专题六 高考中的概率与统计问题

菜 单
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
[自主解答]
(1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、
丙独立通过检测合格分别为事件 A、B、C，则事件“得 分不低于 8 分”表示为 ABC＋A－ B C. ∵ABC 与 A－ B C 为互斥事件，且 A、B、C 为彼此独 立， ∴ P(ABC ＋ A － B C) ＝ P(ABC) ＋ P(A － B C) ＝
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菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
【例 2】中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母， “辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力 安全性，科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进， 增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须 对其中的三项不同指标甲、 乙、 丙进行通过量化检测． 假 如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概 3 2 1 率分别为 、 、 .指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 4 3 2 分、4 分；若某项指标不合格，则该项指标记 0 分，各 项指标检测结果互不影响． (1)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率； (2)求该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不 少于 2 个的概率．
考 点 核 心 突 破
3 C. 4π
1 D. 2π
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法

解析设6个程序分别是A，B，C，D，E，F.先将A安排在第一或最后一步，有A种方法；将B和C看作一个元素，它们自身之间有A种方法，与其他程序进行全排列，有A种方法，由分步乘法计数原理得实验顺序的编排方法共有AAA＝96种．
答案96
7．(2014·德州模拟)在区间[－2,3]上任取一个数a，则函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值的概率为________．
专题六概率与统计
第1讲 统计与概率拟)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()．
A．224B.112
C．56D.28
解析根据分层抽样，应抽取男生1名，女生2名，抽取2名女生1名男生的方法有CC＝112.
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析因为4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，或者认为有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，因此，只能选A.
④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中真命题的有____________(填序号)．
解析①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样．故①是假命题；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.故②是真命题；
答案B
2．(2014·北京顺义区统练)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为()．

一、选择题1．(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176 解析：设y 对x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ， 因为b ＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22＝12， a ＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝12x ＋88. 答案：C2．(2011·南昌模拟)甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )A.x 甲>x 乙B ．x 甲>x 乙，乙比甲成绩稳定 C ．x 甲<x 乙，甲比乙成绩稳定 D ．x 甲<x 乙，乙比甲成绩稳定解析：依题意得x 甲＝15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，x 乙＝15(80×4＋90×1＋3＋4＋8＋9＋1)＝87，x 甲>x 乙；s 2甲＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2]＝2，s 2乙＝15[(83－87)2＋(84－87)2＋(88－87)2＋(89－87)2＋(91－87)2]＝9.2，s 2甲<s 2乙，因此甲比乙成绩更稳定．答案：A3．(2011·重庆高考)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.5解析：依题意得，样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为410＝0.4.答案：C4．(2011·浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110 B.310 C.35D.910解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P ＝1－P (没有白球)＝1－110＝910.答案：D 二、填空题5．(2011·浙江高考)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析：由题意知，在该次数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是3 000×0.2＝600.答案：6006．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机的取一元素x ，恰使式子lg x 有意义的概率为________．解析：由于Δ＝m 2－4(34m ＋1)<0，得－1<m <4，若使lg x 有意义，必须使x >0.在数轴上表示为，故所求概率为45.答案：457．(2011·江西高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析：5个数据的平均数x －＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.2 三、解答题8．为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，990件产品中合格品有982件，次品有8件，甲不在现场时，510件产品中，合格品有493件，次品有17件．试分别用列联表、独立性检验的方法对数据进行分析．解：(1)2×2列联表如下.由列联表看出|ac －bd |＝|982×17－493×8|＝12 750，相差较大，可在某种程度上认为“甲在不在场与产品质量有关”．(2)由2×2列联表中数据，计算K 2＝1 500×(982×17－493×8)21 475×25×510×990≈13.097＞6.635.所以，约有99%的把握认为“质量监督员甲在不在现场与产品质量有关系”．9.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选了14天，统计上午8：00～10：00间各自的点击量，得如右图所示的统计图，根据统计图回答下列问题： 茎叶图甲 乙 85 6(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？(3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由．解：(1)甲网站的极差为：73－8＝65；乙网站的极差为：71－5＝66.(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为414＝0.286.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．10．(2011·天津高考)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．所以P(B)＝515＝13.1 2 4 95 4 02 183 6 714 2 2 58 55 47 6 46 13 2 07 1。

疫苗有效 疫苗无效
A组 673 77
B组 x 90
C组 y z
已知在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概
率是 0.33.
(1)求 x 的值； (2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结 果，问应在 C 组抽取多少个？ (3)已知 y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．
)
C．13 人
D．14 人
解析：(1)总体中男生与女生的比例为 4∶3，样本中男生人
4 数为 280×7＝160(人)．
(2) 使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 20 人抽取 1 人．
480 所以从编号 1～480 的人中，恰好抽取 20 ＝24(人)，接着 240 从编号 481～720 共 240 人中抽取 20 ＝12(人)．
4 1 B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝ ＝ . 16 4 【方法与技巧】高考中经常以统计图的形式显示相关的数
据信息，通过统计图来解决相关问题.
【互动探究】 4．(2012 年广东东莞模拟)某高校在 2012 年的自主招生考 试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到 的频率分布表如图 6-5. (1)请先求出频率分布表中①，②位置相应的数据，再在答 题纸上完成下列频率分布直方图； (2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的 第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
解：由 f(x)＝x2＋bx＋c 知，事件 A“f(1)≤5，且 f(0)≤3”，
b＋c≤4， 即 c≤3.
(1)因为随机数 b，c∈{1,2,3,4}，所以共等可能地产生 16 个数对(b，c)，列举如下： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)， (3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 事件 A