微分方程

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例 例 求解微分方程 解 分离变量 dy dy 2 xy , 2 xdx , dx y
dy 两端积分 2 xdx , y
ln y x 2 C ,
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例
例： 1 y 2 3 x 2 y dy 求通解 dx 解： y dy dx 分离变量 2 1 y2 3 x y dy dx 1 1 2 C 两端积分 2 2 1 y 2 2 3x 3x 1 y 得通解 注意
特别的，若n 0，即对任意的t R使得f ( tx,ty ) f ( x, y )， 则称f ( x, y )为变量x, y的0次齐次函数。
xy - y 2 例如，对于函数f ( x, y ) 2 ,因为f ( tx,ty ) f ( x, y )， x 2 xy xy - y 2 所以f ( x, y ) 2 为0次齐次函数。 x 2 xy

2
, C2

2
,
于是 C1 1.
§9.2最简单的微分方程 一阶微分方程的一般形式为 F(x,y,y)=0
若可解出y,则可写成显式方程 可分离变量方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程
y=f(x,y)
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可分离变量方程
( g ( y )和 f ( x ) 连续）
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx
2
练习
2 : 在下列各题中，确定函 数关系式中所含的参数 ， 使函数满足所给的初始 条件：
(1) y (C1 C2 x)e 2 x , y x0 0, y x0 1;
( 2) y C1 sin( x C 2 ), y
解
x
1, y

初始条件
解定解问题
dx k k + x= d t 5400 2500
x t = 0 = 0.12×54
得 k=?
0.06 ×5400 = 0.06×54 t = 30 时 x = 100 k =180ln 4 ≈ 250
m3 新鲜空气 . 因此每分钟应至少输入 250
MATLAB中微分方程的数值解 MATLAB中微分方程的数值解 s=dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…,’初始条件1’，’ 初始条件2’ …,’自变量’)(P257附录B4) 用字符串方程表示，自变量缺省值为t。 导数用D表示，2阶导数用D2表示。 S返回解析解。 dx k k 例： + x=
−∫ P( x) dx
三、微分方程应用问题
例5. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? ( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 5400 , 提示: 提示 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 的改变量为 则在 [ t , t + ∆t ]内车间内 0.04 x ∆t − k ⋅ ∆t ∆x = k ⋅ 两端除以 ∆t , 100 5400 并令 ∆t → 0 得微分方程
一阶线性方程
dy + P( x) y = Q( x) dx
∫ 令µ = e
令µ = y e
P ( x ) dx
全微分方程
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 ∂M ∂N = ∂y ∂x
x = X + h 令 y = Y + k ∆=0 ∆≠0
∆= a b
− n ( n −1) P ( x ) dx

以下是一些常见的微分方程公式和概念：
1.一阶线性微分方程：y' + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。

2.一阶齐次线性微分方程：y' = f(y/x)，其中f是已知函数。

3.二阶线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x)，q(x)和f(x)是已知
函数。

4.二阶齐次线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)是已知函数。

5.可分离变量的微分方程：如果方程可以整理成g(y)dy = f(x)dx的形式，则称
为可分离变量的微分方程。

此时对两边同时积分，就可以得到通解。

6.齐次方程：如果一阶微分方程的右边为0，即y' = f(y/x)，则称为齐次方程。

可以通过令u = y/x进行变量替换，将其化为可分离变量的微分方程。

7.伯努利方程：形如y' + P(x)y = Q(x)y^n的微分方程称为伯努利方程。

可以通
过令z = y^(1-n)进行变量替换，将其化为一阶线性微分方程。

8.全微分方程：如果一阶微分方程的左边恰好是某个函数的全微分，即dy/dx =
f(x,y)，则称为全微分方程。

此时可以通过积分得到通解。

以上是一些常见的微分方程公式和概念，掌握这些公式和概念对于解决微分方程问题非常重要。

当然，还有许多其他的微分方程类型和公式，需要在实际学习和应用中不断积累和掌握。

（2）绘制过散点的折线； （3）以散点建立数学模型。
例2 设某次实验的测量数据如表
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
1
2.3 2.1 2
4.6 4.7 4.3 8.1
9.2
9.8
10.3
请给出实验数据的曲线拟合
0.267x3 1.55x2 2.583x 1 0 x3 3 y 0.3333x 5.25x2 27.0167x 40.8 3 x6 4 3 2 - 0.075x 2 . 6167x 34 . 175x 198.6333x- 425.2 6 x 10
F ( x , ( x ), ( x ), ( n ) ( x )) 0
那么，函数 ( x ) 就叫做微分方程在区间 I 上的解 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解,
引例1
dy dx
2x
x 1
d2y
y2引例2来自dx2 0.4
四、MATLAB介绍 1、 求解方程 2、曲线拟合
例1 设某次实验的测量数据如表 x 1 2 3 4 4 6 7 8 9 y 0 0.33 0.50 0.62 0.75 0.8 0.82 0.93 1.00 问题
（1）绘制测量数据的散点 图，并观察散点的走向， 预测一下应用什么样的数 学模型描述之；
y2 sin x 且 tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
故方程的通解为
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列 规则写出微分方程的通解