利用数值分析法求解土的最大干密度和最优含水量

值 多 项 式 成 为 牛 顿 插 值 多 项 式 ，插 值 余 项 为
Ｒｎ（ｘ）＝ Ｆ（ｘ）－Ｐｎ（ｘ）＝
ｎ
∏ ｆ［ｘ０，ｘ１，…，ｘｎ］ （ｘ－ｘｉ） ｉ＝０
（２）
根据上述原理，可 由 击 实 试 验 中 测 定 的ｎ＋１ 组
含水 量 和 干 密 度 值，利 用 Ｎｅｗｔｏｎ 插 值 法，求 出 一 个
按 回 车 键 可 得 ｘ＝２０．９８，再 输 入 ： ＞＞ｐ＝－３１．６８０ ３＋４．５２２ ５０＊ｘ－．２１１ ４７７＊ｘ＾２＋ ．３８２ ９８１ｅ－２＊ｘ＾３－ ．１９１ １６３ｅ－４＊ｘ＾４ 按回车键得到 Ｐ＝１．７８１ ０。 即该土样的最优含水 量 为 ２０．９８％，对 应 的 最 大 干 密 度 为 １．７８１ｇ／ｃｍ３。
＞＞ ｘ＝［１８．９５ ２０．７５ ２２．１ ２４．６５ ２７．２５］； ＞＞ ｙ＝［１．６７６ １．７８０ １．７５８ １．６０６ １．４７８］； ＞＞ Ｐ＝Ｎｅｗｔｏｎ（ｘ，ｙ） 按回车键后得到牛顿插值函数为 Ｐ＝ －３１．６８０ ３＋４．５２２ ５０＊ｔ－ ．２１１ ４７７＊ｔ＾２＋ ．３８２ ９８１ｅ－２＊ｔ＾３－ ．１９１ １６３ｅ－４＊ｔ＾４ 在编辑窗口输入： ＞ ＞ｔ＝１８．９５：０．０１：２７．２５； ＞＞ ｚ＝－３１．６８０ ３＋４．５２２ ５０＊ｔ－．２１１４ ７７＊ ｔ．＾２＋ ．３８２ ９８１ｅ－２＊ｔ．＾３－ ．１９１ １６３ｅ－４＊ｔ．＾４； ＞＞ ｘ＝［１８．９５ ２０．７５ ２２．１ ２４．６５ ２７．２５］； ＞＞ ｙ＝［１．６７６ １．７８０ １．７５８ １．６０６ １．４７８］； ＞ ＞ｐｌｏｔ（ｔ，ｚ，ｘ，ｙ，＇ｒｏ＇）；ｇｒｉｄ 命令执行后得到图１所示的图形。
（３）牵 引 。 楔 形 挡 块 焊 好 后 ，同 时 启 动 牵 引 千 斤 顶进行拖拉，为保证 两 侧 张 拉 均 匀 钢 梁 滑 移 平 稳，要 求千斤顶同时张拉 和 回 油，每 次 行 程 相 等，张 拉 时 派 专 人 对 钢 梁 滑 移 进 行 监 控 。 如 发 现 异 常 ，可 通 过 左 右 千斤顶 拉 力 调 整 的 方 法，保 证 梁 段 滑 移 过 程 中 的 方向。
ｎ 次的插值多项式，将此ｎ 次多项式近似作为击 实 曲
线 的 函 数 表 达 式 ，然 后 利 用 函 数 求 极 值 的 方 法 即 可 确
定土样的最大干密度及其对应的最优含水量。
２ Ｎｅｗｔｏｎ插值多项式及 Ｍａｔｌａｂ实现
Ｎｅｗｔｏｎ插值多项式的 建 立 过 程 较 为 繁 琐，因 此 在实际工程和实验过程中利用 Ｍａｔｌａｂ来实现多项式 的建立，可 提 高 效 率。 Ｍａｔｌａｂ 在 科 学 计 算 中 有 着 独 特的 优 势，利 用 Ｍａｔｌａｂ 可 以 进 行 程 序 设 计、数 值 计 算、图形绘制、输入输出和文件管理等各项操 作［６］，已 知试验数据见表１所列。
试验结果准确与否直接关系到施工压实的程度 及稳定土体的强度，不 准 确 的 结 果 会 导 致 判 断 错 误， 造 成 质 量 事 故 。 因 此 ，试 验 过 程 中 要 严 格 控 制 各 项 操 作 的 准 确 性 ，同 时 对 数 据 的 处 理 也 显 得 尤 为 重 要 。 图 解法虽然操作简单，工 程 人 员 容 易 掌 握，但 随 机 性 较 大 ，往 往 会 因 技 术 人 员 处 理 数 据 习 惯 的 不 同 产 生 人 为 因素的误 差，即 使 通 过 加 密 试 验 的 方 法 来 进 一 步 近 似 ，也 很 难 避 免 此 类 现 象 的 出 现 。 因 而 寻 求 一 种 既 省 时 、省 力 、省 料 ，又 能 尽 快 地 准 确 地 确 定 土 的 最 佳 击 实 指 标 的 方 法 ，不 论 是 在 实 验 室 工 作 中 还 是 在 实 际 工 程 中 都 是 非 常 必 要 的 ，也 是 非 常 实 用 的 。
采用 Ｎｅｗｔｏｎ迭代法计算过程较为繁琐，因此在 实际 工 程 应 用 和 实 验 中，可 以 利 用 Ｍａｔｌａｂ 编 写 Ｎｅｗｔｏｎ迭代公式的函数 Ｎｅｗｔｏｎｒｏｏｔ（）的代码，然后 在 Ｍａｔｌａｂ命令窗口输入：
＞＞ｘ＝Ｎｅｗｔｏｎｒｏｏｔ（′４．５２２ ５０－．４２２ ９５４＊ｘ＋ ．１１４ ８９４ ３ｅ－１＊ｘ＾２－．７６４ ６５２ｅ－４＊ｘ＾３′，２０，２２）
收 稿 日 期 ：２０１０－０７－０６ 作 者 简 介 ：陈 进 安 （１９６４－ ），男 ，安 徽 安 庆 人 ，安 庆 市 规 划 设 计 院 工 程 师 ．
《工程与建设》 ２０１０年第２４卷第５期 ６ ６７
地基与基础
Ｄ Ｉ Ｊ Ｉ Ｙ Ｕ Ｊ Ｉ Ｃ Ｈ Ｕ
陈 进 安 ，等 ：利 用 数 值 分 析 法 求 解 土 的 最 大 干 密 度 和 最 优 含 水 量
摘 要：在土方工程中，土的最大干密度和最优含水量是确保路基压实质量的两个关键指标 。文章 针 对 目 前 利 用 室 内 标 准 击 实 试 验确定最大干密度和最优含水量存在的随意性问题 ，提出利用数值分析方法中的牛顿插值和迭代 方 法 来 拟 合 土 样 的 击 实 曲 线 ，构 建关于干密度与含水量之间的函数关系式，对其求导可以得到最大干密度和最优含水 量 。 并 利 用 Ｍａｔｌａｂ编 制 牛 顿 插 值 和 迭 代 的 函数代码，从而简化了求解过程，提高效率和精度。该方法为求解 最 大 干 密 度 和 最 优 含 水 量 提 供 了 理 论 依 据 ，为 处 理 击 实 试 验 数 据提供了一种可行的新方法。 关 键 词 ：最 大 干 密 度 ；最 优 含 水 量 ；牛 顿 插 值 多 项 式 ；迭 代 中 图 分 类 号 ：ＴＵ４１１ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７３－５７８１（２０１０）０５－０６６７－０３
１ 建立干密度与含水量的插值函数
数值分析方法中插值方法的基本原理为用一个
简单的插值 多 项 式 Ｐ（ｘ）去 近 似 表 达 一 个 非 常 复 杂
的或只能用一张数 据 表 来 表 示 的 函 数 Ｆ（ｘ），通 过 插
值多项式 Ｐ（ｘ）将研究 复 杂 函 数 Ｆ（ｘ）的 问 题 转 化 为
研究简单函数 Ｐ（ｘ）的 问 题，最 终 求 出 满 足 精 度 要 求
４ 实例验证
图 １ 牛 顿 插 值 多 项 式 与 数 据 点 的 关 系
由 图 １ 可 知 ，试 验 的 数 据 点 与 牛 顿 插 值 多 项 式 拟 合 的 非 常 好 ，且 由 曲 线 形 式 也 可 知 该 插 值 多 项 式 必 然 有 大 极 值 点 存 在 。 而 极 大 值 点 ，可 通 过 极 值 点 存 在 的 必要条件即“若函数ｆ（ｘ）在ｘ０ 可导，且在 ｘ０ 处 取 得 极 值 ，则 ｆ′（ｘ０）＝０”来 确 定 。
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６ ６８ 《工程与建设》 ２０１０年第２４卷第５期
王 刘 洋 ，等 ：拖 拉 法 在 斜 拉 桥 钢 箱 梁 施 工 中 的 应 用
建造技术
Ｊ Ｉ Ａ Ｎ Ｚ Ｈ Ａ Ｏ Ｊ Ｉ Ｓ Ｈ Ｕ
４．３ 钢 箱 梁 的 拖 拉 施 工 （１）落梁。钢箱梁吊装至滑道顶面后，通过 ４ 台
地基、路基、土堤 和 土 坝 等 填 方 工 程 经 常 采 用 夯 打 、振 动 或 碾 压 等 方 法 ，使 土 得 到 压 实 ，以 提 高 土 的 强 度，减小压缩性和渗 透 性，从 而 保 证 地 基 和 土 工 建 筑 物的稳定 。 ［１］ 文献［２］规范中对填土压实度的控 制 指 标 是 填 土 的 最 大 干 密 度 和 最 优 含 水 量 。 目 前 ，工 程 单 位对于最优含水量和最大干密度两个指标多是采用 图解法，即通过室内 标 准 击 实 试 验，利 用 标 准 化 的 击 实仪具，在一定的压 实 能 量 下 对 数 个 试 样 进 行 击 实， 得 到 一 系 列 干 密 度 和 含 水 量 的 数 据 ，然 后 绘 制 击 实 曲 线 ，曲 线 的 峰 值 点 即 为 所 测 定 试 样 的 最 优 含 水 量 和 最 大 干 密 度 。 ［３，４］
手 拉 葫 芦 调 整 钢 箱 梁 平 面 位 置 ，使 钢 梁 底 板 滑 块 位 置 线与滑块重合。
（２）限 位 。 钢 梁 落 架 后 ，为 防 止 拖 拉 过 程 中 滑 块 与梁体间发生相对 滑 动，在 钢 梁 底 板 滑 块 边 缘 纵、横 方 向 焊 接 楔 形 挡 块 ，保 证 滑 移 平 稳 。
设ｘｋ 为方程Ｇ（ｘ）＝０ 的 一 个 近 似 根，利 用 （２） 式的 Ｎｅｗｔｏｎ 迭 代 格 式，反 复 迭 代 求 解，直 到 求 出 满 足精度要求的根。
利 用 上 述 原 理 ，可 根 据 经 验 首 先 确 定 最 优 含 水 量 的大致范围，在此范 围 内 选 一 值 为 近 似 值，反 复 迭 代 求解，即可求出 Ｇ（ｘ）＝０ 的 满 足 精 度 要 求 的 根 ｘ＊ ， 即为最优含水量，Ｐ（ｘ＊ ）值即为最大干密度。
３ 求取击实曲线极值点的迭代法
在 Ｍａｔｌａｂ的编辑窗口输入： ＞ ＞ｄｉｆｆ（Ｐ） 按 回 车 键 ，求 得 的 击 实 曲 线 牛 顿 插 值 多 项 式 一 阶
为验证牛顿 插 值、迭 代 法 及 其 相 应 的 Ｍａｔｌａｂ 程
序在求解击实曲线的最大干密度和最优含水量方面
的 优 越 性 ，引 用 文 献 ［７］的 数 据 进 行 对 比 分 析 ，数 据 见 表２所列。
表 ２ 文 献 ［７］的 击 实 试 验 数 据
项目
试样编号 １ ２ ３ ４ ５ ６
含水量／（％） ５．６７ ７．４０ ９．１１ １０．８８ １２．０４ １３．１８
干密度／（ｇ·ｃｍ－３）１．８４ １．８５ １．８９ １．９３ １．９２ １．８７
利 用 本 文 编 制 的 求 解 牛 顿 插 值 多 项 式 的 Ｎｅｗ－ ｔｏｎ（）和牛顿迭代的 Ｎｅｗｔｏｎｒｏｏｔ（）函数代码，将试验