河北省保定市2015届高三上学期11月摸底数学试卷(文科)

河北省保定市2015届高三上学期11月摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设A={x|y=}，B={x|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．∅2．（5分）函数y=2sin（2x﹣）+1的最大值为（）A．﹣1 B．1C．2D．33．（5分）已知p：0≤x≤1，q：＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件4．（5分）若正实数x，y满足x+y=2，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（）A．150°B．120°C．60°或120°D．30°或150°6．（5分）已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A．B．C．D．7．（5分）若M（x，y）为由不等式组确定的平面区域D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．3B．4C．3D．48．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C． f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）9．（5分）在△ABC中，若•=•=•，且||=||=||=2，则△ABC的周长为（）A．B．2C．3D．610．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＞0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|．其中正确命题的个数是（）A．5B．4C．2D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若（a﹣2i）i=b+i（a，b∈R），则=．14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为．15．（5分）等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠±1，若a m=a1•a2•a3•a4•a5•a6，则m的值为．16．（5分）已知奇函数f（x）在x＞0时，f（x）=x3﹣lnx，则f（x）在区间[﹣2，﹣]上的值域为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知公差为2的等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且S3+S5=58．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等比数列，且b1b10=a2，记T n=log3b1+log3b2+log3b3+…+log3b10，求T10的值．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求∠B；（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．19．（12分）设函数f（x）=e x（ax2+x+1），且a＞0，求函数f（x）的单调区间及其极大值．20．（12分）已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+log2a n，S n为数列{b n}的前n项和，求使S n﹣2n+1﹣8≤0成立的n的取值集合．21．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C=2A，cosA=．（1）求c：a的值；（2）求证：a，b，c成等差数列．22．（12分）已知三次函数f（x）=ax3+bx2﹣6x+1（x∈R），a，b为实数．（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大值和极小值；（2）设函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，若b∈[1，3]，求的取值范围．河北省保定市2015届高三上学期11月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设A={x|y=}，B={x|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A={x|x≤1}，由B中y=ln（x+1），得到1+x＞0，即x＞﹣1，∴B={x|x＞﹣1}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）函数y=2sin（2x﹣）+1的最大值为（）A．﹣1 B．1C．2D．3考点：三角函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用正弦函数的值域，求解函数的最大值即可．解答：解：函数y=sinx∈[﹣1，1]，∴函数y=2sin（2x﹣）∈[﹣2，2]．∴函数y=2sin（2x﹣）+1∈[﹣1，3]．函数y=2sin（2x﹣）+1的最大值为3．故选：D．点评：本题考查三角函数的最值的求法，基本知识的考查．3．（5分）已知p：0≤x≤1，q：＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：当x=0时，不等式＜1不成立，即充分性不成立，当x=﹣1时，满足＜1但0≤x≤1不成立，即必要性不成立，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）若正实数x，y满足x+y=2，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足x+y=2，∴=1，当且仅当x=y=1时取等号．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（）A．150°B．120°C．60°或120°D．30°或150°考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：根据S△ABC=||•||•sin∠BAC，代入求出sin∠BAC=，从而求出答案．解答：解：∵S△ABC=||•||•sin∠BAC，∴=×2×3×sin∠BAC，∴sin∠BAC=，∴∠BAC为30°，或150°，故选：D．点评：本题考查了三角形的面积根式，是一道基础题．6．（5分）已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可求得tanθ=﹣，利用二倍角的正切即可求得答案．解答：解：∵2sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=﹣，∴tan2θ===，故选：B．点评：本题考查二倍角的正切，求得tanθ=﹣是基础，属于基础题．7．（5分）若M（x，y）为由不等式组确定的平面区域D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．3B．4C．3D．4考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合．分析：由目标函数作出可行域，求得B点坐标，化z=•=，再化为直线方程的斜截式得答案．解答：解：如图所示：z=•=，即y=，首先做出直线l0：y=，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．∵B（，2），故z的最大值为4．故选：B．点评：本题考查了线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C． f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：由已知可知函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，结合已知函数f（x）是定义在R上的偶函数即可判断解答：解：∵对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（﹣2）=f（2）∴f（1）＜f（2）＜f（3）即f（1）＜f（﹣2）＜f（3）故选B点评：本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的综合应用，解题的关键是灵活利用函数的性质9．（5分）在△ABC中，若•=•=•，且||=||=||=2，则△ABC的周长为（）A．B．2C．3D．6考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：在△ABC中，由•=•=•，且||=||=||=2三角形是等边三角形，只要求出△ABC的一边长度即可．解答：解：因为在△ABC中，•=•=•，且||=||=||=2，所以△ABC是等边三角形；由在△ABC中，若•=•=•，且||=||=||=2，所以∠AOB=120°，由余弦定理得AB2=OA2+OB2﹣2OA×OBcos120°=4+4+4=12，所以AB=2，所以三角形的周长为6；故选D．点评：本题考查了向量的数量积定义的运用，关键是由已知向量关系判断三角形的形状以及利用余弦定理求三角形的边长．10．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的定义域排除A和B，利用函数的单调性排除C．解答：解：函数的定义域为＞0，解得x＜1，由此排除A和B；当x增大时，也增大，随着增大，即函数是增函数，由此排除C．故选：D．点评：本题考查函数的图象的应用，是基础题，解题时要注意排除法的合理运用．11．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．解答：解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选B点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．12．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＞0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11；⑤|a6|＞|a7|．其中正确命题的个数是（）A．5B．4C．2D．1考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a6=S6﹣S5＞0，a7=S7﹣S6＜0，a6+a7=S7﹣S5＞0，由此能求出结果．解答：解：∵S6＞S7＞S5，∴a6=S6﹣S5＞0，a7=S7﹣S6＜0，a6+a7=S7﹣S5＞0，①∵d=a7﹣a6＜0，故①错误；②∵S11==11a6＞0，故②正确；③∵S12=6（a1+a12）=6（a6+a7）＞0，故③错误；④∵a6=S6﹣S5＞0，a7=S7﹣S6＜0，∴数列{S n}中的最大项为S6，故④错误；⑤∵a6+a7=S7﹣S5＞0，∴|a6|＞|a7|，故⑤正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的性质的合理运用，是基础题，解题时要认真审题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若（a﹣2i）i=b+i（a，b∈R），则=2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的运算和复数相等可得a和b的方程组，解方程组可得答案．解答：解：∵（a﹣2i）i=b+i，∴2+ai=b+i，∴，∴=2故答案为：2点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数相等，属基础题．14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：根据三角形的面积公式，求出c的值，再由余弦定理求出a的值即可．解答：解：由S△ABC=bcsinA，得：•1•c•sin=，解得：c=2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×1×2×=3，∴a=，故答案为：．点评：本题考查了解三角形问题，考查了三角形面积根式，余弦定理，是一道基础题．15．（5分）等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠±1，若a m=a1•a2•a3•a4•a5•a6，则m的值为16．考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得q m﹣1=q•q2•q3•q4•q5，由此能求出m=16．解答：解：∵等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠±1，a m=a1•a2•a3•a4•a5•a6，∴q m﹣1=q•q2•q3•q4•q5=q15，∴m﹣1=15，解得m=16．故答案为：16．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．16．（5分）已知奇函数f（x）在x＞0时，f（x）=x3﹣lnx，则f（x）在区间[﹣2，﹣]上的值域为．考点：函数奇偶性的性质；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质可得函数f（x）的解析式，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．解答：解：设x＜0，则﹣x＞0．∵x＞0时，f（x）=x3﹣lnx，∴f（﹣x）=﹣x3﹣ln（﹣x），函数f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x3+ln（﹣x），f′（x）==，令f′（x）=0，解得x=﹣1．当x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x∈（﹣1，﹣]时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（﹣1）=．而f（﹣2）=ln2﹣，f（﹣）=﹣ln2．∴f（﹣2）＜．∴f（x）在区间[﹣2，﹣]上的值域为．故答案为：．点评：本题考查了函数奇偶性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知公差为2的等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且S3+S5=58．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等比数列，且b1b10=a2，记T n=log3b1+log3b2+log3b3+…+log3b10，求T10的值．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）直接利用等差数列的前n项和公式通过已知条件求出首项，即可求解通项公式．（2）求出a2，得到b1b10的值，利用对数的性质化简所求表达式，利用等比数列的性质求T10的和即可．解答：解：（1）设公差为d，由S3+S5=58，得3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d=58…（2分）∵d=2，∴a1=4，∴a n=2n+2．n∈N*…（5分）（2）由（1）知a2=6，所以b1b10=3．…（7分）∴T10=log3b1+log3b2+log3b3+…+log3b10=log3（b1•b10）+log3（b2•b9）+…+log3（b5•b6）=5log3（b1•b10）=5log33=5．…（10分）点评：本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的性质的应用，考查计算能力．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求∠B；（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形，求出cosB的值，即可确定出∠B的大小；（2）根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g（x），再由正弦函数的单调递增区间、整体思想，求出函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（1）由（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0及正弦定理得，（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC=0，即2sinAcosB﹣sin（B+C）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，因为sinA≠0，所以cosB=，由B是三角形内角得，B=，（2）由（1）得，B=，则f（x）=﹣2cos（2x+B）=﹣2cos（2x+），所以g（x）=﹣2cos[2（x+）+]，=﹣2cos（2x+）=2sin2x，由得，，故函数g（x）的单调递增区间是：．点评：本题主要考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题．19．（12分）设函数f（x）=e x（ax2+x+1），且a＞0，求函数f（x）的单调区间及其极大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间及其极大值．解答：解：∵f（x）=e x（ax2+x+1），∴f′（x）=ae x（x+）（x+2）（3分）当a=时，f′（x）≥0，f（x）在R上单增，此时无极大值；（5分）当0＜a＜时，f′（x）＞0，则x＞﹣2或x＜﹣，f′（x）＜0，则﹣＜x＜﹣2∴f（x）在（﹣∞，﹣）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣，﹣2）上单调递减．…（8分）此时极大值为f（﹣）=（9分）当a＞时，f′（x）＞0，则x＜﹣2或x＞﹣，f′（x）＜0，则﹣2＜x＜﹣∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣）上单调递减．…（11分）此时极大值为f（﹣2）=e﹣2（4a﹣1）（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．20．（12分）已知等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+log2a n，S n为数列{b n}的前n项和，求使S n﹣2n+1﹣8≤0成立的n的取值集合．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：（1）利用等比数列{a n}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程，求出q，a1，即可求数列{a n}的通项公式；（2）利用分组求和，再解不等式，即可得出结论．解答：解：（1）∵a3+2是a2和a4的等差中项，∴2（a3+2）=a2+a4∵2a1+a3=3a2，∴q=2（q=1舍去），a1=2∴a n=a1q n﹣1=2n…．（6分）（2）b n=a n+log2a n=2n+n．…（7分）所以S n=（2+4+…+2n）+（1+2+…+n）=+=2n+1﹣2+n+…．（10分）因为S n﹣2n+1﹣8≤0，所以n2+n﹣20≤0解得﹣5≤n≤4，故所求的n的取值集合为{1，2，3，4}…．（12分）点评：本题考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题．21．（12分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C=2A，cosA=．（1）求c：a的值；（2）求证：a，b，c成等差数列．考点：等差关系的确定；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）利用倍角公式与正弦定理即可得出；（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、等差数列的定义即可得出．解答：解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A，∴==2cosA==．∴=．（2）∵cosC=cos2A=2cos2A﹣1=﹣1=，∴=，∵cosA=，∴，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，∴sinA+sinC==2sinB．即2b=a+c，∴a，b，c成等差数列．点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦定理、等差数列的定义、同角三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）已知三次函数f（x）=ax3+bx2﹣6x+1（x∈R），a，b为实数．（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大值和极小值；（2）设函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，若b∈[1，3]，求的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数判断函数的单调性，进而求得函数的极值；（2）函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，所以△=b2﹣4a=0⇒a=，所以==+1=+1=++1，令h（b）=++1，利用导数判断其单调性，求得函数的最值，即可得出结论．解答：解：（1）∵f（x）=ax3+bx2﹣6x+1，∴f′（x）=3x2+3x﹣6=3（x﹣10）（x+2）…（2分）令f′（x）=0，∴x=﹣2或x=1，x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）递增极大值递减极小值递增∴f（x）极大值=f（﹣2）=11，f（x）极小值=f（1）=﹣…（5分）（2）g（x）=f′（x）+7=ax2+bx+1，∴g′（x）=2ax+b，因为函数g（x）=f′（x）+7有唯一零点，所以△=b2﹣4a=0⇒a=，…（8分）所以==+1=+1=++1，令h（b）=++1，则h′（b）=﹣，令h′（b）=0，又b∈[1，3]，则b=2，当b∈（1，2）时，h′（b）＜0，当b∈（2，3）时，h′（b）＞0，∴h（b）min=h（2）==2．∴=2…（11分）又h（1）=，h（3）=，所以的取值范围是[2，]…（12分）点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．。