最新北师大版高中数学必修一1.2.2 映射教案(精品教学设计)

§1.2.2 映射一．教学目标1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．3．情态与价值映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．二．教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念三．学法与教学用具1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学用具：投影仪．四．教学思路（一）创设情景，揭示课题复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（,x y）和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．（二）研探新知1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：（1）开平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2．归纳引出映射概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？ 例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？（1）A 求平方B A 乘以2 B （3） （四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A ，B 各取4个元素） 已知：（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A={|x x ＞}0，B=R ，对应法则是“求算术平方根”； （3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数”；（4）{0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”． 2．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B的原象是什么？ A 求正弦 B（五）归纳小结提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象，但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．（六）设置问题，留下悬念．1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．2．已知f 是集合A 上的任一个映射，试问在值域f (A)中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？3．已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？。

2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区 关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。

高中数学北师大版必修1第二章《2.3 映射》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.使学生了解映射、一一映射的概念、表示方法.
2.使学生了解象、原象的概念.
2学情分析
学生虽然刚进入高中数学学习,但是对于函数的学习学生在初中已接触过,对于函数的概念有一定的认识,对于对应关系学生也有所认识,本课时结合学生基础储备对照函数学习新的概念-----映射。

本班学生属于艺术生,数学基础不是很好,需要从最简单、最基础的讲起。

3重点难点
映射、一一映射的概念.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【讲授】映射
(I)复习回顾
师:前面一章,我们学习了元素与集合之间的关系“∈”、“∉”,集合与集合之间的关系“⊆”、“⊂≠”“⊈”。

请同学们回忆一下“∈”、“∉”符号的哪边是元素?
A⊆B、A⊂≠B、A⊈B的含义是什么?
生:(略)
师:在初中我们学过一些对应的例子,如(打出幻灯片B,师生共同看例子)。

这一节我们来学习一种特殊的对应----映射(导入课题并板书)。

(II)讲授新课
先看两个集合A、B的元素之间的一些对应的例子(打出幻灯片A),为简明起见,这里的A、B 都是有限集合。

(对每个对应都要强调对应法则,集合顺序)。

《映射》函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿于中学数学的始终，映射是一种特殊的对应，而且函数也是特殊的对应，学习集合的映射概念的主要目的是为了给函数下定义。

本章的函数定义是用映射刻画的近代定义，初中学习的函数概念是用“对应”来描述的，这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段。

【知识与能力目标】1.明确映射是特殊的对应即由集合，集合和对应法则f 三者构成的一个整体，知道映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；2.能准确使用数学符号表示映射，把握映射与一一映射的区别；3.会求给定映射的指定元素的象与原象，了解求象与原象的方法。

【过程与方法目标】1.在概念形成过程中，培养学生的观察、比较和归纳的能力；2.通过映射概念的学习，逐步提高学生对知识的探究能力。

【情感态度价值观目标】使学生认识到事物间的有联系的，对应的，映射是一种联系方式，使学生理解动与静的辩证关系。

【教学重点】映射、映射类型及一一映射概念。

【教学难点】映射与一一映射的概念及其应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分复习初中常见的对应关系1．对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点p 和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序实数对（,x y ）和它对应； 3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；设计意图：从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识。

二、研探新知，建构概念1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射。

高中数学 第二章 映射学案 北师大版必修1使用说明：1．认真阅读学习目标，仔细阅读课本，提前预习，完成自主学习部分。

2．课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分。

3．带“*”号题为难题，可选做，其它题为必做、必会题。

4．每天晚点前小组长将学案阅、评，并交科代表处，科代表晚点下速交老师。

学习目标：1.了解映射的概念及表示方法；2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；3. 能解决简单函数应用问题.学习重点：映射的概念。

学习难点：映射的概念。

学习过程：一、自主学习1、看两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系，并用图示意. 分析例1 ①～③是否映射？① {1,4,9}A =, {3,2,1,1,2,3}B =---，对应法则：开平方；② {3,2,1,1,2,3}A =---，{1,4,9}B =，对应法则：平方；③ {30,45,60}A =︒︒︒, 1{}2B =, 对应法则：求正弦.2、① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.3、探究从集合A 到集合B 一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？如果是从B 到A 呢？（1）A ={P | P 是数轴上的点}，B =R ；（2）A ={三角形}，B ={圆}；（3）A ={ P | P 是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R =∈∈；（4）A ={高一学生}，B = {高一班级}.4、下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”；（2）A = R*，B =R ，对应法则是“求算术平方根”；（3）{}|0,A x x B =≠=R ，对应法则是“求倒数”；（4）A N =，{0,1,2}B =，:f x x →被3除所得的余数；（5）A ={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x →+.二、合作探究5*、已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？6*、若函数()y f x =的定义域为[-1，1]，求函数11()()44y f x f x =+-的定义域.三、课堂检测1. 在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与A 中的元素(1,2)-对应的B 中的元素为（ ）.A.(3,1)-B.(1,3)C.(1,3)--D.(3,1) 2.下列对应:f A B →：① {},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→②*,,:1;A N B N f x x ==→-③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→不是从集合A 到B 映射的有（ ）.A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③3. 已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则{[(1)]}f f f -=（ ）A. 0B. πC. 1π+D.无法求4. 若1()1x f x x=-， 则)(x f = . 5. 已知f(x )=x 2-1，g (x 1则f [g (x )] = .※ 学习小结1. 映射的概念；2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有对应，但B 中元素未必要有对应；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．※ 知识拓展在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v （千米／小时）的平方与车身长s （米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d 关于v 的函数关系式（其中s 为常数）.。

第二章映射授课教师：五河一中曹文玉教学目标1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念；3了解像、原像的概念；（4）使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射、函数的关系。

2．过程与方法（1）创设情境，引入课题；（2）举例巩固映射的概念，原像与像的求法和映射与函数的关系。

3．情态与价值映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础。

教学重点：映射的概念；像和原像的求法教学难点：映射的概念学法与教学用具1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学用具：计算机、投影仪教学过程：一、创设情境，导入新课1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的一个有序实数对（,x y）二、讲解新课，概念辨析 （一）映射的定义 1、教师提出问题（1）观察三个对应关系，它们具有什么共同特征？ （2）对应关系①和对应关系②有什么更进一步的特征？ 2、映射的定义（师生共同概括）两个非空集合Ａ与Ｂ间存在着对应关系，而且对于Ａ中的每一个元素，Ｂ中总有唯一的一个元素与它对应，就称这种对应为从Ａ到Ｂ的，记作“f ：A →B ”。

Ａ中的元素称为原像，Ｂ中的对应元素称为的像， 记作f: →。

3、强调定义的条件1映射的三要素：非空集合A ，B ，对应关系f;2映射是特殊的对应：可以是一对一，多对一，但不能一对多。

即每一对唯一;3映射有方向性：f:A →B 与f:B →A 一般是不同的映射;一对多多对一一对一4对A中的每一个元素，在B中都有唯一的像；但B中的元素可以没有原像。

即：设像集是C，则C ⊆ B（二）应用举例，巩固新知例1 下图表示集合A到集合B的映射的是＿＿＿＿＿三一一映射定义:在映射f:A→B中，若对于集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象且B 中每一个元素都有原象，则这个映射叫做A到B上的一一映射。

北师大版（2019）高中数学必修第一册课
程目录与教学计划表
教学计划、进度、课时安排
教材课本目录是一本书的纲领, 是
教与学的路线图。

不管是做教学计
划、实施教学活动, 还是做学习计
划、复习安排、工作总结, 都离不
开目录。

目录是一本书的知识框
架, 要做到心中有书、胸有成竹,
就从目录开始吧！
课程目录
必修第一册
第一章预备知识
1 集合
1.1 集合的概念与表示
1.2 集合的基本关系
1.3 集合的基本运算
本节综合与测试
2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
2.2 全称量词与存在量词
本节综合与测试
本节综合与测试
本章综合与测试
第七章概率
1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象
1.2 样本空间
1.3 随机事件
1.4 随机事件的运算
本节综合与测试
2 古典概型
2.1 古典概型
2.2 古典概型的应用
本节综合与测试
3 频率与概率
4 事件的独立性
本章综合与测试
第八章数学建模活动（一）
1 走进数学建模
2 数学建模的主要步骤
3 数学建模活动的主要过程本章综合与测试
本册综合。

映射(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解映射的概念及表示方法．(2)结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法(1)函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合．(2)通过实例进一步理解映射的概念．(3)会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射、一一映射．3．情感、态度与价值观映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．●重点难点重点：映射的概念．难点：映射的概念．映射的概念是比较抽象的，它是在初中所学对应的基础上发展而来，教学中应特别强调对应集合中的“唯一”这点要求的理解；映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一、多对一、一对多和多对多．其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让“A中之任意”与B 中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任意对唯一”.(教师用书独具)●教学建议1．在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射．在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、一对一三种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识上升到理性认识．2．对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括，最后再让学生举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢，引出一一映射概念．3．关于求像和原像的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原像的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况(有唯一解，无解或有无数解)加深对映射的认识．4．在教学方法上可以采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例、计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用．●教学流程在现实生活中我们经常遇到两集合间的对应关系，今天我们学习一种特殊的对应——映射，为学习函数作准备⇒课件展示按照某种对应法则建立的两个集合元素之间的一种联系就是对应．出示这个课件的目的是让学生对对应有感性认识⇒学生分小组讨论几个例子得出映射的概念⇒通过例1及其变式训练，加深对映射概念的理解⇒给出像与原像的定义，完成例2及其变式训练⇒理解特殊的映射——映射，掌握其特点⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正【问题导思】某校高一·八班有60名同学，同学们的姓名构成集合A.1．若同学们的姓构成集合B.对于A中的任意一个同学，在B中是否会存在唯一的姓与之对应？【提示】 是．2．若在集合B 中任取一个姓，在A 中是否存在唯一的姓名与之对应？【提示】 不一定．3．若同学们的身份证号构成集合C ，对于集合A 中任意一个同学，在C 中是否存在唯一的身份证号与之对应？对于集合C 中的任意一个身份证号在集合A 中是否存在唯一的同学与之对应？【提示】 是，是1．映射(1)映射的概念 两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有唯一的一个元素y 与它对应，就称这种对应为从A 到B 的映射，记作f ：A →B .(2)像与原像的概念在映射f ：A →B 中，A 中的元素x 称为原像，B 中的对应元素y 称为x 的像．记作f ：x →y .2．一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：(1)A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；(2)A 中的不同元素的像也不同；(3)B 中的每一个元素都有原像．3．函数与映射设A 、B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射.在下列各题中，判断下列对应是否为集合A 到集合B 的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数，为什么？(1)A ＝N ，B ＝N ＋，对应关系f ：“y ＝|x －1|，x ∈A ，y ∈B ”；(2)A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，对应关系f ：“y ＝x 2，x ∈A ，y ∈B ”； (3)A ＝{1,2,3,4}，B ＝{4,5,6,7}，对应关系f ：“y ＝x ＋3，x ∈A ，y ∈B ”．【思路探究】 先判断A 中每一个元素，在集合B 中均有对应关系，若有，看对应关系是否唯一．【自主解答】 (1)集合A ＝N 中元素1在对应关系f 作用下为0，而0∉N ＋，即A 中元素1在B 中没有元素与之对应，故对应关系f 不是从A 到B 的映射．(2)集合A 中元素6在对应关系f 作用下为3，而3∉B ，故对应关系f 不是从A 到B 的映射．(3)集合A 中的每一个元素在对应关系f 作用下，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，所以，对应关系f 是从A 到B 的映射，又B 中每一个元素在A 中都有唯一的原像与之对应，故对应关系f ：A →B 又是一一映射．又A ，B 是非空数集，因此对应关系f 也是从集合A 到集合B 的函数．1．映射应满足存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应．2．一一映射，在对应是映射的基础上，若B 中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射．3．判断一个映射是否是函数的关键是确定集合A 、B 是否是非空数集．下列集合A 到集合B 的对应中是一一映射的个数为( )①A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →y ＝－x .②A ＝R ＋，B ＝R ＋，f ：x →y ＝1x. ③A ＝N ＋，B ＝{0,1}，f ：除以2所得的余数．④A ＝{－4，－1,1,4}，B ＝{－2，－1,1,2}，f ：x →y ＝±|x |.⑤A ＝{平面内边长不同的等边三角形}，B ＝{平面内半径不同的圆}，f ：作等边三角形的内切圆．A ．3B ．4C ．5D ．2【解析】 ①是映射，但不是一一映射，如集合B 中4没有原像，③中所有正偶数在对应法则f 下只有零一个值，所以不是一一映射，④中的每个值，有两个B 中值对应，不是映射，只有②⑤是一一映射．【答案】 D像与原像已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，xy )．(1)(－2,3)在f 作用下的像是________；(2)若在f 作用下的像是(2，－3)，则它的原像是________．。

北师大版高中必修12.3映射教学设计
前言
高中必修12.3映射，是高中数学中的重要内容之一，本文将以教学设计的形式，对这一内容进行分析和讲解，以帮助教师和学生更好的理解和掌握这一知识点。

教学目标
1.知道映射的定义，并能够举出日常生活中的例子。

2.掌握映射的简单计算方法。

3.掌握映射的性质和应用。

教学重点
•映射的定义和例子
•映射的计算方法
•映射的性质和应用
教学难点
•映射的计算方法和公式的掌握
•映射的性质的理解和应用
教学过程
第一步：引入
1.引入映射的概念，并举例日常生活中的映射。

2.引入映射的定义和性质。

第二步：讲解
1.讲解映射的计算方法和公式。

2.讲解映射的性质和应用，例如映射的一一对应和映射的反函数等。

第三步：练习
1.练习映射的计算方法和公式，例如给出一个映射，让学生计算它的像
和原像。

2.练习映射的应用，例如利用映射的一一对应性质解决问题。

第四步：作业
1.布置映射相关的练习题和问题，以帮助学生加深理解和巩固知识。

2.鼓励学生自己寻找并解决与映射相关的问题，例如利用反函数解决问
题等。

教学反思
通过这样的教学设计，学生能够更深入地理解和掌握映射的概念，计算方法和应用。

教师可以根据学生的掌握情况，及时调整教学的方法和策略，提高教学效果和学生的学习兴趣。

同时，教师也需要反思自身的教学方法和策略，以进一步提高教学质量和效果。