[精品]2017年江苏省盐城中学高考数学三模试卷及解析答案word版

2017年江苏省盐城中学高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．（5分）设集合，B={x|x≥1}，则A∩B=．2．（5分）已知复数z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i是虚数单位）是实数，则a=．3．（5分）“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”中的一个）．4．（5分）一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，有1只黑球的概率是．5．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，输出的S值为．6．（5分）有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为．7．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有斛．9．（5分）已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ=，sinαsinβ=，则tan（β﹣α）的值为．10．（5分）各项为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3=5，a5a6a7=10，则a9a10a11=．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．12．（5分）已知半径为2的动圆C2经过圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心，且与直线l：x+y﹣8=0相交，则直线l被圆C2截得的弦长最大值是．13．（5分）已知向量，满足||=3，||=2||，若|+λ|≥3恒成立，则实数λ的取值范围为．14．（5分）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x2+（3a﹣1）x，若函数y=f（x）﹣|e x﹣1|有两个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，=8，设∠BAC=θ，△ABC的面积是S，且满足．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2θ﹣sin2θ的最大值和最小值．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．17．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1和F2，点A、B分别是椭圆的上、下顶点，四边形AF1BF2是正方形．（1）求椭圆C的离心率；（2）点是椭圆C上一点．①求椭圆C的方程；②若动点P在直线y=﹣a2上（不在y轴上），直线PB与椭圆交于另一个点M．证明：直线AM和直线AP的斜率之积为定值．18．（16分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中AB=40，BC=16，O为AB上一点，且BO=8，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置（M，N分别在线段OD、OC上），点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12，记OM=d，我们知道当△OMN面积最小时观赏效果最好．（1）当d为何值时，P为队列MN的中点？（2）怎样安排M的位置才能使观赏效果最好？求出此时d的值．19．（16分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式（x+1）f（x）≥+x+a在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数g（x）=，其定义域是D，若关于x的不等式（x+1）f （x）＜g（x）在D上有解，求整数m的最小值．（参考数据：=1.65，ln2=0.69）20．（16分）已知数列{a n}的各项都为正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣b，n∈N*．（1）求a2和a3（结果用a，r，b表示）；=a n成立，求T的最小值；（2）若存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T﹣x n＞1，则称这个数列为“Y数列”．已（3）定义：对于∀n∈N*，若数列{x n}满足x n+1知首项为b（b为正奇数），公比q为正整数的等比数列{b n}是“Y数列”，数列不是“Y数列”，当r＞0时，{a n}是各项都为有理数的等差数列，求a n b n．【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1：几何证明选讲】21．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．B．【选修4-2：矩阵与变换】22．设是矩阵的一个特征向量．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值．C．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．坐标系与参数方程：在极坐标系中，已知直线2ρcosθ+ρsinθ+a=0（a＞0）被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2，求a的值．D．【选修4-5：不等式选讲】24．设x＞0，y＞0，z＞0，xyz=1，求证：++≥++．七、解答题（共2小题，满分0分）25．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（Ⅱ）求p，q的值；（Ⅲ）求数学期望Eξ．26．有三种卡片分别写有数字1，10，100，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片之和为m（m为正整数）．考虑不同的选法种数，例如m=11时有两种选法：“一张卡片写有1，另一张写有10”或“11张写有1的卡片”．（1）若m=100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n，当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．2017年江苏省盐城中学高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．（5分）设集合，B={x|x≥1}，则A∩B={3} ．【解答】解：集合，B={x|x≥1}，可得A∩B={3}．故答案为：{3}．2．（5分）已知复数z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i是虚数单位）是实数，则a=1．【解答】解：复数z=（a﹣i）（1+i）=a+1+（a﹣1）i是实数，则a﹣1=0，解得a=1．故答案为：1．3．（5分）“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”中的一个）．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数⇔f（x）+f（﹣x）=x3+ax2+（﹣x）3+a（﹣x）2=0，化为ax2=0对于∀x∈R都成立，∴a=0．∴“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．故答案为：充要．4．（5分）一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，有1只黑球的概率是．【解答】解：一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n=，有1只黑球包含的基本事件个数m==4，∴有1只黑球的概率是p===．故答案为：．5．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，输出的S值为9．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i≤2时退出循环．此时S=3+6=9，故输出的S值为9．故答案为：9．6．（5分）有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为31．【解答】解：根据系统抽样原理，抽样间隔为l==20，设第一组抽取数据为a0，则第5组抽取的产品编号为4×20+a0=91，解得a0=11；所以第2组抽取的产品编号为1×20+a0=31．故答案为：31．7．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值为4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（2，0），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+0=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有12.5斛．【解答】解：设圆柱的底面半径为r尺，则2πr=6，∴r≈4，∴圆锥的体积V==20立方尺，∴堆放的米约有=12.5斛．故答案为12.5．9．（5分）已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ=，sinαsinβ=，则tan（β﹣α）的值为．【解答】解：由cosαcosβ=，sinαsinβ=，得cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=，∴cos（β﹣α）=，∵0＜α＜β＜π，∴0＜β﹣α＜π，则sin（β﹣α）=，则tan（β﹣α）=．故答案为：．10．（5分）各项为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3=5，a5a6a7=10，则a9a10a11=20．【解答】解：各项为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3=5，a5a6a7=10，设a9a10a11=x，则由等比数列的性质可得5，10，x成等比数列，∴5x=100，∴x=20，故答案为：20．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．【解答】解：由，根据正弦定理得：a=c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=4c2﹣3c2=c2，解得c=2，所以a=2，则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×=．故答案为：12．（5分）已知半径为2的动圆C2经过圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心，且与直线l：x+y﹣8=0相交，则直线l被圆C2截得的弦长最大值是2．【解答】解：设动圆C2的圆心为（a，b）∵半径为2的动圆C2经过圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=8的圆心，∴圆心的轨迹方程为：（a﹣1）2+（b﹣1）2=8又直线l被圆C2截得的弦长L=2，（d为圆C2的圆心（a，b）到直线l：x+y ﹣8=0的距离）．∵点（a，b）的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为2的圆．∴d的最小值为圆心（1，1）到直线l：x+y﹣8=0的距离减去半径2，即d min==则直线l被圆C2截得的弦长最大值为2=2故答案为：213．（5分）已知向量，满足||=3，||=2||，若|+λ|≥3恒成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．【解答】解：∵||=2||，|||﹣|||≤||≤||+||，||=3，∴|||﹣3|≤||≤|+3，解得：2≤||≤6．∵||=2||，∴=4（9﹣2+），∴=+．若|+λ|≥3恒成立，即+2λ+9λ2≥9恒成立，令=t，f（t）=t+2λ（t+）+9λ2﹣9=（1+）t+9λ2+9λ﹣9，则f（t）≥0在[4，36]上恒成立．∴，即，解得λ≤﹣3或λ≥．综上所述λ的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）．14．（5分）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x2+（3a﹣1）x，若函数y=f（x）﹣|e x﹣1|有两个零点，则实数a的取值范围是．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+（3a﹣1）x，则f（x）=．函数y=f（x）﹣|e x﹣1|有两个零点，即y=f（x）与y=|e x﹣1|的图象有两个交点．函数f（x）=x2+（3a﹣1）x的两个零点为0，1﹣3a；函数f（x）=﹣x2+（3a﹣1）x的两个零点为0，3a﹣1．当1﹣3a≥0，即a≤时，作出函数图象如图：f（x）=﹣x2+（3a﹣1）x与y=|e x﹣1|的图象无交点，y=1﹣e x在x=0处的导数值为﹣e0=﹣1，函数f（x）=x2+（3a﹣1）x的导函数为f′（x）=2x+（3a﹣1）．要使f（x）=x2+（3a﹣1）x的图象与y=|e x﹣1|的图象有两个交点，则f′（0）=3a ﹣1＜﹣1，得a＞0，∴0＜a；当1﹣3a＜0，即a＞时，作出函数图象如图：f（x）=x2+（3a﹣1）x的图象与y=|e x﹣1|的图象有2个交点，y=e x﹣1在x=0处的导数值为e0=1，函数f（x）=﹣x2+（3a﹣1）x的导函数f′（x）=﹣2x+（3a﹣1）．要使f（x）=﹣x2+（3a﹣1）x与y=|e x﹣1|的图象无交点，则f′（0）=3a﹣1≤1，得a．∴．综上，若函数y=f（x）﹣|e x﹣1|有两个零点，则实数a的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，=8，设∠BAC=θ，△ABC的面积是S，且满足．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2θ﹣sin2θ的最大值和最小值．【解答】解：（1）△ABC中，，∴bccosθ=8，∴；又△ABC的面积为，∴；又θ∈（0，π），∴；…．（7分）（2）===，…（10分）由（1）知，θ∈[，]，∴2θ+∈[，]，∴sin（2θ+）∈[，1]；当时，f（θ）min=1﹣2×1=﹣1；当时，f（θ）max=1﹣2×=0．…（14分）（未指出θ值各扣1分）16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．【解答】证明：（1）记A1B∩AB1=O，连接OD．∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．…2分又∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．…6分注意：条件“A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．…8分∵平面ABC⊥平面BB 1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．…10分∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．…12分又∵BM⊥B1D，AD∩B1D=D，AD，B1D⊂平面AB1D，∴BM⊥平面AB1D．又∵BM⊂平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．…14分．17．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1和F2，点A、B分别是椭圆的上、下顶点，四边形AF1BF2是正方形．（1）求椭圆C的离心率；（2）点是椭圆C上一点．①求椭圆C的方程；②若动点P在直线y=﹣a2上（不在y轴上），直线PB与椭圆交于另一个点M．证明：直线AM和直线AP的斜率之积为定值．【解答】解：（1）四边形AF 1BF2是正方形是正方形，∴，∴…（4分）（2）①由（1）设椭圆，代入，得，∴a2=8，∴椭圆．…（8分）②设点P（x0，﹣8），其中x0≠0设M（x1，y1）A（0，2），B（0，﹣2），∵M，B，P三点共线∴（*）又，∴，由（*）可知∴（**），∵M（x1，y1）在椭圆上∴，代入（**）得为定值．…（14分）18．（16分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演，其中AB=40，BC=16，O为AB上一点，且BO=8，线段OC、OD、MN为表演队列所在位置（M，N分别在线段OD、OC上），点P为领队位置，且P到BC、CD的距离均为12，记OM=d，我们知道当△OMN面积最小时观赏效果最好．（1）当d为何值时，P为队列MN的中点？（2）怎样安排M的位置才能使观赏效果最好？求出此时d的值．【解答】解：（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则C（8，16），B（8，0），P（﹣4，4）．∴OC：y=2x；∵OC⊥OD，可得，设M（﹣2m，m），N（n，2n），（m＞0，n＞0），∵P为MN的中点，∴∴，此时，；…．（7分）（建系2分）（2）∵k PM=k PN，∴，∴4m+12n=5mn，∵OC⊥OD，∴∵当且仅当时取等号，∴．∴，此时．答：（1）当时，P为队列MN的中点；（2）当点M满足时，观赏效果最好．…．（16分）（答1分）19．（16分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式（x+1）f（x）≥+x+a在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数g（x）=，其定义域是D，若关于x的不等式（x+1）f （x）＜g（x）在D上有解，求整数m的最小值．（参考数据：=1.65，ln2=0.69）【解答】解：（1）∵f（x）=，∴，∴，又，∴y=f（x）在（1，f（1））处切线方程是：，整理得：；（2）由（x+1）f（x）≥+x+a，得，∴．令，则h'（x）=e x﹣x﹣1，令p（x）=h'（x）=e x﹣x﹣1，得p（0）=0，p'（x）=e x﹣1≥0，∴p（x）在[0，+∞）上单调递增，则p（x）≥0．∴h'（x）≥0，得h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=1，∴h min（x）=h（0）=1．∴a≤1；（3）由g（x）=，得x＞0且x≠1．∴D=（0，1）∪（1，+∞），不等式（x+1）f（x）＜g（x）在D上有解，即在D上有解，即在D上有解．先证：在D上恒成立，即证：恒成立，只要证在D上恒成立．设，其中x∈[0，+∞）．∵H（1）=0，，，H'（1）=0，在[0，+∞）上单调递增，令H''（x）=0，得．∴当时，H''（x）＜0，H'（x）单调递减，当时，H''（x）＞0，H'（x）单调递增，∴．当x∈（0，1）时，H'（x）＜0，H（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）单调递增．∴H min（x）=H（1）=0，得H（x）≥0恒成立．∴在D上恒成立；①再证：在D上恒成立．当x∈（1，+∞）时，即证：恒成立，②设，其中x∈[1，+∞），∴F（1）=0，．设t（x）=ex2+（2e﹣8）x+e，其中△=64﹣32e＜0，∴t（x）＞0恒成立，得F'（x）＞0恒成立，则F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）＞F（1）=0，则②成立．当x∈（0，1）时，即证，由上证可知，不等式成立，∴在D上恒成立．③由①③可知，在D上恒成立．∴恒成立，∴当m≤1时，在D上恒成立．令m=2，得，∴，又，∴e x＜g（x）在D上有解．综上，m的最小整数值是2．20．（16分）已知数列{a n}的各项都为正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣b，n∈N*．（1）求a2和a3（结果用a，r，b表示）；（2）若存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，求T的最小值；（3）定义：对于∀n∈N*，若数列{x n}满足x n+1﹣x n＞1，则称这个数列为“Y数列”．已知首项为b（b为正奇数），公比q为正整数的等比数列{b n}是“Y数列”，数列不是“Y数列”，当r＞0时，{a n}是各项都为有理数的等差数列，求a n b n．【解答】解：（1）n=1时，ra=aa2﹣b，∴．n=2时，，∴a3=a+r∴a1=a，，a3=a+r…．（4分）（各2分）（2）∵rS n=a n a n+1﹣b①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣b②②﹣①得ra n+1=rS n+1﹣rS n=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n+1＞0，∴a n+2﹣a n=r都是公差为r的等差数列．写出数列的前几项：a，，a+r，a+2r，…．∴r＞0时，a2k，a2k都是单调递增的，不合题意，同理r＜0时也不成立﹣1∴r=0则数列为a，，a，…∴当即b=a2时，T min=1，当b≠a2时，T min=2．综上，T min=1或T min=2…．（8分）（各2分）（3）∵{b n}是首项为b（b为正奇数）公比q为正整数的等比数列，∴b n＞0．∵{b n}是“Y数列”，∴b n﹣b n=b n（q﹣1）＞1＞0，∴q﹣1＞0即q＞1，+1﹣b n=q（b n﹣b n﹣1）＞b n﹣b n﹣1，∴b n+1﹣b n}中，b2﹣b1为最小项，同理中为最小项．∴在{b n+1由{b n}是“Y数列”，所以b2﹣b1＞1，即b（q﹣1）＞1．数列不是“Y数列”所以，即b（q﹣1）≤2．∴b（q﹣1）=2．∵b为正奇数，∴b=1，q=3，∴…（12分）．由（2）有数列{a n}的前三项是：a，，a+，r，∵{a n}是各项都为有理数的等差数列∴整理得2a2﹣ar﹣2=0，∴（舍去）∵是有理数，∴r2+16是一个完全平方数设，∴k2﹣r2=16．由r＞0得（无整数解，舍去）或解得．此时，a=2，∴．所以，…..（16分）【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1：几何证明选讲】21．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．【解答】证明：∵AE=AC，AB为直径，∴．由于同一个圆中，等弧所对的圆周角相等∴∠OAC=∠OAE．∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．又∵EACD四点共圆，∴∠EAC=∠PDE，∴∠PDE=∠POC．B．【选修4-2：矩阵与变换】22．设是矩阵的一个特征向量．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值．【解答】解：（1）设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则，故，解得，故实数a=1．…（5分）（2），解得矩阵M的特征值λ1=4，λ2=﹣1．…（10分）C．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．坐标系与参数方程：在极坐标系中，已知直线2ρcosθ+ρsinθ+a=0（a＞0）被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2，求a的值．【解答】解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x+y+a=0，…（3分）圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=4y，即x2+（y﹣2）2=4，…（6分）因为截得的弦长为2，所以圆心（0，2）到直线的距离为，即，因为a＞0，解得．所以．D．【选修4-5：不等式选讲】24．设x＞0，y＞0，z＞0，xyz=1，求证：++≥++．【解答】证明：∵xyz=1，∴++=++，由柯西不等式得：（++）（xy+yz+xz）≥（++）2=（）2，∵xy+yz+xz==，∴++≥，即++≥．七、解答题（共2小题，满分0分）25．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；（Ⅱ）求p，q的值；（Ⅲ）求数学期望Eξ．【解答】解：事件A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3，由题意知，P（A2）=p，P（A3）=q（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，（II）由题意知整理得，p+q=1由p＞q，可得，．（III）由题意知==d=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2P（ξ=2）+3P（ξ=3）=故所求数学期望为．26．有三种卡片分别写有数字1，10，100，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片之和为m（m为正整数）．考虑不同的选法种数，例如m=11时有两种选法：“一张卡片写有1，另一张写有10”或“11张写有1的卡片”． （1）若m=100，直接写出选法种数；（2）设n 为正整数，记所选卡片的数字和为100n 的选法种数为a n ，当n ≥2时，求数列{a n }的通项公式．【解答】解：（1）m=100时选法种数为12． （2）由（1）知a 1=12，当n ≥2时，若至少选一张100的卡片，则除去一张100的卡片，其余数字之和为100（n ﹣1），有a n ﹣1种选法，若不选含有100的卡片，则有（10n +1）种选法． ∴a n =a n ﹣1+10n +1，即a n ﹣a n ﹣1=10n +1，∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=10n +1+10（n ﹣1）+1+…+10×2+1+12=．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。