抛物线经典性质总结30条
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结论一:若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦(过焦点的弦),且11(,)A x y ,22(,)B x y ,则:2124p x x =,212y y p =-。
结论二:已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,求证:112=AF BF p+。
结论三:(1)若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦,且直线AB 的倾斜角为α,则22sin P AB α=(α≠0)。
(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。
结论四:两个相切:(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
证明结论二:例:已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,求证:11AF BF+为定值。
证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由抛物线的定义知:12p AF x =+,22pBF x =+,又AF +BF =AB ,所以1x +2x =AB -p ,且由结论一知:2124p x x =。
则:212121211()()()2224AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+(常数证明:结论四: 已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦,求证:(1)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线,垂足为M 、N ,求证:以MN切。
证明:(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线, 垂足分别为M 、P 、N ,连结AP 、BP 。
由抛物线定义:AM AF =,BN BF =, ∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=, ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切(2)作图如(1),取MN 中点P ,连结PF 、MF 、NF ,∵AM AF =,AM ∥OF ,∴∠AMF=∠AFM ,∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。
抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0),AB是抛物线的焦点弦,点C 是AB的中点。
AA’垂直准线于A’,BB’垂直准线于B’,CC’垂直准线于C’,CC’交抛物线于点M,准线交x轴于点K。
证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,即|AB|=2|CC’|。
2.证明:|BF|=x^2/(2p)。
3.证明:CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明:以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明:∠A’FB’=90°。
6.证明:AA’FK,∴∠A’FK=∠FA’A;|AF|=|AA’|,∴∠AA’F=∠AFA’;同理可证∠B’FK=∠XXX,得证。
7.证明:C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明:AC’平分∠A’AF,BC’平分∠B’BF,A’F平分∠AFK,B’F平分∠XXX。
9.证明:C’F垂直AB,即C’F⋅AB=0.10.证明:AF=(y+y1)/2p(1-cosα),BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明:AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明:点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法:方法一:代入y = kx^2求解k,得到k = 2p,证毕。
方法二:对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p,解出y' = p/x,证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F:易证点A处的切线为y = px + py1,点B处的切线为y = px + py2,解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。
(y1+y2)/2),证毕。
3.对于抛物线y^2 = 2px,过准线上任一点P(-2p。
t)作切线,证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点,且PQ1⊥PQ2:设切点为Q(x。
y),则有y' = p/x,代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p),进而得到Q1、Q2的坐标。
抛物线经典性质汇总30条作者: 日期:抛物线焦点弦性质总结30条基础回顾1. 以AB 为直径的圆与准线 L 相切;22. xb 2 =巳;43. yg —p 2;4. . AC'B = 90:;5. A'FB'=90:;6.阳二—心化+新皐1 1 27^ ^^+——=—;AF | |BF | P ' 8. A 、O B ‘三点共线; 9. B 、O A ‘三点共线;P 210.SL AOB =2sin a 'Aa FB'A(X1,Y1)(X2,Y2)C(X3,Y3)11. SL 2 AOB AB /P 、3=(2)(定值)12.AFP 1 -cos :BFP 1 cos :16.AB 岸2P ;1 117. CC' =一 AB =—( AA' + BB');2 2“ P18. K AB =-;y 319. tan .二二 y2 p ;X 2-号220.A'B' =4AF BF ;21. C'F =丄 A'B' •222. 切线方程 y 0y 二m x 0 x 性质深究 一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有 何特殊之处?结论1:交点在准线上先猜后证:当弦AB 丄x 轴时,则点P 的坐标为 -卫,0在准线上.< 2丿 证明:从略结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立?结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点 先猜后证:过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线,则过两切点AB 的弦必过焦点.结论5过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.3、AB 是抛物线y 2 =2px (p >0)焦点弦,Q 是AB 的中点,丨是抛物线的准线, AA _丨,BB j _丨,过A , B 的切线相交于 P , PQ 与抛物线交于点 M.则有6PALPB. 7PF 丄 AB.8 M 平分 PQ9 PA 平分/ AAB, PB 平分 / BBA结论 结论 结论 结论 Q结论 10|F^| F^PF 2结论 11 S PAB min = P)非焦点弦与切线思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果:结论13 PA 平分/ AAB 同理PB 平分/ BBA 结论 14 • PFA "PFB结论15点M 平分PQ■ 2结论 16 FA ,FB =PF相关考题1、已知抛物线X 2 =4y 的焦点为F , A B 是抛物线上的两动点,且 AF 「FB — >0),过AB 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M(1)证明:FM AB 的值;(2)设厶ABM 的面积为S ,写出S = f ■的表达式,并求 S 的最小值.2、已知抛物线C 的方程为X 2 =4y ,焦点为F ,准线为I ,直线m 交抛物线于两点 A, B ; (1)过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D,求证:AF =|DF ;(2)若直线m 过焦点F ,分别过点 A , B 的两条切线相交于点 M 求证:AML BM 且点M 在直线l 上.3、对每个正整数n , A n X n ,y n 是抛物线X ^ 4y 上的点,过焦点 F 的直线FA 交抛物线于另一 点 B n S n ,t n ,( 1 )试证:X n Sn = -4 ( n A 1)(2)取冷=2n ,并G 为抛物线上分别以 A 与B 为切点的两条切线的交点, 求证:FG +|F C 2| 十…+ FC n |=2n —2^十十1 (n 》1)结论12①X pY I Y 2 2py py 2 2抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象,我们在研究几何图形时也会很自然地想 得到有关这个几何图形的美妙的性质,作为几何中的圆锥曲线的研究,正是这方面的一 个典型代表,作为高中数学中的必修内容,对于培养学生对于数学美的认识,起着相当 重要的作用。
抛物线和性质知识点大全抛物线是一种二次函数图像,具有以下性质:1. 抛物线的对称轴与其开口方向垂直,对称轴方程可以通过将抛物线标准式中的$x$ 替换为 $-c$ 求出,其中 $c$ 是抛物线的横坐标的中心值。
对称轴上的任何一点都是抛物线的最高点或最低点。
2. 抛物线的焦点是一个特殊的点,它与抛物线的开口方向和大小有关。
焦点是抛物线上所有的反射光线汇聚成的点。
计算焦点可以利用以下公式:$F=\left(\frac{1}{4a},\frac{c}{4a}\right)$,其中 $a$ 是抛物线开口处的系数,$c$ 是对称轴的水平位置。
3. 抛物线上的任何一点到对称轴的距离都等于该点到焦点的距离,这是由于抛物线的定义所决定的。
这个性质可以用来找到抛物线上的点到对称轴的距离,以及在给定焦点和直线上的点的情况下,找到抛物线方程。
5. 抛物线的 $x$ 与 $y$ 轴的交点称为抛物线的零点。
因为抛物线是一个二次函数,所以它最多有两个零点。
6. 抛物线在对称轴两侧的图像是对称的,图像的形状类似于 "U"。
7. 抛物线的开口方向可以使用其系数的正负来确定。
如果系数为正,则抛物线向上开口;如果系数为负,则抛物线向下开口。
8. 当 $a>0$ 时,抛物线开口向上,最低点(即顶点)为全局最小值,并且当 $x$ 的值趋近于正无穷大或负无穷大时,函数值也趋近于正无穷大。
当 $a<0$ 时,抛物线开口向下,最高点(即顶点)为全局最大值,并且当 $x$ 的值趋近于正无穷大或负无穷大时,函数值也趋近于负无穷大。
9. 抛物线的导数是一个一次函数,其斜率在顶点处为零。
10. 任意两个点之间的抛物线弧长可以通过积分抛物线导数的平方再开平方根的方法求出。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是一种二次函数,其标准形式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为实数且a≠0。
在抛物线上,取值较小的一侧为开口向上的抛物线,取值较大的一侧为开口向下的抛物线。
抛物线的性质:1. 平移性质:对于标准形式y=ax^2+bx+c的抛物线,若h、k为实数,则抛物线y=a(x-h)^2+k表示平移了h个单位向右,k个单位向上(k>0)或向下(k<0)后的抛物线。
2. 判别式:若抛物线y=ax^2+bx+c的判别式Δ=b^2-4ac>0,则抛物线与x轴有两个交点,即开口向上的抛物线在x轴上方,开口向下的抛物线在x轴下方。
若Δ=0,则抛物线与x轴只有一个交点,抛物线与x轴相切。
若Δ<0,则抛物线与x轴没有交点,即开口向上的抛物线在x轴下方,开口向下的抛物线在x轴上方。
3. 对称性质:在抛物线y=ax^2+bx+c上,对于任意实数x,都有关于抛物线的对称点(x,-ax^2-bx-c)。
4. 最值性质:对于开口向上的抛物线,其最低点为顶点,对应的坐标为(-b/2a,f(-b/2a)),其中f(x)=ax^2+bx+c。
最低点处的纵坐标为抛物线的最小值。
对于开口向下的抛物线,其最高点为顶点,对应的坐标为(-b/2a,f(-b/2a)),其中f(x)=ax^2+bx+c。
最高点处的纵坐标为抛物线的最大值。
5. 零点性质:抛物线与x轴的交点称为零点,若抛物线y=ax^2+bx+c有零点,则有两个零点,记为x1和x2(x1≠x2),且x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a。
6. 奇偶性质:对于抛物线y=ax^2+bx+c,若a为奇数,则抛物线是奇函数,即f(-x)=-f(x);若a为偶数,则抛物线是偶函数,即f(-x)=f(x)。
7. 渐进线性质:对于开口向上的抛物线y=ax^2+bx+c,当x趋于无穷大时,抛物线趋近于y=x的直线;当x趋于负无穷大时,抛物线趋近于y=x的直线。
抛物线及其性质知识点大全推荐文档1. 抛物线的定义:抛物线是一个平面曲线,其定义式为y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,a不等于0。
2.抛物线的图像:抛物线的图像呈现出对称性,它的开口方向由抛物线的系数a的正负决定。
当a大于0时,抛物线向上开口;当a小于0时,抛物线向下开口。
3.抛物线的顶点:抛物线的顶点为曲线上的最低点(向上开口)或最高点(向下开口)。
顶点的横坐标为x=-b/(2a),纵坐标为y=f(-b/(2a)),其中f(x)为抛物线的函数。
4. 抛物线的焦点:抛物线的焦点是曲线上与直线y = mx + n相交的点的轨迹,其中m、n为常数。
焦点的横坐标为x = -b/(2a),纵坐标为y = c - (b^2 - 1)/(4a)。
5.抛物线的对称轴:抛物线的对称轴是通过顶点和焦点的垂直平分线。
对称轴的方程为x=-b/(2a)。
6. 抛物线的判别式:抛物线的判别式为Δ = b^2 - 4ac,其中Δ的值决定了抛物线的性质。
若Δ大于0,则抛物线与x轴有两个交点,即开口向上或向下的抛物线。
若Δ等于0,则抛物线与x轴有一个交点,即开口向上或向下的抛物线。
若Δ小于0,则抛物线与x轴没有交点,即开口向上或向下的抛物线。
7.抛物线的焦距:焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到对称轴的距离,即焦距等于对称轴到顶点的距离。
8.抛物线的切线:抛物线上任意一点处的切线与该点的切线斜率相等,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0),其中f'(x)为抛物线函数的导数。
9.抛物线的性质:抛物线是一条连续曲线,它具有对称性、单调性(a的符号决定)、可导性(除去顶点的地方都可导)、增减性(导数的符号决定)、可微性(除去顶点的地方都可微)、凸凹性(a的符号决定)等性质。
10.抛物线的应用:抛物线在物理学中常用于描述自由落体、抛体运动等;在工程学中常用于设计桥梁、铁轨等;在经济学中常用于描述成本、收益等。
1. 以AB 90(AC 2. 3. '90A FB ∠('A F 4.C F '⊥5.BC '垂直平分B F ' 6.AC '垂直平分A F ' 7.抛物线的准线与x 轴相交于点P ,则.BPF APF ∠=∠ 8.B 、O 、A '三点共线 9. A 、O 、B '三点共线10. 2124p x x = 11. 212y y p =-12. 123222()22sin p p AB x x p x d α=++=+==弦中点到准线 11'('')22CC AB AA BB ==+ 13. 123222()22cos p p AB y y p y d α=++=+==弦中点到准线14. 焦点弦弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时,叫通径,焦点弦弦长最短为2p. 有2AB p ≥15. 112AF BF P +=; 1cos P AF α=-; 1cos P BF α=+16. 243p OB OA -=⋅17. 22sin AOB P S α=18. ⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆AF BF BF AF p S AOB 42弦AB 过焦点 19. 23()2AOB S P AB = 20. ||||||2FB FA F C ⋅='; 2A'B'4AF BF =⋅; 1C'F A'B'2=21. AB 3P K =y ; 2p 22y tan =x -α 22. 切点在抛物线上的切线方程 ()x x p y y +=0023. 点)0,(p D 处的结论:点)0,(p 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点: )0,(a A 在点)0,(p 左边时顶点O 到点)0,(a A 的距离最近,最近距离为a ;)0,(a A 在点)0,(p 右边时横坐标为p a -的两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近,最近距离为22p ap -.24. 设过点()0,p D 的直线交抛物线px y 22=于A 、B ,则=+2211DB DA 21p 25. 点)0,2(p E 处的结论:),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点,O 为抛物线的顶点,(1)090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p .(2)2214p x x =,2214p y y -=. 26. 准线上的有关结论:过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,,再以B A ,为切点作抛物线的切线,其交点在抛物线的准线上,且两切线垂直。
抛物线性质30条已知抛物线22(0)y px p =>,AB 是抛物线的焦点弦,点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’, BB ’垂直准线于B ’, CC’垂直准线于C ’,CC ’交抛物线于点M ,准线交x 轴于点K. 求证:1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+ 2.11()22CC AB AA BB '''==+;3.以AB 为直径的圆与准线L 相切;证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r '''=+=+==4.90AC B '∠=;(由1可证)5.90A FB ''∠=;,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠证明:同理:1,2B FK BFK '∠=∠得证. 6.1C F A B 2'''=.证明:由90A FB ''∠=得证.7.AC '垂直平分A F ';BC '垂直平分B F ';证明:由1C F A B 2'''=可知,1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴又得证 同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠,BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠,B ’F 平分BFK ∠. 证明:由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥;证明:122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅--22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;证明:作AH 垂直x 轴于点H ,则||||||||||cos ,||1cos pAF AA KF FH p AF AF αα'==+=+∴=-.同理可证另一个. 11.112AF BF P+=; 证明:由1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;得证.12. 点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明:(方法一)设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-,与22y px =联立,得21122()0,ky py p y kx -+-= 由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程(它的差别式也恰为0)得:111,2y pk x y ==得证. 证法二:(求导)22y px =两边对x 求导得1122,,|,x x p p yy p y y y y ='''==∴=得证. 13.AC’是切线,切点为A ;B C’是切线,切点为B ;证明:易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+,点B 处的切线为22()y y p x x =+,解得两切线的交点为12(,)22y y p C +'-,得证. 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线,则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明:设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点,过点P 作抛物线的切线,切点为2(,)2y Q y p , 22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+ 显然22440,t p ∆=+>切点有两个,设为2221211221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p+==-则 1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----- 1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++ 所以Q 1Q 2过焦点. 22222222121212121212122(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t p p p+⋅=+-⋅+-=+++-++ 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线;B 、O 、A '三点共线; 证明:A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证:B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-;1224p x x ⋅=证明:设AB 的方程为()2py k x =-,与22y px =联立,得2220,ky py kp --= 212122,,p y y y y p k∴+==- 224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅== 17.1222sin pAB x x p α=++=证明:1212,2p pAB AFFB x x x x p =+=+++=++||2AB ===222.sin pα==得证.18.22sin AOB p S α∆=;证明:122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅=22sin p α===. 19.322AOB S p AB ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭(定值);证明:由22sin pAB α=、22sin AOB p S α∆=得证. 20.22sin ABC p S α'∆= 证明:11||||222ABC S AB PF '∆=⋅=⋅ 22221(1)sin p p k α==+=21.2AB p ≥; 证明:由22sin pAB α=得证. 22.122AB pk y y =+; 证明:由点差法得证.23.121222tan P P y y x x α==--; 证明:作AA 2垂直x 轴于点A 2,在2AA F ∆中,2121tan ,2AA y FA p x α==-同理可证另一个.24.2A B 4AF BF ''=⋅;证明:2212124||4()()22p p A B AF BF y y x x ''=⋅⇔-=++ 2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p ⇔+-=+++⇔-=+,由122y y p ⋅=-,1224p x x ⋅=得证.25. 设CC ’交抛物线于点M ,则点M 是CC ’的中点;证明:12121212(,),(,),CC ,22224x x y y y yx x p p C C ++++-''-∴中点横坐标为 把122y y y +=代入22y px =,得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x +++-+-=∴==所以点M 的横坐标为12.4x x px +-=点M 是CC ’的中点.当弦AB 不过焦点时,设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ,求证:26.点P 在直线x m =-上证明:设:,AB x ty m =+与22y px =联立,得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-,又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y yy y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩,相减得 代入11()y y p x x =+得,22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27. 设PC 交抛物线于点M ,则点M 是PC 的中点;证明:121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为 把122y y y +=代入22y px =,得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴==所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1,B 1,则PA 垂直平分A 1F , PB 垂直平分B 1F ,从而PA 平分1A AF ∠,PB 平分1B BF ∠ 证明:1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥-- 又1||||AF AA =,所以PA 垂直平分A 1F. 同理可证另一个. 证法二:1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====-- 111tan tan 11AP AA AF APAF AP AP AA k k k k FAP PAA k k k k --∴∠-∠=-+⋅+⋅ 12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-=-=-=-=-+++⋅+⋅- 11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠ 同理可证另一个29.PFA PFB ∠=∠证明:11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理:只需证 易证:111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30.2||||||FA FB PF ⋅=证明:22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++ 1212(,),22y y y y P p +22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得证.例1:(2007江苏高考第19题)如图,过C (0,c )(c>0)作直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、Q 。
抛物线知识点归纳总结一、抛物线的定义抛物线是平面上的一个几何图形,它的形状像一个弯曲的弧线,其数学定义为:所有到定点的距离等于到直线的距离的点构成的集合。
这个定点称为焦点,直线称为准线,通常用符号来表示抛物线,可以用二次方程来表示:y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为实数,a≠0。
二、抛物线的性质1. 焦点和准线:抛物线的焦点位于开口向上或者向下的一端,准线则位于抛物线的中轴线上。
焦点和准线的位置可以通过二次方程的系数a、b、c来确定。
2. 对称性:抛物线具有轴对称性,即抛物线的焦点和准线关于中轴线对称。
3. 焦点的坐标:抛物线的焦点的坐标可以通过二次方程的系数a、b、c来计算得出。
4. 定点的坐标:抛物线上最低点或者最高点称为定点,定点的坐标可以通过二次方程的顶点公式来计算得出。
5. 法线和切线:抛物线的切线是与抛物线相切的直线,而法线是与切线垂直的直线,它们具有一些特殊的性质和公式。
6. 焦距和焦半径:焦距是焦点到准线的距离,焦半径是焦点到抛物线顶点的距离,它们与抛物线的方程之间存在一些重要的关系。
7. 焦直和准直:焦直是焦点在准线上的投影轴,准直是准线在焦点上的投影轴,它们的位置和形状也与抛物线的方程有关。
8. 定义域和值域:抛物线的定义域和值域是指抛物线上的点的集合,它们与抛物线的方程形式、系数和图像的形态有关。
9. 开口方向:抛物线的开口方向是指向上或者向下,它与抛物线的二次方程的系数a的正负有关。
10. 直线与抛物线的位置关系:抛物线与直线的位置关系有相交、切线和相离三种情况,这与抛物线的方程和直线的方程有关。
三、抛物线的应用抛物线在日常生活和工程技术中有着广泛的应用,如抛物面反射天线、汽车大灯光束设计等。
同时,它也在物理学、天文学、工程学等领域有着重要的作用。
1. 抛物线的运动学应用:抛物线是物体在一个力场中运动的轨迹,它在各种自然和人造的运动中都有着广泛的应用,如抛物线轨道的运动、人造卫星的轨迹等。
抛物线及其性质1.抛物线定义:平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 2.抛物线四种标准方程的几何性质:图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 (0,0)离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α,22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α,则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3.抛物线)0(22>=p px y 的几何性质:(1)范围:因为p>0,由方程可知x ≥0,所以抛物线在y 轴的右侧, 当x 的值增大时,|y |也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向. (3)顶点(0,0),离心率:1=e ,焦点(,0)2p F ,准线2px -=,焦准距p . (4) 焦点弦:抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ,),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||. 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时,通径最短为2p 。
抛物线及其性质知识点大全1. 抛物线的定义:抛物线是平面上满足平方差的关系的点的集合,可以用一般式方程表示为 y = ax^2 + bx + c,其中a、b和c是实数且a不为0。
2.抛物线的基本形状:抛物线呈现出一个宽口向上或向下的U形。
当a大于0时,抛物线开口向上;当a小于0时,抛物线开口向下。
3.抛物线的对称轴:抛物线的对称轴垂直于抛物线的开口方向,可以通过平移和旋转将抛物线移动到一个新的位置,使得抛物线重合于自身。
4.抛物线的顶点:抛物线的顶点是抛物线的最高点(当抛物线开口向下时)或最低点(当抛物线开口向上时)。
顶点的横坐标可以通过将一般式方程的x项系数取反并将结果除以2a得到,纵坐标可以通过将横坐标代入一般式方程得到。
5.抛物线的焦点:抛物线上所有点到定点(焦点)的距离相等。
焦点的坐标可以通过将一般式方程转化为顶点形式方程(y=a(x-h)^2+k)得到,其中焦点的横坐标为(h,k+a)。
6.抛物线的直径:通过顶点并垂直于对称轴的直线,可以将抛物线分成两个等长度的部分,这条直线称为抛物线的直径。
7.抛物线的切线:与抛物线相切的直线称为抛物线的切线。
抛物线的切线与抛物线在切点处的斜率相等。
8.抛物线的弦:从抛物线上任意两点绘制的线段称为抛物线的弦。
9.抛物线的渐近线:抛物线没有直线渐近线。
10.抛物线的拐点:抛物线的凹凸方向发生改变的点称为拐点。
拐点的横坐标可以通过将一般式方程的一阶导数等于0的解代入一般式方程得到。
11.抛物线的面积:抛物线的面积可以通过用定积分计算抛物线与x 轴之间的曲边梯形的面积得到。
12.抛物线的方程:抛物线的方程可以通过已知的关键点(如焦点和顶点)来确定。
13.抛物线的图像:通过绘制坐标平面上一系列点,连接这些点得到的曲线即为抛物线的图像。
14.抛物线的应用:抛物线在真实世界中具有广泛的应用,如物体的自由落体、抛体运动、喷水器的喷射路径等。
最全抛物线曲线性质总结抛物线是一种常见的二次曲线,具有很多特性和性质。
本文将总结抛物线的最全性质。
1. 定义抛物线是平面上所有到定点的距离与到定直线的距离相等的点所组成的曲线。
2. 方程抛物线的一般方程为:y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,且a不等于0。
3. 性质以下是抛物线的一些重要性质:对称性- 抛物线关于纵轴对称;- 如果a为正数,则抛物线开口朝上;如果a为负数,则抛物线开口朝下。
零点- 抛物线与x轴交点称为抛物线的零点;- 若抛物线有1个零点,则其为切线,即抛物线与x轴相切;- 若抛物线有2个零点,则其开口朝上;- 若抛物线无零点,则其不与x轴相交。
顶点- 抛物线的顶点即为最高点或最低点;- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)),其中f(-b/2a)为抛物线在顶点横坐标处对应的纵坐标。
平行于坐标轴- 若b等于0,则抛物线与y轴平行;- 若a等于0,则抛物线与x轴平行。
开口方向- 由抛物线的系数a来决定;- 若a大于0,则抛物线开口朝上;- 若a小于0,则抛物线开口朝下。
最值- 若a大于0,则抛物线的最小值为顶点的纵坐标;- 若a小于0,则抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
弧长- 抛物线弧长可由积分求解,公式为:L = ∫(1 + (dy/dx)^2)^(1/2) dx,其中dy/dx为抛物线方程的导数。
以上是抛物线的一些常见性质和特点。
对于理解和应用抛物线非常有帮助。
希望本文对您有所启发和帮助。
抛物线的30条经典性质及证明已知抛物线22(0)y px p =>,AB 是抛物线的焦点弦,点C 是AB 的中点.AA’垂直准线于A’,BB’垂直准线于B’,CC’垂直准线于C’,CC’交抛物线于点M ,准线交x 轴于点K.求证:1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+2.11()22CC AB AA BB '''==+;3.以AB 为直径的圆与准线L 相切;证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r'''=+=+==4.90AC B '∠=;(由1可证)5.90A FB ''∠= ;,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠ 证明:同理:1,2B FK BFK '∠=∠得证.6.1C F A B 2'''=.证明:由90A FB ''∠=得证.7.AC '垂直平分A F ';BC '垂直平分B F ';证明:由1C F A B 2'''=可知,1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴ 又得证同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠,BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠,B’F 平分BFK ∠.证明:由AC '垂直平分A F '可证.9.C F 'AB ⊥;证明:122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅-- 22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;证明:作AH 垂直x 轴于点H,则||||||||||cos ,||1cos pAF AA KF FH p AF AF αα'==+=+∴=-.同理可证另一个.11.112AF BF P+=;证明:由1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;得证.12.点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明:(方法一)设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-,与22y px =联立,得21122()0,ky py p y kx -+-=由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程(它的差别式也恰为0)得:111,2y pk x y ==得证.证法二:(求导)22y px =两边对x 求导得1122,,|x x p pyy p y y y y ='''==∴=得证.13.AC’是切线,切点为A;BC’是切线,切点为B;证明:易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+,点B 处的切线为22()y y p x x =+,解得两切线的交点为12(,22y y p C +'-,得证.14.过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线,则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明:设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点,过点P 作抛物线的切线,切点为2(,)2y Q y p ,22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+显然22440,t p ∆=+>切点有两个,设为2221211221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p+==-则1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++所以Q 1Q 2过焦点.22222222121212*********(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y tp p p +⋅=+-⋅+-=++-++ 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线;B 、O 、A '三点共线;证明:A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证:B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-;1224p x x ⋅=证明:设AB 的方程为(2py k x =-,与22y px =联立,得2220,ky py kp --=212122,,py y y y p k∴+==-224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅==17.1222sin p AB x x p α=++=证明:1212,22p pAB AF FB x x x x p =+=+++=++||2AB p =222sin pα==得证.18.22sin AOBp S α∆=;证明:122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅⋅22sin p α==.19.322AOBS pAB∆⎛⎫= ⎪⎝⎭(定值);证明:由22sinpABα=、22sinAOBpSα∆=得证.20.22sinABCp Sα'∆=证明:11||||222 ABCS AB PF'∆=⋅=⋅22221(1)sinppkα==+=21.2AB p≥;证明:由22sinpABα=得证.22.122ABpky y=+;证明:由点差法得证.23.121222tanP Py yx xα==--;证明:作AA2垂直x轴于点A2,在2AA F∆中,2121tan,2AA yFA pxα==-同理可证另一个.24.2A B4AF BF''=⋅;证明:2212124||4()()22p pA B AF BF y y x x''=⋅⇔-=++2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p⇔+-=+++⇔-=+,由122y y p⋅=-,1224px x⋅=得证.25.设CC’交抛物线于点M,则点M是CC’的中点;证明:12121212 (,),(),CC, 22224x x y y y y x x ppC C++++-''-∴中点横坐标为把122y yy+=代入22y px=,得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x+++-+-=∴==所以点M的横坐标为12.4x x px+-=点M是CC’的中点.当弦AB 不过焦点时,设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ,求证:26.点P 在直线x m =-上证明:设:,AB x ty m =+与22y px =联立,得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-,又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y y y y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩,相减得代入11()y y p x x =+得,22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27.设PC 交抛物线于点M ,则点M 是PC 的中点;证明:121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为把122y y y +=代入22y px =,得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴== 所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1,B 1,则PA 垂直平分A 1F ,PB 垂直平分B 1F ,从而PA 平分1A AF ∠,PB 平分1B BF∠证明:1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥--又1||||AF AA =,所以PA 垂直平分A 1F.同理可证另一个.证法二:1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====--111tan tan 11AP AA AF APAF AP AP AA k k k k FAP PAA k k k k --∴∠-∠=-+⋅+⋅12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-==--=-+++⋅+⋅-11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠同理可证另一个29.PFA PFB∠=∠证明:11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理:只需证易证:111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30.2||||||FA FB PF ⋅= 证明:22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++1212(,),22y y y y P p + 22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭得证.例1:(2007江苏高考第19题)如图,过C(0,c)(c>0)作直线与抛物线y=x 2相交于A、B 两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线y+c=0交于P、Q。
抛物线常用性质总结抛物线是数学中的一种曲线形状,其方程一般为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数。
抛物线在几何学、物理学、工程学等领域中都具有广泛的应用。
下面将总结抛物线的一些常用性质。
1.抛物线的形状:抛物线是一种开口向上或向下的曲线。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
2.对称性:抛物线与y轴对称,其顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
抛物线也可以与x轴对称,其对称轴与x轴垂直,并通过顶点。
3.焦点和准线:抛物线的焦点F的坐标为(-b/2a,c-b^2/4a+1/4a),准线的方程为y=(c-b^2/4a)-1/4a。
4.抛物线的平移:抛物线的平移是通过调整方程中的常数b和c来实现的。
平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状,但位置有所变化。
5. 零点:抛物线的零点即为方程的解,可以通过求解ax^2+bx+c=0来得到。
根据一元二次方程的解的性质,当b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b^2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点。
6.最值:抛物线的最值即为顶点的纵坐标。
当a>0时,抛物线的最小值为c-b^2/4a;当a<0时,抛物线的最大值为c-b^2/4a。
7.切线和法线:在抛物线上的任意一点,其切线的斜率为抛物线在该点的导数值。
切线与抛物线的切点的坐标可以通过求解方程组来得到。
在抛物线上的任意一点,其法线与切线垂直。
8.弧长:抛物线的弧长表示为y=x^2的积分。
计算抛物线上两点间的弧长可以通过积分计算得到。
9.面积:抛物线与y轴之间的面积可以通过求解抛物线和y轴之间的定积分来计算得到。
抛物线的其中一段与x轴之间的面积可以通过求解抛物线和x轴之间的定积分来计算得到。
10.抛物线的应用:抛物线在现实生活中有很多应用。
例如,在物理学中,抛物线可以描述物体的弹道;在工程学中,抛物线可以描述桥梁、拱门等结构的外形;在经济学中,抛物线可以描述成本、产量等指标的关系。
抛物线常用性质总结(总2页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2结论一:若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦(过焦点的弦),且11(,)A x y ,22(,)B x y ,则:2124p x x =,212y y p =-。
结论二:已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,求证:112=AF BF p+ 。
结论三:(1)若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦,且直线AB 的倾斜角为α,则22sin PAB α=(α≠0)。
(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。
结论四:两个相切:(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
3证明结论二:例:已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,求证:11AF BF+为定值。
证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由抛物线的定义知:12p AF x =+,22pBF x =+,又AF +BF =AB ,所以1x +2x =AB -p ,且由结论一知:2124p x x =。
则:212121211()()()2224AF BF AB AB p pp pAFBFAF BFx x x x x x ++===⋅+++++ =222()424ABp p p pAB p =+-+(常数证明:结论四:已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦,求证:(1)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线,垂足为M 、N ,求证:以MN 为直径的圆与直线AB 相切。
证明:(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线, BAMNQP y xO F4垂足分别为M 、P 、N ,连结AP 、BP 。
抛物线性质30条已知抛物线22(0)y px p =>,AB 是抛物线的焦点弦,点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’, BB ’垂直准线于B ’, CC’垂直准线于C ’,CC ’交抛物线于点M ,准线交x 轴于点K. 求证:1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+ 2.11()22CC AB AA BB '''==+;3.以AB 为直径的圆与准线L 相切;证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,||||||||||2|AB AF BF AA BB ''=+=+=4.90AC B '∠=o;(由1可证) 5.90A FB ''∠=o ;,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠Q P Q 证明:同理:1,2B FK BFK '∠=∠得证. 6.1C F A B 2'''=.证明:由90A FB ''∠=o得证.7.AC '垂直平分A F ';BC '垂直平分B F '证明:由1C F A B 2'''=可知,1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴Q 又得证 同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠,BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠,B ’F 平分BFK ∠. 证明:由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥;证明:122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅--u u u u v u u u v22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;证明:作AH 垂直x 轴于点H ,则||||||||||cos ,||1cos pAF AA KF FH p AF AF αα'==+=+∴=-.同理可证另一个. 11.112AF BF P+=; 证明:由1cos P AF α=-;1cos PBF α=+;得证.12. 点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明:(方法一)设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-,与22y px =联立,得21122()0,ky py p y kx -+-= 由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程(它的差别式也恰为0)得:111,2y pk x y ==得证. 证法二:(求导)22y px =两边对x 求导得1122,,|,x x p p yy p y y y y ='''==∴=得证. 13.AC’是切线,切点为A ;B C’是切线,切点为B ;证明:易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+,点B 处的切线为22()y y p x x =+,解得两切线的交点为12(,)22y y p C +'-,得证. 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线,则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明:设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点,过点P 作抛物线的切线,切点为2(,)2y Q y p , 22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+ 显然22440,t p ∆=+>切点有两个,设为222221212(,),2,,2y Q y y y t y y p p+==-则 1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----- 1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++ 所以Q 1Q 2过焦点. 22222222121212121212122(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t p p p+⋅=+-⋅+-=+++-++u u u u v u u u u v 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线;B 、O 、A '三点共线; 证明:A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证:B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-;1224p x x ⋅=证明:设AB 的方程为()2py k x =-,与22y px =联立,得2220,ky py kp --= 212122,,p y y y y p k∴+==- 224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅== 17.1222sin pAB x x p α=++=证明:1212,2p pAB AF FBx x x x p =+=+++=++||2AB ===222.sin pα==得证.18.22sin AOB p S α∆=;证明:122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅=22sin p α===. 19.322AOB S p AB ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭(定值);22sin AOB p S α∆=得证. 20.22sin ABC p S α'∆= 证明:11||||222ABC S AB PF '∆=⋅=⋅ 22221(1)sin p p k α==+=21.2AB p ≥; 证明:由22sin pAB α=得证. 22.122AB pk y y =+; 证明:由点差法得证.23.121222tan P P y y x x α==--; 证明:作AA 2垂直x 轴于点A 2,在2AA F ∆中,2121tan ,2AA y FA p x α==-同理可证另一个.24.2A B 4AF BF ''=⋅;证明:2212124||4()()22ppA B AF BF y y x x ''=⋅⇔-=++ 2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p ⇔+-=+++⇔-=+,由122y y p ⋅=-,1224p x x ⋅=得证.25. 设CC ’交抛物线于点M ,则点M 是CC ’的中点;证明:12121212(,),(,),CC ,22224x x y y y yx x p p C C ++++-''-∴中点横坐标为 把122y y y +=代入22y px =,得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x +++-+-=∴==所以点M 的横坐标为12.4x x px +-=点M 是CC ’的中点.当弦AB 不过焦点时,设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ,求证:26.点P 在直线x m =-上证明:设:,AB x ty m =+与22y px =联立,得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-,又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y yy y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩,相减得 代入11()y y p x x =+得,22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27. 设PC 交抛物线于点M ,则点M 是PC 的中点;证明:121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为 把122y y y +=代入22y px =,得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴==Q所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1,B 1,则PA 垂直平分A 1F , PB 垂直平分B 1F ,从而PA 平分1A AF ∠,PB 平分1B BF ∠ 证明:1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥-- 又1||||AF AA =,所以PA 垂直平分A 1F. 同理可证另一个. 证法二:1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====--1tan tan 1AF APAF AP k k FAP PAA k k -∴∠-∠=+⋅ 12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-=-=-=-=-+++⋅+⋅- 11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠ 同理可证另一个29.PFA PFB ∠=∠证明:11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理:只需证 易证:111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30.2||||||FA FB PF ⋅=u u u v u u u v u u u v证明:22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++ 1212(,),22y y y y P p +Q 22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得证.例1:(2007江苏高考第19题)如图,过C (0,c )(c>0)作直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点,一条垂直于x 轴的直线,分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、Q 。