2018年高中数学 第1章 计数原理 1.3 组合教学案 苏教版选修2-3

七桥问题与欧拉定理七桥问题和欧拉定理。

欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论,人们通常称之为欧拉定理。

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。

人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。

具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

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第1章计数原理一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意，完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，规定A0n＝1.当m＝n时，A n n＝n (n－1)(n－2)·…·3·2·1.(2)A m n＝n！（n－m）！，其中A n n＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类和准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难则反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略； (7)定序问题除法处理的策略； (8)分排问题直排处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； (10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质 1．二项式定理 公式(a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n ，其中各项的系数C rn (r ＝0，1，2，…，n )称为二项式系数，第r ＋1项C r n an －r b r称为通项． [说明](1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关，而后者还与a ，b 的取值有关．(2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r ，再求所需的项(或项的系数)．2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，体现了组合数性质C mn ＝C n －mn . (2)增减性与最大值： 当r <n ＋12时，二项式系数C rn 逐渐增大； 当r >n ＋12时，二项式系数C rn 逐渐减小．当n 是偶数时，展开式中间一项T n2＋1的二项式系数C n2n 最大；当n 是奇数时，展开式中间两项T n ＋12与T n ＋12＋1的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋….[说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C 17＝7种． 答案：72．(湖南高考改编)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是________．解析：由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2·(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20. 答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学 、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x 人，则女学生有(8－x )人，则C 2x C 18－x A 33＝90，即x (x －1)(8－x )＝30＝2×3×5，所以x ＝3，8－x ＝5. 答案：3，54．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．解析：由分步计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法， 故共有A 33×2＝12种排列方法． 答案：125．(湖北高考改编)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝________． 解析：T r ＋1＝C r7(2x )7－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1. 答案：16．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共在C 24·C 34·C 34＝96种．答案：967．C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＝________．解析：∵C 06＋C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66＝26＝64，∴C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＝64－2＝62. 答案：628.用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．解析：分四步依次涂A ，B ，C ，D .开始涂A 有4种涂法；再涂B 有3种涂法；然后涂C 有2种涂法；最后涂D ，由于D 和A ，B 不相邻，所以D 可以和A 或B 同色，也可以和A ，B 不同色，所以共有3种涂法．由分步计数原理得，共有4×3×2×3＝72(种)．答案：729．“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为________．解析：由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2C 13C 13C 22＝18个．答案：1810．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．解析：分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人，另一个住2人，所以不同的分配方案共有C 37A 22＋C 27A 22＝35×2＋21×2＝112种．答案：11211．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是________．解析：分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个C 35C 34； 第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个C 45C 24； 第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个C 55C 14， 由分类计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74. 答案：7412．(重庆高考改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120. 答案：12013.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________．解析：只有第六项的二项式系数最大，则n ＝10，T r ＋1＝C r 10·()x 10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r＝2r C r 10x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，T 3＝4C 210＝180.答案：18014.()x ＋14(x －1)5的展开式中x 4的系数为________．解析：()x ＋14(x －1)5＝(x －1)5(x 2＋4x x ＋6x ＋4x ＋1)，x 4的系数为C 35×(－1)3＋C 25×6＋C 15×(－1)＝45.答案：45二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)有三个袋子，其中第一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码．第二个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码．第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码．(1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？解：(1)从第一个袋子中取一个小球有20种取法；从第二个袋子中取一个小球有15种取法；从第三个袋子中取一个小球有8种取法．由分类计数原理可知共有20＋15＋8＝43种取法．(2)分三步：第一步，从第一个袋子中取一个红色球有20种取法；第二步，从第二个袋子中取一个白色球有15种取法；第三步，从第三个袋子中取一个黄色球有8种取法．由分步计数原理可知共有20×15×8＝2 400种取法．16．(本小题满分14分)有0，1，2，3，4，5共六个数字． (1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数．解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时有A 35个；第二类，2在个位时有A 14A 24个；第三类，4在个位时有A 14A 24个；由分类计数原理知，共有四位偶数A 35＋A 14A 24＋A 14A 24＝156(个)．(2)五位数中5的倍数可分为两类；第一类，个位上的数字是0的五位数有A 45个；第二类，个位上的数字是5的五位数有A 14A 34个．故满足条件的五位数有A 45＋A 14A 34＝216(个)．17．(本小题满分14分)在(1－x 2)20的展开式中，如果第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，(1)求r 的值；(2)写出展开式中的第4r 项和第r ＋2项．解：(1)第4r 项和第r ＋2项的二项式系数分别是C 4r －120和C r ＋120， C 4r －120＝C r ＋120⇔4r －1＝r ＋1或4r －1＋r ＋1＝20， 解得r ＝4或r ＝23(舍去)．所以r ＝4.(2)T 4r ＝T 16＝C 1520·(－x 2)15＝－15 504x 30，T r ＋2＝T 6＝C 520(－x 2)5＝－15 504x 10.18．(本小题满分16分)设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求下列各式的值． (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10； (2)a 6.解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10＝1. (2)a 6即为含x 6项的系数，T r ＋1＝C r 10(2x )10－r (－1)r ＝C r 10(－1)r 210－r x 10－r ， 所以当r ＝4时，T 5＝C 410(－1)426x 6＝13 440x 6， 即a 6＝13 440.19．(本小题满分16分)6个人坐在一排10个座位上，问： (1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？ (3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？解：6个人排有A 66种坐法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位． (1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C 47＝35种插法， 故空位不相邻的坐法有A 66C 47＝25 200种．(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有A 27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A 66A 27＝30 240种．(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类： ①4个空位各不相邻有C 47种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C 17C 26种坐法； ③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C 27种坐法． 综上所述，应有A 66(C 47＋C 17C 26＋C 27)＝115 920种坐法．20．(本小题满分16分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，所以选取种数为N＝C210＝45(种)即4只鞋子恰成两双有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种)．。

高中数学 第一章 计数原理 1.3 组合课堂导学 苏教版选修2-3三点剖析一、组合数的运算 【例1】已知mm m C C C 76510711•=-,求mC 8. 解析:m 的范围为{m |0≤m ≤5,m ∈Z}, 由已知,!710!)!7(7!6)!6(!!5)!5(!⨯-⨯=---m m m m m m , 即60-10(6-m )=(7-m )(6-m ),得m =21或m =2,又m ∈［0,5］,则有m =2.∴28288==C C m .温馨提示用m mm n mnA A C =计算具体的组合数,用)!(!!m n m n C mn -=证明有关组合数的代数式.有时还用到组合数的性质化简组合数.二、有限制条件的组合问题【例2】 某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要选派5名参加赈灾医疗队. (1)某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有多少种选法? (2)至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加，有几种选法? 解析:(1)某内科医生参加，某外科医生不参加，只需从剩下的18名医生中选4名即可.故有418C =3 060(种).(2)解法一:依据组合问题分类讨论原则,至少有一名内科医生和至少有一名外科医生可分为四类:一内四外；二内三外；三内二外；四内一外.共有18412283123821248112C C C C C C C C •+•+•+•=14 656(种).解法二:依据组合问题不符合条件的用剔除原则，事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的对立面是“全部为内科医生或外科医生”，共有58512C C +种选法，则)(58512520C C C +-=14 656(种).温馨提示题目中有“含”与“不含”，“最多”与“至少”等词语,“含有”一般是先将这些元素取出，不足部分由另外元素补充， “不含”，可将这些元素剔除，再从剩下的元素中取；解“最多”与“最少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解.三、分组、分配问题【例3】 有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种不同的分法?(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本;(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本; (3)甲、乙、丙各得3本.解析:(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本这件事分三步完成: 第一步:从9本不同的书中,任取4本分给甲,有49C 种方法; 第二步:从余下的5本书中,任取3本分给乙,有35C 种方法; 第三步:把剩下的2本书给丙,有22C 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有不同的分法2549223549C C C C C •=••=1 260(种).所以甲得4本,乙得3本,丙得2本的分法共有1 260种.(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本这件事,分两步完成: 第一步:按4本、3本、2本分成三组,有223549C C C 种方法. 第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有33C 种方法. 根据分步乘法计数原理,共有不同的分法33223549CA C C C =7560(种).所以一人得4本,一人得3本,一人得2本的分法共有7 560种.(3)用与(1)相同的方法求解,得333639C C C ••=1 680(种).所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1 680种. 各个击破类题演练 1 计算:n n nnC C 321383+-+的值。

第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的概念思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1 可以得到多少个不同的商？思考2 如何用分步计数原理求商的个数？思考3 你能得出C24的计算公式吗？梳理组合数及组合数公式类型一组合概念的理解例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？反思与感悟判断一个问题是否是组合问题的流程跟踪训练1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题． 类型二 组合的列举问题 引申探究若将本例中的a ，b ，c ，d ，e 看作铁路线上的5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？例 2 从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，列出所有的组合为________________________________________________________________________． 反思与感悟 借助“字典排序法”列出一个具体问题的组合，直观、简洁，而且避免了重复或遗漏，但需注意：若用“树状图法”，当前面的元素写完后，后面不能再出现该元素，这是与排列问题的一个不同之处．跟踪训练2 写出从A ，B ，C ，D ，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．类型三 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例3 (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1.反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n .②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练3 (1)计算C 98100＋C 199200＝________. (2)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015的值为________．命题角度2 含组合数的方程或不等式 例4 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式：C 4n >C 6n .反思与感悟 (1)解答此类题目易出现忽略根的检验而产生增根的错误，并且常因忽略n ∈N *而导致错误．(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m 、n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练4 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是________．2．集合M ＝{x |x ＝C n4，n ≥0且n ∈N }，集合Q ＝{1,2,3,4}，则M ∩Q ＝________. 3．满足方程C x 2－x 16＝C 5x －516的x 值为________． 4．不等式C n －310<C n －210的解集为________．5．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．答案精析问题导学知识点一思考①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数是无序的．梳理并成一组知识点二思考1 A24＝4×3＝12.思考2 第1步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A22种排法．由分步计数原理，可得商的个数为C24A22＝12.思考3 因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22＝6.梳理所有组合的个数C m n n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！C n－mn Cmn Cm－1n 1题型探究例1 解(1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．跟踪训练1 (1)(3) (2)(4)解析(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．例2 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de解析要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来．如图所示．引申探究解因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，故是排列问题，有A25＝20(种)．但票价与顺序无关，“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价，故是组合问题，因为“a 站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，但票价一样，所以票价的种数是车票种数的一半，故共有12×20＝10(种)不同的票价．跟踪训练2 解 所有组合为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE . 例3 (1)解 原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. (2)证明 因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1 ＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！ ＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立． 跟踪训练3 (1)5 150 (2)C 42 016－1 解析 (1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150. (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 015－1＝… ＝C 42 015＋C 32 015－1＝C 42 016－1. 例4 解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}． 跟踪训练4 解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x －3)(x －6)＝5×4×2＝8×5. 所以x ＝11或x ＝－2(舍去负根)． 经检验符合题意，所以方程的解为x ＝11. 当堂训练1．2 2.{1,4} 3.1或3 4.{3,4,5,6,7} 5．140。