2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题

⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。

运用裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).一、题型选讲例1、已知数列{}1n a +是等比数列，11a =且2a ，32a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n nn n n a a b a a ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n S .例2、在①26,7753=+=a a a ；②63,371==S a ；③n n S n 22+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知S n 为等差数列}{n a 的前n 项和，若． (1)求a n ； (2)令*)(112N n a b n n ∈-=，求数列}{n b 的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例3、已知数列{}n a 的前n 项和n S2(2,)n n =≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项公式n a ； （2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T ．例4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，242n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11nn n S S b S S -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .例5、已知数列{}n a 的前n 项和n S2(2,)n n =+≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，及通项公式n a ； （2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .例6、已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .例7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==．(1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．例8、在数列中，有.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式； （2）记，求数列的前n 项和.二、达标训练1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n >0，4S n =a n 2+2a n .（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =S 1−S n S n ⋅S 1，求数列{b n }的前n 项和T n .2、设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+，(0,32)BC n =-，n a AB AC =⋅. （1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .{}n a ()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N{}n a 11n n n b a a +=⋅{}n b n T3、已知等差数列{}n a 满足246a a +=,前7项和728S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()()122121n n nn a a b +=++,求数列{}n b 的前n 项和n T .4、已知等差数列{},n a 和等比数列{}n b 满足：311249351,*,3,330.n b a b b N a a a b a b ==∈++==- (I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(II )求数列21n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .5、等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n an b n =-+，求数列1{}nb 的前n 项和n T .6、已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．运用裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).一、题型选讲例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列{}1n a +是等比数列，11a =且2a ，32a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n nn n n a a b a a ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）设数列{}1n a +的公比为q ，∵112a +=，∴22334121212a q a q a q +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，∴22334212121a q a q a q =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ∵()32422a a a +=+， ∴()232212121q q q +=-+-， ∴2342222q q q +=+-， 即：()()224121q q q +=+， 解得：2q.∴11222n nn a -+=⋅=， ∴21nn a =-.（2）()()1121121212121n nn n n n b ++==-----，∴1231n n n S b b b b b -=+++++122334111111212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111121212121n n n n -+⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭11112212121n n n +++-=-=--. 例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①26,7753=+=a a a ；②63,371==S a ；③n n S n 22+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知S n 为等差数列}{n a 的前n 项和，若． (1)求a n ； (2)令*)(112N n a b n n ∈-=，求数列}{n b 的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】：(1)若选择条件(1)，在等差数列}{n a 中⎩⎨⎧=+=267753a a a ，⎩⎨⎧=+=+∴261027211d a d a ，解得⎩⎨⎧==231d a122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n若选择条件(2)，在等差数列}{n a 中⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==6326773171d a S a ，解得⎩⎨⎧==231d a 122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n ；若选择条件(3)，在等差数列}{n a 中a l =S l =3，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n 2+2n -[(n -l)2 +2(n -1)]= 2n +l ，a 1也符合， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得)111(41)1(411)12(11122+-=+=-+=-=n n n n n a b n n ，)1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=+-++-+-=+++=∴n n n n n b b b T n n例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和nS 满足2(2,)n n =+≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项公式n a ； （2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T ．【解析】(I)2=，∴数列为等差数列，2==，22(1)2n n =+-=，即24n S n =，当2n ≥时，22144(1)4(21)n n n a S S n n n -=-=--=-，又12a =也满足上式，∴4(21)n a n =-； (II)由(1)知，111116(21)(21)322121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1111111323352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭， 111322116(21)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，242n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11nn n S S b S S -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）当1n =时，211142a a a =+，整理得2112a a =，10a >，解得12a =；当2n ≥时，242n n n S a a =+①，可得211142n n n S a a ---=+②，①－②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()221120n n n n a a a a ----+=，化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，10n n a a -∴+>，所以12n n a a --=，从而{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列，所以()2212n a n n =+-=； （2）由（1）知()()()122122n n n a a n n S n n ++===+， 因为()11111111111212n n n n S S b S S S S n n n n -==-=-=--⋅++，1211111111112223212n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=--+--+⋅⋅⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112231212n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+--=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列{}n a 的前n 项和n S满足2(2,)n n =+≥∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，及通项公式n a ； （2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .【解析】（I2=，∴数列为等差数列，2==，22(1)2n n =+-=，即24n S n =，当2n ≥时，22144(1)4(21)n n n a S S n n n -=-=--=-，又12a =也满足上式，∴4(21)n a n =-； （II ）由（1）知，111116(21)(21)322121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1111111323352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭， 111322116(21)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【解析】 (1)设数列{}n a 的公差为d ， 由题意知: ()1234114414+46102a a a a a d a d ⨯-+++==+=① 又因为124,,a a a 成等比数列， 所以2214a a a =⋅，()()21113a d a a d +=⋅+，21d a d =，又因为0d ≠， 所以1a d =. ② 由①②得11,1a d ==， 所以n a n =，111b a ==，222b a ==，212b qb ==， 12n n b -∴= .(2)因为()111112211n n n c n n n n --⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以0111111122 (2)12231n n S n n -⎛⎫=++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211121n n -=+--+121n n =-+ 所以数列{}n c 的前n 项和121n n S n =-+.例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， ()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=， 211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-， 又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得11m <<+， 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，∴存在2,12m k ==满足题意．例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有{}n a.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前n 项和. 【解析】（1）因为，所以当时，，上述两式相减并整理，得.又因为时，，适合上式，所以.从而得到，所以， 所以数列为等差数列，且其通项公式为. （2）由（1）可知，. 所以 .二、达标训练 1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n >0，4S n =a n 2+2a n .（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =S 1−S nS n ⋅S 1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】（1）当n =1时，4a 1=a 12+2a 1，整理得a 12=2a 1，∵a 1>0，解得a 1=2；当n ≥2时，4S n =a n 2+2a n ①，可得4S n−1=a n−12+2a n−1②，①－②得4a n =a n 2−a n−12+2a n −2a n−1，即(a n 2−a n−12)−2(a n +a n−1)=0，化简得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N {}n a 11n n n b a a +=⋅{}n b n T ()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N 2n ≥212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+21(2)n a n n =+≥1n =211213a =+⨯=()*21n a n n =+∈N121n a n -=-12n n a a --={}n a ()*12n Na n n +∈=111111(21)(23)22123n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭因为a n >0，∴a n +a n−1>0，所以a n −a n−1=2，从而{a n }是以2为首项，公差为2的等差数列，所以a n =2+2(n −1)=2n ；（2）由（1）知S n =n (a 1+a n )2=n (2+2n )2=n (n +1)， 因为b n =S 1−S nS n ⋅S 1=1S n −1S 1=1n (n+1)−12=1n −1n+1−12， ∴T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =(11−12)−12+(12−13)−12+⋅⋅⋅+(1n −1n +1)−12=(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n −1n+1)−12n =1−1n+1−12n .2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+，(0,32)BC n =-，n a AB AC =⋅. （1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？ （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【解析】（1）(31,31)AC AB BC n n =+=++，2(31)3(31)(31)(34)n a n n n n ∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n n a a n n n n n +-=++-++=+，()()21118n n n n a a a a +++∴---=为常数，{}1n n a a +∴-是等差数列.（2）111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111347710313434341216n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列{}n a 满足246a a +=,前7项和728S =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()()122121n n nn a a b +=++,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】 (1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由246a a +=可知33a =,前7项和728S =.44a ∴=,解得11,1a d ==.()111n a n n ∴=+-=.(2)()()()()1112211212121212121n n n n n n n n n a a b +++===-++++++ {}n b ∴前n 项和12n n T b b b =+++……12231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111321n +=-+. 4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列{},n a 和等比数列{}n b 满足：311249351,*,3,330.n b a b b N a a a b a b ==∈++==-(I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(II )求数列21n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S . 【解析】 (I ) 311249351,3,330b a b a a a b a b ==++==-，故()224312331130d q q d q ⎧+=⎪⎨⎡⎤+-=-⎪⎣⎦⎩， 解得23d q =⎧⎨=⎩，故21n a n =-，13n n b -=. (II )()()()()22221111212141442121n n n n n a a n n n n n +===+⋅-⋅+--⋅+ 1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故()21114821221n n n n S n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭. 5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log n a nb n =-+，求数列1{}nb 的前n 项和n T . 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由23424,,S S S -成等差数列知，423422S S S +-=，所以432a a =-，即12q =-.又2341216a a a ++=，所以231111216a q a q a q ++=，所以112a =-， 所以等差数列{}n a 的通项公式12n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）由（1）知1()22(2)log (2)n n b n n n =-+=+ 所以11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和： 11111111111224511233n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦32342(1)(2)n n n +=-++ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32342(1)(2)n n T n n +=-++ 6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)． (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分 所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1．…………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1) ＝n 2n ＋1。

2020-2021学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，N＝{x|0＜x＜4}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣1，4）C．（0，3）D．（﹣1，3）2．已知i为虚数单位，若z＝，则z的共轭复数＝（）A．cosθ﹣i sinθB．sinθ﹣i cosθC．sinθ+i cosθD．cosθ+i sinθ3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出4钱，则上造出的钱数为（）A．8B．12C．20D．284．函数f（x）＝2（x3﹣x）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知平面向量，满足•（+）＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），则cos2α＝（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）﹣f（﹣2021）＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣28．已知双曲线C：是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，若（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，C．（2，+∞）D．二、多项选择题（共4小题）.9．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2C．若c＞a＞b＞0，则D．若a＞b＞c＞0，则10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列说法正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥αC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β11．二项展开式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则（）A．a0＝﹣1B．5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝10C．a3＝80D．a1+a2+a3+a4+a5＝112．已知函数f（x）＝a sin x+b cos x（ab≠0），且对任意x∈R都有，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在上单调递增C．是f（x）的一个零点D．三、填空题（共4小题）.13．曲线C：y＝xe x在点M（1，e）处的切线方程为．14．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则|AB|＝．15．甲、乙两人从4门不同的课程中各随机选修2门课程，则甲、乙所选的课程中至少有1门课程不同的概率为．16．已知侧棱长为的正四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，当该棱锥体积最大时，底面ABCD的边长为，此时球O的表面积为．四、解答题（共6小题）.17．在①2sin A＝3sin B；②△ABC的面积为；③b（b cos C+c cos B）＝6这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a﹣b＝1，cos C＝﹣，______．（1）求c的值；（2）求tan2B的值．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且3S3＝S4+2S2，a1＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，c n＝a n+，求{c n}的前n项和T n．19．2020年春，我国出现病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状，严重的可导致肺炎甚至危及生命．病毒疫情牵动每一个中国人的心，为了遏制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城、共克时艰．某校为了了解学生对病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生中各随机抽取20人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表：女生成绩成绩[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数7742规定：成绩在80分以上（含80分）的同学称为“防疫明星”．（1）根据以上数据，完成以下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“防疫明星”与性别有关；男生女生合计防疫明星非防疫明星合计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取4人，其中“防疫明星”的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．附：参考公式其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．如图1，一副标准的三角板中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝60°，DE＝EF，BC＝DF．将三角板的边BC与DF重合，把两个三角板拼成一个空间图形，如图2．设M是AC的中点，N是BC的中点．（1）求证：平面ABC⊥平面EMN；（2）若AC＝2EM＝4，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆C上，且满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于不同两点M，N，且OM⊥ON．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．22．已知函数f（x）＝﹣+lnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＝1，证明．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设集合M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，N＝{x|0＜x＜4}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣1，4）C．（0，3）D．（﹣1，3）解：M＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，而N＝{x|0＜x＜4}，所以M∩N＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．已知i为虚数单位，若z＝，则z的共轭复数＝（）A．cosθ﹣i sinθB．sinθ﹣i cosθC．sinθ+i cosθD．cosθ+i sinθ解：∵z＝＝＝cosθ﹣i sinθ，∴＝cosθ+i sinθ，故选：D．3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢．欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出4钱，则上造出的钱数为（）A．8B．12C．20D．28解：设首项为a1，公差为d＞0．由题意可得a1＝4，①S5＝5a1+＝100，②由①②联立可得d＝8，则上造出的钱数为a4＝a1+3d＝4+3×8＝28，故选：D．4．函数f（x）＝2（x3﹣x）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝2（x3﹣x）e|x|，则f（﹣x）＝﹣2（x3﹣x）e|x|＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，排除A选项．令f（x）＝0，可得x＝±1，当x＝时，可得f（）＝＜0，图象在x轴的下方，排除B，D选项．故选：C．5．已知平面向量，满足•（+）＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．解：∵＝2，∴＝4又∵•（+）＝3，∴+•＝4+•＝3，得•＝﹣1，设与的夹角为α，则•＝cosα＝﹣1，即2×1×cosα＝﹣1，得cosα＝﹣∵α∈[0，π]，∴α＝故选：C．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），则cos2α＝（）A．B．C．D．解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，4），∴sinα＝＝，则cos2α＝＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝﹣，故选：B．7．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）﹣f（﹣2021）＝（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数，∵当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），∴f（2021）＝f（1）＝log22＝1，由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x）＝﹣f（x+2），f（﹣2021）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，∴f（2021）﹣f（﹣2021）＝2．故选：A．8．已知双曲线C：是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，若（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，C．（2，+∞）D．解：双曲线C：﹣﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay ＝0，∵P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，则直线bx﹣ay+2a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d＝＝，∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2与双曲线C的右支没有公共点，∴d≥，∴≥，即e＝≤，故e的取值范围为（1，]，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1 专题0
2 相等关系与不等关系
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）
A ．22a b >
B ．1b
a < C ．()10g a
b -> D ．1122a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确； 如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确；
如果0a =，1
2b =-，显然C ，1
02lg <，不正确； 因为指数函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122a
b
⎛
⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．
故选：D ．
2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x
⎛⎫
⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的(
) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 由121x
⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“
0x <”，反之，不能推出；。