配方法解方程二

配方法解一元二次方程解一元二次方程的一般方法是利用配方法。

配方法是将一元二次方程转化为完全平方式，进而求得方程的解。

一元二次方程一般的形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c都是已知的系数。

配方法的步骤如下：Step 1: 如果a不等于1，则将方程两边都除以a，化简为 x^2 + (b/a)x + c/a = 0。

Step 2: 将方程左边的三项中的x^2项与x项之间添加一个恰当的常数d，使得方程可以写成完全平方式 (x + m)^2 = n，其中 m和n是待定的常数。

展开(x + m)^2 = n得到 x^2 + 2mx + m^2 = n。

根据Step 1，将待定的常数m和n用a、b和c表示为 m = b/2a，n = c/a - b^2/4a^2将(x+m)^2=n带入原方程，得到x^2+(b/a)x+(b^2/4a^2-c/a)=0。

将方程左边的三项要相等，所以方程右边的两项必须相等。

因此，可以得到方程(b^2/4a^2-c/a)=0。

整理得到(4a^2c-b^2)/4a^2=0。

Step 3: 化简以上方程，得到 4a^2c - b^2 = 0。

Step 4: 将以上等式右边添加一个恰当的常数k，使得等式可以写成一个完全平方式，即 4a^2c - b^2 + k = k。

根据Step 3，将k用a、b和c表示为 k = 4a^2c - b^2将等式添加的k带入，得到4a^2c-b^2+4a^2-4a^2=k。

整理得到 (2ax + b)^2 = 4a^2(x^2 + (b/2a)x + c/a) + k。

根据Step 2，进一步化简为 (2ax + b)^2 = 4a^2(x^2 + (b/a)x + c/a) + k。

根据Step 1，进一步化简为 (2ax + b)^2 = 4a^2(x^2 + (b/a)x + c/a + b^2/4a^2 - b^2/4a^2) + k。

用配方法解一元二次方程的方法总结:大家知道，解一元二次方程的方法很多，有直接开平分法，配方法，公式法和因式分解法等。

其中，配方法是解一元二次方程很好的方法，下面我就分情况对此方法进行讲解。

（一）二次项系数为1的情况:例:用配方法解方程x²－2x－3＝0解:x²－2x－3＝0，移项，得x²－2x＝3，配方，得x²－2x＋1²＝3＋1²，即（x－1）²＝4，x －1＝±2，x＝3或x＝－1(二)二次项系数为非1的正数的情况:例:用配方法解方程3x²＋6x－24＝0解:3x²＋6x－24＝0，3(x²＋2x)－24＝0，移项，得3(x²＋2x)＝24，配方，得3（x²＋2x＋1²）＝24＋3×1²，即3（x＋1）²＝27，即（x＋1）²＝9，x＋1＝±3，x＝2或x＝－4(三)二次项系数为负数的情况:例:用配方法解方程－2x²＋4x＋6＝0解:－2x²＋4x＋6＝0，－2（x²－2x）＋6＝0，移项，得－2（x²－2x）＝－6，配方，得－2（x²－2x＋1²）＝－6－2×1²，即－2(x－1)²＝－8，即（x－1）²＝4，x－1＝±2，x＝3或x＝－1综上所述:用配方法解一元二次方程的思路如下:（1）化二次项系数为1。

（2）移项:使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为（x＋m）²＝p的形式。

(4)直按开平方:求出方程的解。

同学们:看完我的讲述，用配方法解一元二次方程，你们学会了吗？。

用配方法解二元二次方程组概述二元二次方程组是指含有两个未知数的两个二次方程的方程组。

解决这样的方程组可以使用多种方法，其中一种有效的方法是使用配方法。

配方法的步骤使用配方法解二元二次方程组的步骤如下：1. 将方程组写成标准形式，即将所有项移到一个侧边，使等式右边为0。

2. 对于每个方程，通过完成平方的方法将其转化为一个完全平方。

具体来说，找出该方程中二次项系数的一半，然后将其平方，并加上等式两边所需的常数项，使该方程变为完全平方。

3. 通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数的平方项。

最终得到一个只含有一个未知数的一次方程。

4. 解这个一次方程，得出一个未知数的值。

5. 将该值代入其中一个原方程中，解出另一个未知数的值。

6. 检验这两个值是否满足原方程组，如果满足，则得到了方程组的解。

示例让我们通过一个示例来演示配方法解二元二次方程组的过程：假设我们有以下方程组：x^2 + 2xy + y^2 = 5x^2 - 2xy + y^2 = 11. 将方程组写成标准形式：x^2 + 2xy + y^2 - 5 = 0x^2 - 2xy + y^2 - 1 = 02. 完成平方：(x + y)^2 - 5 = 0(x - y)^2 - 1 = 03. 相减方程组：((x + y)^2 - 5) - ((x - y)^2 - 1) = 0展开并化简后：4xy - 4 = 0得到一个只含有一个未知数xy的一次方程。

4. 解这个一次方程，得到：xy = 15. 将xy的值代入其中一个原方程中，解出x或y的值。

假设我们代入第一个原方程：x^2 + 2(1) + 1^2 = 5x^2 + 2 = 4解得：x = -1, x = 16. 检验解：将x = -1和xy = 1代入原方程中：(-1)^2 + 2(-1)(1) + (1)^2 = 51 -2 + 1 = 5方程成立，解是合理的。

类似地，将x = 1和xy = 1代入原方程：(1)^2 + 2(1)(1) + (1)^2 = 51 +2 + 1 = 5方程仍然成立，因此x = -1和x = 1都是方程组的解。

一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习【基础练习】 一、选择题1.用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ） A ．（x +2）2=1 B ．（x +2）2=7 C ．（x +2）2=13 D ．（x +2）2=19 2．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对 4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 5．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2±10 B ．-2±14 C ．-2+10 D ．2-10二、填空题 7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2. 8．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为 ．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程 （1）（2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值； (2)判断三角形的形状．【提高练习】 一、选择题1.一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（ ）A ．8B ．6C ．3D ．2 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定 二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 8．把代数式x 2﹣4x ﹣5化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数， 则4m+k= ．9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.（1）解方程：x 2﹣2x=4． （2）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．14．分解因式44x +．15．当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【基础答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x +4=7，（x +2）2=7． 2．【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．3.【答案】C ； 【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±； 4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ； 5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1. 6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-2±14.二、填空题 7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方. 8.【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x +9=﹣7+9， （x ﹣3）2=2． 9．【答案】±3； 【解析】2239m ==．∴ 3m =±. 10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1； 故答案为：﹣1，1． 【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3， ∴=4．三、解答题13.【答案与解析】 （1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5 (2)221233x x +=226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744x +=±132x =22x =- 14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0， ∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0， ∴a ﹣2=0，b+3=0， ∴a=2，b=﹣3， ∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥， ∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．【提高答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ．【解析】x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5，x 2﹣6x +9=5+9，（x ﹣3）2=14，故选：A ． 2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．3．【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．4．【答案】D ； 【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -； （2）24p ；2p x +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5=（x ﹣2）2﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1．故答案为﹣1．9．【答案】4；【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2, 所以241a bb =-⎧⎨=⎩－ 解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩所以4ab =.10．【答案】（x-1）2=5；15± ．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±.11．【答案】；2或6.【解析】3x 2-2x-3=0化成；即2(-)232aa =-，a=2或6.12.【答案】5； 【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】 解：（1）配方x 2﹣2x +1=4+1 ∴（x ﹣1）2=5 ∴x=1±∴x 1=1+，x 2=1﹣．（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．（2）解：移项得x 2﹣6x=4， 配方得x 2﹣6x +9=4+9， 即（x ﹣3）2=13， 开方得x ﹣3=±， ∴x 1=3+，x 2=3﹣． 14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x +=++-g g g g22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+．15. 【答案与解析】解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4 =（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0， ∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．。

利用配方法解二次方程当代数学中，二次方程是常见的一种形式。

解决二次方程可以使用多种方法，其中一种常用的方法是配方法。

配方法通过将二次方程转化为完全平方的形式，从而更容易求解。

本文将介绍如何利用配方法解二次方程。

一、基本概念首先，我们来回顾一下二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为常数，且a不等于零。

二、配方法的步骤接下来，我们将介绍如何使用配方法来解二次方程。

具体步骤如下：1. 将二次方程写成完全平方的形式。

我们可以通过添加适当的常数，将二次项和常数项构成一个完全平方的三项式。

2. 对于二次项和常数项进行配方。

我们可以使用公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2来进行配方。

3. 将二次方程转化为两个含有平方项的简化方程。

通过展开并合并同类项，将配方后的二次方程转化为两个简化方程。

4. 求解简化方程。

由于简化方程中只含有平方项，因此可以更容易地求解。

5. 检验解的合法性。

将求得的解代入原方程中，验证是否满足原方程。

三、例子分析下面我们通过一个具体的例子来演示如何利用配方法解二次方程。

例子：解方程x^2 + 6x - 27 = 01. 将方程写成完全平方的形式，即(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2。

2. 对二次项和常数项进行配方：(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 93. 将方程转化为两个含有平方项的简化方程：(x + 3)^2 - 36 = 0(x - 3)(x + 9) = 04. 求解简化方程：x - 3 = 0 或 x + 9 = 0因此，方程x^2 + 6x - 27 = 0的解为x = 3或x = -9。

5. 检验解的合法性：将x = 3代入原方程得到3^2 + 6*3 - 27 = 0，等式成立。

将x = -9代入原方程得到(-9)^2 + 6*(-9) - 27 = 0，等式成立。

因此，方程x^2 + 6x - 27 = 0的解为x = 3或x = -9。

3．配方法——解一元二次方程(二)预习归纳1．通过配成 解一元二次方程的方法，叫配方法．例题讲解【例】用配方法解方程：⑴ x 2＋2x －3＝0 ⑵ x 2－2x －8＝0基础题训练1．填空： (1) x 2－20x ＋ ＝ (x － ) 2(2) x 2＋ x ＋81＝ (x ＋ ) 2(3) x 2＋5x ＋ ＝ (x ＋ ) 22．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝1，配方后得到的方程是( )A ．(x －2)2＝1B ．(x －2)2＝4C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝33．(2013兰州)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．(2014宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( )A ．x1＝x 2＝1 B ．x 1＝1x 2＝1- C ．x1＝1x 2＝1D ．x 1＝1-+x 2＝1--5．用配方法解方程242203x x --＝变形正确的是( ) A ．21839x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ B ．2203x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ C ．211039x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝ D ．211039x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ 6．填空：(1) x 2－4x ＋ ＝ (x － ) 2 (2) x 2＋6x ＋ ＝ (x ＋ ) 2(3) x 2－43x ＋ ＝ (x － ) 2 (4) x 2－3ax ＋ ＝ (x － ) 2 7．用配方法解下列方程：⑴2ｍ2－6ｍ＋3＝0 ⑵6x 2－x －12＝0中档题训练：8．已知方程260x x q -=＋可以配方成()27x p -＝的形式，那么262x x q -=＋可以配方成下列的( ) A ．()25x p -= B ．()29x p -＝ C ．()229x p -＋＝ D ．()225x p -＋＝ 9．关于x 的一元二次方程()211420m m x x =＋＋＋＋的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝x 2＝1 C ． x 1＝x 2＝－1 D ．无解 10．添上适当的数，使下列等式成立：⑴22x x ＋＋_____＝2(x ＋ )2 ⑵2323x x -＋2＝(x ＋____)2 －11．如果(x －y )2－2(x －y )＋1＝0，那么x 与y 的关系是 ．12．用配方法解下列方程：⑴x 2－2x ＝5； ⑵2244y y -=13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，求y x 的值．综合题训练：14．试证明：不论x ，y 为何值，221x y x y -＋＋＋的值都为正数．。

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。

【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016春•石景山区期末）用配方法解方程：2x 2﹣12x ﹣2=0．【思路点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【答案与解析】解：2x 2﹣12x ﹣2=0， 系数化为1得：x 2﹣6x ﹣1=0， 移项得：x 2﹣6x=1，配方得：x 2﹣6x +9=10，即（x ﹣3）2=10， 开方得：x ﹣3=±， 则x 1=3+，x 2=3﹣．【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 举一反三：【变式】 用配方法解方程 （1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244,p p q p p qx x -+----==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．【思路点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【答案与解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明． 举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238．3. （2015春•宜兴市校级月考）若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是 ． 【答案】；【解析】解：x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4 =（x+b ）2﹣b 2+4； ∴m=﹣b ，k=﹣b 2+4，则k ﹣m=﹣（b ﹣）2+．∵﹣（b ﹣）2≤0， ∴当b=时，k ﹣m 的最大值是． 故答案为：．【总结升华】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 举一反三： 【变式】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.4. 分解因式：42221x x ax a +++-． 【答案与解析】42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2016•新疆）一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x += D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．（2015•河北模拟）把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（ ）A ．8B ．6C ．3D ．2 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 8．（2015•忻州校级模拟）把代数式x 2﹣4x ﹣5化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数， 则4m+k= ．9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程. （1）（2016•安徽）解方程：x 2﹣2x=4． （2）（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．14．分解因式44x +．15．（2015春•龙泉驿区校级月考）当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ．【解析】x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5，x 2﹣6x +9=5+9，（x ﹣3）2=14，故选：A ． 2．【答案】C ； 【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=． 3．【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．4．【答案】D ； 【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -； （2）24p ；2p x +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5=（x ﹣2）2﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1． 故答案为﹣1．9．【答案】4；【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化为4x2-ax+1=4x2-4bx+b2,所以241a bb=-⎧⎨=⎩－解得41ab=⎧⎨=⎩或41ab=-⎧⎨=-⎩所以4ab=.10．【答案】（x-1）2=5；15±．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±. 11．【答案】；2或6.【解析】3x2-2x-3=0化成；即2(-)232aa=-，a=2或6.12.【答案】5；【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．（2015•大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．（2）解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x+=++-22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x=+-=++-+．15. 【答案与解析】解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．。

解二元一次方程配方法解二元一次方程配方法什么是二元一次方程二元一次方程是指形如 ax + by = c 的方程，其中 a、b 是未知数的系数，x、y 是未知数，c 是常数。

解二元一次方程的方法列方程法1.首先将方程中的未知数和常数分别列在等号两边，组成两个单变量方程。

ax + by = c --> ax = c - by 2x - 3y = 4 --> 2x = 4 + 3y2.对两个单变量方程进行进一步化简，得到两个未知数的表达式。

x = (c - by) / ax = (4 + 3y) / 23.令两个表达式相等，解得未知数的值。

(c - by) / a = (4 + 3y) / 24.将解得的未知数代入任意一个原方程中，解得另一个未知数的值。

消元法1.通过乘法或加减法，将两个方程中的一个未知数的系数变得相等或相差为1。

2.将两个方程的对应位置的表达式相减，得到包含另一个未知数的方程。

3.解得该未知数的值。

4.将解得的未知数代入任意一个原方程中，解得另一个未知数的值。

代入法1.选定一个方程，将其中一个未知数用另一个未知数的表达式替代。

2.将代入后的方程化简，得到一个只包含一个未知数的方程。

3.解得该未知数的值。

4.将解得的未知数代入任意一个原方程中，解得另一个未知数的值。

总结解二元一次方程配方法主要有列方程法、消元法和代入法三种方法。

其中，列方程法适用于形如 ax + by = c 的方程；消元法适用于通过变换系数的方式将两个方程中的一个未知数的系数变得相同或相差为1；代入法适用于将一个未知数用另一个未知数的表达式替代后再进行求解。

通过灵活选择合适的方法，我们可以高效地解决二元一次方程。

二元一次方程举例下面我们用实际例子来演示解二元一次方程的配方法。

例子1：2x + 3y = 124x - y = 10列方程法1.将方程中的未知数和常数分别列在等号两边，组成两个单变量方程。

2x = 12 - 3y4x = 10 + y2.对两个单变量方程进行进一步化简，得到两个未知数的表达式。