高一数学《第1-3章》全册同步练习(人教B版必修4)3-2-2

解：（1） 原式 =
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =

高一数学同步练习必修四 第一章三角函数（一）一、任意角、弧度制及任意角的三角函数A.基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③弧长公式：l ＝|α|r ， 扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2. 2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线三角函数线 有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线 B.1、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫β| β＝π2＋k π，k ∈Z ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝k π2，k ∈Z .2、两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．3、三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．C.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )． A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋94π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用。

3章章末归纳总结一、选择题1．已知θ为第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2的值为( )A ．－35B ．±35 C.22D ．±45[答案] B[解析] ∵25sin 2θ＋sin θ－24＝0，∴sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)，∵θ为第二象限角，∴cos θ＝－725，∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝±35. 2.1－sin20°＝( )A ．cos10°B ．sin10°－cos10° C.2sin35°D ．±(sin10°－cos10°)[答案] C[解析] 1－sin20°＝1－cos70°＝2sin 235°， ∴1－sin20°＝2sin35°. 3.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于( ) A ．tan αB ．tan2αC ．1D.12 [答案] B[解析] 2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α＝2sin2α2cos 2α·cos 2αcos2α＝tan2α.4．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72B ．－12 C.12 D.72[答案] C[解析] ∵cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－22， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12＝cos α＋sin α. 5．已知cos2α＝14，则sin 2α＝( ) A.12B.34C.58D.38[答案] D[解析] ∵cos2α＝1－2sin 2α＝14，∴sin 2α＝38.6．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数[答案] D[解析] f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x ·cos2x ＝12sin4x (x ∈R )，∴函数f (x )是最小正周期为π2的奇函数． 7．已知θ∈(0,2π)，且sin θ、cos θ是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两根，则k 的值为( )A ．3B ．－1C ．3或－1D ．－3 [答案] B[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4(k ＋1)≥0sin θ＋cos θ＝ksin θcos θ＝k ＋1解得k ＝－1.8．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6[答案] C[解析] ∵α、β为锐角，∴－π2<α－β<π2， ∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010， ∵sin α＝55，∴cos α＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4. 二、填空题9．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于________． [答案] 15[解析] ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45， ∴2cos(α＋π4)＝2cos αcos π4－2sin αsin π4＝2×45×22－2×35×22 ＝45－35＝15.10．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________. [答案] －32[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3tan α·tan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－3＝－32. 三、解答题11．求sin7°－sin15°cos8°cos7°－cos15°cos8°的值． [解析] 原式＝sin (15°－8°)－sin15°cos8°cos (15°－8°)－cos15°cos8°＝sin15°cos8°－cos15°sin8°－sin15°cos8°cos15°cos8＋sin15°sin8－cos15°cos8°＝－cos15°sin8°sin15°sin8°＝－cot15°＝－1tan15°＝－1tna (45°－30°)＝－1＋tan30°1－tan30° ＝－2－ 3.12．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．[解析] 由π2<β<α<3π4，得π2<α<3π4，π2<β<3π4，－3π4<－β<－π2，α－β>0， ∴π<α＋β<3π2，0<α－β<π4. 由sin(α＋β)＝－35，π<α＋β<3π2， 得cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 由cos(α－β)＝1213，0<α－β<π4， 得sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132 ＝513.∴sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513·⎝⎛⎭⎫－45＋1213·⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 13．已知cos2θ＝78，θ∈(π2，π)，求sin(θ＋π6)－sin2θ的值． [解析] ∵cos2θ＝78，θ∈(π2，π)，∴cos θ<0，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝78， ∴cos 2θ＝1516，∴cos θ＝－154，sin θ＝14， ∴sin(θ＋π6)－sin2θ＝sin θ·cos π6＋cos θsin π6－2sin θcos θ＝14×32－154×12＋2×14×154＝38－158＋158＝38. 14．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设AB →和AC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－3cos2θ的最大值与最小值．[解析] (1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由12bc sin θ＝3,0≤bc cos θ≤6，可得0≤cot θ≤1，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2. (2)f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－3cos2θ ＝⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ－3cos2θ ＝(1＋sin2θ)－3cos2θ＝sin2θ－3cos2θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋1. 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，2θ－π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 所以2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋1≤3. 即函数f (θ)的最大值为3，最小值为2.。

人B版高中数学必修4同步习题目录第1章1.1.1同步练习第1章1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.2.3同步练习第1章1.2.4同步练习第1章1.3.1第一课时同步练习第1章1.3.1第二课时同步练习第1章1.3.2第一课时同步练习第1章1.3.2第二课时同步练习第1章1.3.3同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.3同步练习第2章2.1.4同步练习第2章2.1.5同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.2.3同步练习第2章2.3.2同步练习第2章2.3.3同步练习第2章2.4.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1同步练习第3章3.2.2同步练习第3章3.3同步练习第3章章末综合检测模块综合检测人教B版必修4同步练习1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝()A．150°B．－150°C．390°D．－390°解析：选B.∠AOC＝120°－270°＝－150°.2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：选C.∵－457°＝－2×360°＋263°∴与－457°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．3．在0°～360°之间与－35°终边相同的角是()A．325°B．－125°C．35°D．235°解析：选A.∵－35°＝(－1)×360°＋325°∴0°～360°之间与－35°终边相同的角是325°.4．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是________．解析：－885°＝(－3)×360°＋195°答案：195°＋(－3)×360°一、选择题1．下列说法中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等解析：选C.－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．2．(2011年杭州高一检测)下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°解析：选D.330°＝360°＋(－30°)，－390°＝－360°＋(－30°)．∴330°角与－390°角终边相同．3．若α是第一象限角，则下面各角中是第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：选C.α为第一象限角，那么－α为第四象限角，而360°－α与－α的终边相同．4．已知角α是第三象限的角，则角－α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为α是第三象限的角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z，所以－α所在范围与(－270°，－180°)范围相同．所以－α的终边在第二象限．故选B.5．若α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )，则α的终边所在的象限为( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时，α为第三象限角，当k 为偶数时，α为第一象限角． 6．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π 解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角．二、填空题7．已知：①1240°，②－300°，③420°，④－1420°，其中是第一象限角的为________(填序号)．解析：1240°＝160°＋3×360°，所以1240°为第二象限角， －300°＝60°＋(－1)×360°，所以－300°为第一象限角， 420°＝60°＋360°，－1420°＝20°＋(－4)×360°， 所以420°、－1420°也为第一象限角． 答案：②③④8．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度，时针转了________度．解析：注意时钟指针转动方向应为顺时针，所以拨慢为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为360°60＝6°，而时针每分钟转过的度数为30°60＝0.5°.答案：30 2.59．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：因为5α与α始边、终边分别相同， 所以5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ， 所以α＝k ·90°. 又因为180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270° 三、解答题 10．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′. 解：(1)∵－120°＝240°－360°， ∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角； (2)∵660°＝300°＋360°， ∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角； (3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°， ∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角． 11. 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM 上的角的集合A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }． (2)终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线OM 反向延长线上的角的集合为B ＝{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }，所以终边落在直线OM 上的角的集合为：A ∪B ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．(3)同理可得终边落在直线ON 上的角的集合为{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：{α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．12．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A (1,0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z .由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2a <2β<360°，进而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，∴45°<α＝m7·180°<90°，45°<β＝n 7·180°<90°，∴74<m <72，74<n <72.∵α<β，∴m <n ，又m ，n ∈Z ，∴m ＝2，n ＝3，∴α＝(3607)°，β＝(5407)°人教B 版必修4同步练习1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题．2．把－8π3化成角度是( )A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60°解析：选B.－8π3＝－83×180°＝－480°.3．把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6解析：选B.－300°＝－300×π180＝－53π.4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π.答案：32π一、选择题1．－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.－2912π＝－4π＋1912π，1912π终边落在第四象限．2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为圆周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3 cmB.20π3 cmC.10π3 cmD.50π3cm 解析：选B.圆心角θ＝23×2π＝4π3，由弧长公式知l ＝43π×5＝203π cm.3．已知α＝9 rad ，β＝10 rad ，下面关于α和β的说法中正确的是( ) A ．都是第一象限的角 B ．都是第二象限的角C ．分别是第二象限和第三象限的角D ．分别是第三象限和第四象限的角 解析：选C.法一：由1 rad ≈57°18′，故57°<1 rad<58°. 所以513°<9 rad<522°， 即360°＋153°<9 rad<360°＋162°.因此9 rad 是第二象限的角．同理，570°<10 rad<580°，360°＋210°<10 rad<360°＋220°. 因此10 rad 是第三象限的角．法二：π≈3.14，π2≈1.57，π2×5<9<3π，即9∈(2π＋π2，2π＋π)，故α为第二象限的角．同理，3π<10<3π＋π2，β为第三象限的角．4．(2011年沈阳高一检测)若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( )A ．tan 1 B.1sin 1C.1sin 21D.1cos 1 解析：选C.如图所示，设∠AOB ＝2，AB ＝2.过点O 作OC ⊥AB 于C ，延长OC 交于D ，则∠AOC ＝12∠AOB ＝1，AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中，OA ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1.∴扇形的面积S ＝12|α|·OA 2＝12×2×1sin 21＝1sin 21.5．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4－8π B.74π－8πC.π4－10πD.74π－10π 解析：选D.∵－1485°＝－5×360°＋315°，又2π rad ＝360°，315°＝7π4rad ，故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.6．(2011年杭州高一检测)若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( ) A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90° C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z ) D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )解析：选D.如图(1)，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°. 如图(2)，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°.由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直则有β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )． 二、填空题7．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k ·π4，k ∈Z }，则角θ的终边所在的象限是________．解析：分k 为奇数与偶数讨论．当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z ，这时α为第二象限角．当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋π4，n ∈Z ，这时α为第一象限角．综上：α的终边所在的象限是第一或第二象限． 答案：第一或第二象限 8．扇形的圆心角是72°，半径为5，它的弧长为________，面积为________．解析：∵72°＝25π rad ，∴l ＝25π×5＝2π.S ＝12l ·r ＝12×2π×5＝5π. 答案：2π 5π9．已知扇形的半径为r ，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为________弧度，扇形的面积为________．解析：设扇形的圆心角为θ，则2r ＋rθ＝πr ，所以θ＝π－2，S 扇＝12r 2θ＝12r 2(π－2)．答案：π－2 12r 2(π－2)三、解答题10．判断下列各角所在的象限：(1)－4；(2)－2011π5.解：(1)因为－4＝－2π＋(2π－4)，而π2<2π－4<π，所以－4为第二象限角．(2)因为－2011π5＝－201×2π－π5，所以－2011π5为第四象限角．11．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝812l ·r ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3l ＝2.∴圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23，∴圆心角的大小为23或6.(2)θ＝8－2r r，∴S ＝12·r 2·8－2r r＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4，∴当r ＝2即θ＝8－42＝2时，S max ＝4(cm 2)．此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．∴扇形面积最大时，圆心角等于2弧度，弧长AB 为4sin 1 cm.12. 已知长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A 走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积(如图所示)．解：在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝14·2π·AB ＝14·2π·3＋1＝π(dm)，面积S 1＝14·π ·AB 2＝14·π·4＝π(dm 2)． 在扇形A 1CA 2中，圆心角亦为π2，弧长l 2＝14·2π·A 1C ＝14·2π·1＝π2(dm)，面积S 2＝14·π·A 1C 2＝14π·12＝π4(dm 2)．在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝16·2π·A 2D ＝16·2π·3＝33π(dm)．面积S 3＝16·π·A 2D 2＝16·π·(3)2＝π2(dm 2)．点A 走过路程的长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝(9＋23)π6(dm)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4(dm 2)．人教B 版必修4同步练习1．角α的终边上有一点P (1，－1)，则sin α的值是( ) A.π2 B ．－22C ．±22D ．1解析：选B.利用三角函数定义知：sin α＝y r ＝－112＋(－1)2＝－22. 2．若sin α>0，tan α<0，则α为( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：选B.由sin α>0知α终边在第一、二象限或在y 轴正半轴上， 由tan α<0知α终边在第二、四象限， 综上知α为第二象限角． 3．sin2cos3tan4的值为( ) A ．负数 B ．正数 C ．0 D ．不存在 解析：选A.因为2,3,4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2cos3tan4<0.4．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________，sec α＝________，csc α＝________，cot α＝________.解析：∵m <0，∴r ＝(2m )2＋(－3m )2＝－13m ，∴sin α＝y r ＝－3m －13m ＝31313；cos α＝x r ＝2m －13m ＝－21313；tan α＝y x ＝－3m 2m ＝－32；sec α＝r x ＝－132；csc α＝r y ＝133；cot α＝x y ＝－23；答案：31313 －21313 －32 －132 133 －23一、选择题1．设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{sin0，cosπ}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0} 解析：选D.B ＝{sin0，cosπ}＝{0，－1}， ∴A ∩B ＝{0，－1}． 2．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3 D. 3 解析：选B.在坐标系中把600°角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a 的值．因为600°＝360°＋240°，所以600°的终边与240°的终边重合，如图所示，设P (－4，a )，作PM ⊥x 轴于M ，则－|OM |＝－4，∠MOP ＝60°，－|MP |＝a ＝－4 3.3．(2011年临沂高三模拟)在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角或钝角三角形 解析：选B.∵0<A <π，0<B <π，0<C <π，sin A ·cos B ·tan C <0 ∴cos B ·tan C <0∴cos B 与tan C 异号，∴B 、C 中有一个角为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形． 4．已知cos θ·tan θ<0，那么θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角解析：选C.由cos θ·tan θ<0，知⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ<0，tan θ>0，或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0，且θ不在坐标轴上，因此θ在第三或第四象限．5．若角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α的值为( )A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C.在α的终边上任取一点P (1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255；或者取P (－1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.6．(2011年湛江高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围是( )A ．(－2,3)B ．[－2,3)C ．(－2,3]D ．[－2,3]解析：选C.由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －9≤0，a ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a >－2. 即－2<a ≤3. 二、填空题7．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．解析：由题意P (m ，n )是角α终边上一点，sin α＝y r ＝n m 2＋n 2<0，∴n <0.又角α的终边与y ＝3x 重合， 故n ＝3m <0，∴m <0.由|OP |＝10，则m 2＋n 2＝10， 10m 2＝10，m 2＝1，∴m ＝－1.由n ＝3m ，∴n ＝－3. ∴m －n ＝－1－(－3)＝2. 答案：2 8．5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°＝________. 解析：∵sin90°＝1，sin0°＝0，sin270°＝－1，cos180°＝－1，∴原式＝－2. 答案：－29．函数y ＝tan x1＋sin x的定义域为________．解析：由1＋sin x ≠0得x ≠2k π－π2，k ∈Z ，要使tan x 有意义，需x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．答案：{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }三、解答题10．已知角α的终边上一点P (－3，m )，且sin α＝24m ，求cos α，tan α的值．解：由于r ＝x 2＋y 2＝3＋m 2，又sin α＝y r ＝m 3＋m 2，由已知，得m 3＋m 2＝24m ，∴m ＝0或m ＝5，或m ＝－ 5. 当m ＝0时，r ＝3，y ＝0， ∴cos α＝－1，tan α＝0.当m ＝5时，r ＝22，y ＝5，∴cos α＝－64，tan α＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，y ＝－5，∴cos α＝－64，tan α＝153.11．判断下列各式的符号： (1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)sin3·cos4·tan(－23π4)．解：(1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0，∴sin α·tan α>0.(2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0，∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan(－23π4)>0，∴sin3·cos4·tan(－234π)<0.12．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角 综上可知，角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，由正弦函数的定义可知，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.人教B 版必修4同步练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解析：选D.正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( ) A.π4或34π B.5π4或74π C.π4或54π D.π4或74π 解析：选C.由条件知sin α＝cos α，又0<α<2π，∴α＝π4或5π4.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( ) A ．第一象限 B ．第一、二象限 C ．第三象限 D ．第一、三象限解析：选D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cos α≤12的解集为________．解析：画出单位圆，然后画出直线x ＝12，从图形中可以看出．答案：{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z }一、选择题1．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等解析：选B.当三角形的角为90°时，不是象限角，∴A 不正确；B 正确；终边在第二象限的角的范围是2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ，∴C 不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，∴D 不正确．2．(2011年洋浦高一检测)若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α 解析：选D.如图，在单位圆中，作出－3π4<α<－π2内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线． 由图知，|OM →|<|MP →|<|AT →|，考虑方向可得MP →<OM →<AT →.3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]解析：选B.利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 2＝5π6，|P 1M 1|＝|P 2M 2|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈[π6，5π6]．4．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]解析：选C.在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出．5．(2011年聊城高一检测)如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称 解析：选A.利用单位圆中的余弦线即得．6．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 解析：选D.如图，在单位圆O 中分别作出角57π、27π、27π的正弦线M 1P 1，余弦线OM 2、正切线AT .由57π＝π－27π知M 1P 1＝M 2P 2，又π4<27π<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2， ∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c . 二、填空题7．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.解析：若θ∈(3π4，π)则sin θ>0，cos θ<0，sin θ<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0.答案：④8．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________． 解析：画出单位圆及y ＝32即可答案：[2k π，2k π＋π3)∪(2k π＋2π3，2k π＋π](k ∈Z )9．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x ≥12，利用单位圆中的三角函数线得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得{x |2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )}．答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )}三、解答题 10．比较大小：(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.解：如图所示，作出2π3对应的正弦线、正切线分别为AB 和EF .作出4π5对应的正弦线、正切线分别为CD 和EG .由图可知：|AB |>|CD |，|EF |>|EG |.又tan 2π3与tan 4π5均取负值，故sin 2π3>sin 4π5，tan 2π3<tan 4π5.11．求证：当α∈(0，π2)时，sin α<α<tan α.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，单位圆交x 轴正半轴于点A ，作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，作AT ⊥x 轴，交α的终边于点T ，由三角函数线定义，得sin α＝ON ＝MP ，tan α＝AT ， 又α＝AP 的长，∴S △AOP ＝12·OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12·AP ·OA ＝12·AP ＝12α，S △AOT ＝12·OA ·AT ＝12tan α.又∵S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，∴sin α<α<tan α.12．若α、β是关于x 的二次方程x 2＋2(cos θ＋1)x ＋cos 2θ＝0的两根，且(α－β)2≤8.求θ的范围．解：∵方程有两实根，∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≥0.∴cos θ≥－12①由根与系数的关系得α＋β＝－2(cos θ＋1)，α·β＝cos 2θ②又(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ＝8cos θ＋4≤8.∴cos θ≤12③综上知－12≤cos θ≤12如图所示，∴π3＋2k π≤θ≤2π3＋2k π或4π3＋2k π≤θ≤5π3＋2k π(k ∈Z )． ∴π3＋k π≤θ≤2π3＋k π(k ∈Z )．人教B 版必修4同步练习1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43 B.34C ．±34D ．±43解析：选A.∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(45)2＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43.2．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 解析：选B.1－sin 2160°＝cos 2160°＝－cos160°.3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：选B.2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.4．若cos α＝－817，则sin α＝________，tan α＝________.解析：∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0.∴sin α＝1－cos 2α＝1517，tan α＝sin αcos α＝－158.若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0.∴sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝sin αcos α＝158.答案：1517或－1517 －158或158一、选择题1．若α是第四象限的角，tan α＝－512，则sin α等于( )A.15 B ．－15 C.315 D ．－513解析：选D.∵tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝±513，又α为第四象限角，∴sin α＝－513.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B.∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3.3．(2011年济南高一检测)A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝1225，则这个三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：选B.∵sin A ＋cos A ＝1225，∴(sin A ＋cos A )2＝(1225)2＝144625，即1＋2sin A cos A ＝144625，∴2sin A cos A ＝－481625<0，∴sin A >0，cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．4．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54C ．－34 D.45解析：选D.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－25＝45.5．(tan x ＋cot x )cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．cot x解析：选D.(tan x ＋cot x )·cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x ·cos x ·cos 2x ＝cos x sin x＝cot x .6．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是( )A ．{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }B ．{x |2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z }C ．{x |2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z }D ．只能是第三或第四象限的角解析：选A . 1－cos α1＋cos α＝ (1－cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，即sin α＜0，故{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }．二、填空题7．计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240°＝________.解析：原式＝(sin40°－cos40°)2sin40°－cos 240°＝cos40°－sin40°sin40°－cos40°＝－1.答案：－18．已知tan α＝－3，则1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α＝________.解析：1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－tan α＋12tan α＋1＝(－3)2－(－3)＋12×(－3)＋1＝－135. 答案：－1359．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值为________．答案：0三、解答题10．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1cos θ. 证明：左边＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ·(1＋cos θsin θ)＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝(sin θ＋cos 2θsin θ)＋(sin 2θcos θ＋cos θ)＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋sin 2θ＋cos 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边， ∴原式成立．11．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值．解：∵sin A ＋cos A ＝22，①∴(sin A ＋cos A )2＝12，即1＋2sin A cos A ＝12，∴2sin A cos A ＝－12.∵0°<A <180°，∴sin A >0，cos A <0. ∴sin A －cos A >0.∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝32，∴sin A －cos A ＝62.②①＋②，得sin A ＝2＋64.①－②，得cos A ＝2－64.∴tan A ＝sin A cos A ＝2＋64×42－6＝－2－ 3.12．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦值．解：设这两个锐角为A ，B ， ∵A ＋B ＝90°，∴sin B ＝cos A ，所以sin A ，cos A 为8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根．所以⎩⎨⎧ sin A ＋cos A ＝－3k4sin A cos A ＝2k ＋18①②②代入①2，得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－109，当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0，Δ<0方程无解；将k ＝－109代入②，得sin A cos A ＝－1172<0，所以A 是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k .人教B 版必修4同步练习1．sin585°的值为( )A ．－22B.22 C ．－32D.32 解析：选A.sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 2．cos(－225°)＋sin(－225°)等于( )A.22 B ．－22 C ．0 D. 2 解析：选C.cos(－225°)＋sin(－225°)＝cos225°－sin225° ＝cos(180°＋45°)－sin(180°＋45°)＝－cos45°＋sin45°＝－22＋22＝03．cos2010°＝( )A ．－12B ．－32C.12D.32 解析：选B.cos2010°＝cos(360°×5＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32.4．tan 7π4－cos(－7π3)＋sin(－13π6)的值为________．解析：原式＝tan(2π－π4)－cos(－2π－π3)＋sin(－2π－π6)＝tan[2π＋(－π4)]－cos(2π＋π3)－sin(2π＋π6)＝－tan π4－cos π3－sin π6＝－1－12－12＝－2.答案：－2一、选择题1．sin(－236π)的值是( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选A.sin(－236π)＝sin(－4π＋π6)＝sin π6＝12.2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C.∵cos(π2＋φ)＝32，∴sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，故tan φ＝tan(－π3)＝－tan π3＝－ 3.3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1解析：选A.由tan(5π＋α)＝m 得tan α＝m ，所以原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A.4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin(n π＋43π) ②cos(2n π＋π6) ③sin(2n π＋π3)④cos[(2n ＋1)π－π6] ⑤sin[(2n ＋1)π－π3]，(n ∈Z )A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C.①若n 为偶数，则sin(n π＋4π3)＝sin 4π3＝－sin π3；若n 为奇数，则sin(n π＋4π3)＝sin(π＋4π3)＝sin(2π＋π3)＝sin π3.④cos[(2n ＋1)π－π6]＝cos(π－π6)＝－cos π6≠sin π3.5．(2011年南昌高三模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)(a ，b ，α，β为常数)，且f (2010)＝－1，那么f (2011)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.f (2010)＝a sin(2010π＋α)＋b cos(2010π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2011)＝a sin(2011π＋α)＋b cos(2011π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－(－1)＝1.6．(2011年潍坊高一检测)已知a ＝tan(－7π6)，b ＝cos 234π，c ＝sin(－334π)，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：选A.a ＝tan(－7π6)＝－tan 7π6＝－tan(π＋π6)＝－tan π6＝－33；b ＝cos 234π＝cos(6π－π4)＝cos π4＝22；c ＝sin(－334π)＝－sin 334π＝－sin(8π＋π4)＝－sin π4＝－22.∵22>－33>－22，∴b >a >c . 二、填空题7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(11π6－θ)＝________.解析：cos(11π6－θ)＝cos[2π－(π6＋θ)]＝cos(π6＋θ)＝33.答案：338．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.解析：令S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 289°，∴2S ＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＝89，∴S ＝892.答案：8929．若α∈(－π2，0)，且sin(2π＋α)＝log 814，则tan(2π－α)＝________.解析：∵sin(2π＋α)＝log 814＝－23，∴sin α＝－23.∵α∈(－π2，0)，∴cos α＝53，∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－2353＝255.答案：255三、解答题10．求tan(－35π6)sin(－46π3)－cos 37π6tan 55π6的值．解：原式＝tan(4π＋11π6)sin(14π＋4π3)－cos(6π＋π6)·tan(9π＋π6)＝tan(2π－π6)sin(π＋π3)－cosπ6tan π6＝tan π6sin π3－sin π6＝33×32－12＝0. 11．已知cos(75°＋α)＝13，α为第三象限角，求cos(105°－α)sin(α－105°)的值． 解：由于cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α) ＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．由于cos(75°＋α)＝13>0，α为第三象限角，那么75°＋α为第四象限角，则sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1－(13)2＝－223，所以cos(105°－α)sin(α－105°)＝(－13)×(223)＝－229.12．已知f (α)＝cos (π2＋α)·cos (2π－α)·sin (－α＋3π2)sin (－π－α)·sin (3π2＋α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)原式＝－sin α·cos (－α)·[－sin (π2－α)]sin (π＋α)·sin (π2＋α)＝sin α·cos α·cos α－sin α·cos α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝－sin α，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(－15)2＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.人教B 版必修4同步练习1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( )A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－2解析：选B.振幅为2，周期为2π12＝4π.2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6 解析：选D.∵φ∈[0,2π)，∴把 y ＝sin x 的图象向左平移 φ个单位长度得到 y ＝sin(x ＋φ)的图象，而 sin(x ＋11π6)＝sin(x ＋11π6－2π)＝sin(x －π6)．3．已知函数y ＝2011sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2011＝0的相邻的两个公共点间的距离为2π3，则ω的值为( )A ．3 B.32C.23D.13解析：选A.函数y ＝2011sin ωx 的最小值是－2011，它与直线y ＋2011＝0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3.4．函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin x →y ＝3sin 13x →y ＝3sin 13(x －3)＝3sin(13x －1)．答案：y ＝3sin(13x －1)一、选择题1．要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：选D.∵y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]，∴把y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位就能得到y ＝sin(2x －π3)的图象．2．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示，那么ω＝( )A ．1B ．2C.12D.13解析：选B.2T ＝2π，∴T ＝π，又T ＝2πω，∴2πω＝π，∴ω＝2.3．(2011年宁德高一检测)函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]的简图为( )解析：选A.f (π)＝sin(2π－π3)＝－32，排除B 、D.f (π6)＝sin(2×π6－π3)＝0，排除C ，或用五点法作图验证．4．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3解析：选D.∵T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)∵f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，∵|φ|<π2，∴φ＝π3.5．(2010年高考辽宁卷)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 解析：选A.若平移后的图象与原图象重合，则平移量应该是周期的整数倍，即4π3是函数的1个周期或多个周期，ω取最小值时，4π3应为其1个周期，故2π|ω|＝4π3.又ω>0，所以ω＝32. 6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)的值等于( )A. 2B ．0 C.2＋2D.2－2 解析：选C.由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，∴y ＝2sin(π4x ＋φ)，代入(2,2)，∴2＝2sin(π2＋φ)，∴sin(π2＋φ)＝1，∴φ＝0，∴y ＝2sin π4x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝2(sin π4＋sin π2＋sin 3π4＋sinπ＋sin 5π4＋sin 32π＋sin 74π＋sin2π)＝0.而2011÷8＝251……3，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＝f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2(2sin π4＋sin π2)＝2×(2＋1)＝22＋2.二、填空题7．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的实数x ，都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6＋2πω)等于________．解析：由依题意知x ＝π6为y ＝f (x )的对称轴．∴f (π6)＝±3，而T ＝2πω，∴f (π6＋2πω)＝±3.答案：3或－38．(2011年沂水高一检测)把函数y ＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin(2x ＋π4)→y ＝sin[2(x －π8)＋π4]→y ＝2sin2x .答案：y ＝2sin2x9．已知函数 y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如下图所示，则φ＝________.解析：由题图可知，T 2＝2π－3π4，∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y ＝sin(45x ＋φ)，又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，∵－π≤φ＜π，∴φ＝910π. 答案：910π三、解答题10．已知函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋54，x ∈R .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(3)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？解：(1)振幅A ＝12，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6；(2)当sin(2x ＋π6)＝1，即2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取最大值12＋54＝74，此时x ＝k π＋π6，k ∈Z .(3)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π6)的图象，然后再把y ＝sin(x ＋π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，然后再把y ＝sin(2x ＋π6)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)得到y ＝12sin(2x ＋π6)的图象，最后把y ＝12sin(2x ＋π6)的图象向上平移54个单位长度，就得y ＝12sin(2x ＋π6)＋54的图象． 11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象在y 轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，写出g (x )的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．解：(1)由已知，易得A ＝2，T 2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，解得T ＝6π，∴ω＝13.把(0,1)代入解析式y ＝2sin(x3＋φ)，得2sin φ＝1.又|φ|<π2，解得φ＝π6.∴y ＝2sin(x 3＋π6)为所求．(2)压缩后的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π6)，再平移得g (x )＝2sin[(x －π3)＋π6]＝2sin(x －π6)．列表图象如图。