积为2π×2×6+π×2^2=104π厘米^2，体积为π×2^2×6=24π厘米^3。

2. 旋转体的分类根据旋转轴的不同，旋转体可以分为三类：圆锥、圆柱和圆盘。

圆锥是指以一个尖端为顶点，底面为底，绕一个与底面不平行的轴线旋转而成。

圆锥的侧面积可以通过求直角三角形的斜边，在乘以半径得到。

圆锥的体积计算则用的是圆柱的体积公式。

圆柱是指绕与底面平行的轴线旋转而成的旋转体。

圆柱的侧面积是一个矩形的面积，可以通过底面周长乘以高得到。

圆柱的体积被定义为底面积乘以高。

圆盘是指绕垂直于底面的轴线旋转而成的旋转体。

圆盘的表面积就是底面积的两倍，体积则等于底面积乘以高。

3. 实际应用旋转体的概念和计算在实际生活中有着广泛的应用。

以下是一些例子：水箱体积的计算：当我们需要计算一个储水箱的容量时，可以将其切割成一个个扇形，然后通过求和来计算总体积。

汽车轮胎的制造：汽车轮胎是一个复杂的曲面结构，我们可以通过旋转体来计算轮胎的重量、表面积等参数，从而合理设计轮胎的结构。

摩天大楼的造型设计：摩天大楼的建筑设计中，往往涉及到旋转体的计算。

旋转体的形心坐标公式（实用版）目录1.旋转体的概念及性质2.形心坐标公式的定义3.形心坐标公式的推导过程4.形心坐标公式的应用实例正文一、旋转体的概念及性质旋转体是指由一个曲线绕着一个固定轴旋转形成的立体图形。

在数学中，我们通常研究旋转体的质心、形心等物理量的计算方法。

形心是指一个物体在受到外力作用时，物体各部分受到的力的矢量和的平衡点。

对于旋转体而言，形心坐标具有重要的物理意义和应用价值。

二、形心坐标公式的定义形心坐标公式是指描述一个旋转体形心位置的数学公式。

设一个旋转体由曲线 C 绕着 z 轴旋转生成，其形心坐标为 (x, y, z)。

根据定义，形心坐标满足以下条件：1.形心到旋转轴的距离等于形心到曲线 C 上任意一点的距离的平均值；2.形心坐标与曲线 C 上任意一点的连线垂直于旋转轴。

三、形心坐标公式的推导过程为了推导形心坐标公式，我们假设一个旋转体由曲线 C 绕着 z 轴旋转生成，曲线 C 的参数方程为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)其中，(u, v) 是参数，x、y、z 是曲线 C 上任意一点的坐标。

设形心坐标为 (x", y", z")，我们需要求解 x"、y"和 z"关于参数 (u, v) 的表达式。

根据形心的定义，形心到旋转轴的距离等于形心到曲线 C 上任意一点的距离的平均值。

因此，我们可以建立如下方程：|x" * z"(u, v) - z(u, v)| / √(x"^2 + y"^2 + z"^2) = 1 / ∫∫|x * z(u, v) - z(u, v)| dudv其中，∫∫表示对参数 (u, v) 的二重积分。

为了进一步求解形心坐标，我们还需要引入一个辅助曲线 C_aux，使得 C_aux 与 C 在每个点处的切线平行。

设 C_aux 的参数方程为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = c * z(u, v)其中，c 为待定常数。

生活设计与数学知识——旋转体的概念※陈莉设计背景：很多学生常常存在“学数学有什么用”这样的疑惑。

因而新教材中已经增加了不少数学应用方面的知识，然而还是有不少学生有着“数学知识没有用处”这样的观点。

作为基础学科的数学，不得不面临这样的悲哀。

事实上生活中有很多用品，建筑等，其设计的灵感都是来源于生活中的创意和一定数学知识的依托。

如果我们善于用发现的眼光来看待这些设计，就不难从中发现一些数学的知识概念，而这些恰恰能很好的向学生展示数学之“用”。

本课从一个创意家具设计入手，从设计出发，发现数学知识概念，再由知识出发，用发现的眼光来观察身边的事物中的数学之“用”。

创意思路：只有有用的知识才有学习的价值。

只有让学生认同了知识本身的价值感，才能更好的激发学生的学习原动力。

通过创意家具的视频展示，揭示其中的数学知识，让学生在发现中学习知识，并在学习知识中发现知识的“用”，让数学课堂不在处于知识的表面，题海的深处。

设计目标：通过对生活中的创意设计的观察，让学生理解数学中旋转体的概念，并掌握圆柱、圆锥中母线等数学概念。

通过学生对数学概念的理解，发现生活中旋转体的知识应用实例。

让学生运用所学的数学知识，设计独特的实验，验证球是旋转体。

通过学习让学生最终体会数学应用之美、之巧、之妙，之“用”。

实施步骤：1．生活中的创意设计的展示一个好的设计中，往往蕴涵了不少浅显易懂的知识，而这个设计的展示，就是让学生看到知识之“用”的成果。

1.1视频展示：1.2展示后的思考：家具设计的多变和奇特，在第一时间就吸引了学生的注意力，在短短的几分中的展示过程中，学生从中发现了一个非常关键的动作――旋转，正是因为旋转，才有了各种各样不用的造型。

教师提问：椅子的S 型、U 型、圆形都是如何旋转形成的？学生的回答中不乏含有“第一个纸板”、“绕着”、“轴”等这样的词汇。

而这正与旋转体的定义不谋而合。

转体的定义：我们把平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体。