北师大版九年级数学上菱形的性质与判定课堂

1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。

2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。

1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。

3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。

第一章特殊的平行四边形1 菱形的性质与判定第3课时一、教学目标1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2.运用菱形知识解决具体问题，培养逻辑推理能力和演绎能力.3.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.4.体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会菱形的图形美，提高学生的学习兴趣.二、教学重难点重点：理解并掌握菱形的面积公式.难点：运用菱形的性质定理与判定定理解决具体问题..三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：先提出问题让学生自由说一说，并填写表格，动画出示图形和符号语言.问题1：什么是菱形，菱形的性质有哪些？预设答案：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：①具有平行四边形的所有性质，是轴对称图形②菱形的四条边都相等③菱形的对角线互相垂直且平分追问：菱形的判定方法有哪些？预设答案：菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形②四边都相等的四边形是菱形③对角线互相垂直的平行四边形是菱形【试一试】如图所示：在 ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：_________________ .添加方式2：_________________ .预设答案：方式1：一组邻边相等；方式2：AC⊥BD【合作探究】预设答案：求菜地的面积实际上是求菱形的面积.想一想：菱形的面积怎么求？预设答案：菱形是特殊的平行四边形，可以根据求平行四边形的面积方法来求.教师引导学生作出菱形另一边上的高，并交流反馈.预设答案：过点A作AE⊥BC于点ES菱形ABCD=底×高=BC·AE追问：你还有别的方法吗？教师提示学生，菱形的对角线具有什么样的关系，能否从对角线的角度进行探究.【思考】菱形的对角线互相垂直，能否利用对角线来计算菱形的面积呢？预设答案：每一条对角线将菱形分成两个全等的三角形.解：⊥四边形ABCD是菱形，⊥AC⊥BD,⊥S菱形ABCD=S⊥ABC+S⊥ADC=1122AC BO AC DO ⋅+⋅()1=21=2AC BO DO AC BD +⋅追问：你发现了什么？ 【归纳】求菱形面积的方法：菱形的面积=底×高菱形的面积=对角线乘积的一半.【典型例题】预设答案:重叠的部分ABCD是菱形.思考：说一说你的理由？预设答案：根据纸条的两长边互相平行得ABCD是平行四边形；再由纸条等宽得两条邻边上的高相等，进而利用平行四边形的面积得两邻边相等;从而可证ABCD是菱形.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第9页。

北师大版初三上册1要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些专门性质：1、.菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线互相垂直，同时每一条对角线平分一组对角.3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点确实是对称中心.菱形的面积：（1）一种是平行四边形的面积公式：底×高（2）另一种是两条对角线乘积的一半要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.典型例题：例1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】A【解析】A. 对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；例2、菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_____________。

【答案】16【解析】菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，∴可得边长为4，则菱形周长为16．【点睛】此题要紧考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练把握若菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．例3、菱形的两条对角线长分别是14cm 和20cm ，则它的面积为__．【答案】140cm2【解析】∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴面积S=12×14×20=140(cm2). 例4、如图所示，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝10．求：(1)AB 的长．(2)菱形ABCD 的面积．解：(1)∵ 四边形ABCD 是菱形．∴ AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，OB ＝12BD ．又∵ AC ＝8，BD ＝10．∴ AO ＝12×8＝4，OB ＝12×10＝5．在Rt △ABO 中，222AB OA OB =+ (2)由菱形的性质可知： 118104022S AC BD ==⨯⨯=菱形ABCD ． 例5、菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________． 解：设该菱形为ABCD ，对角线相交于O ，AC ＝8，BD ＝6，由菱形性质知：AC 与BD 互相垂直平分，例6、菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.21B.4 C .1 D .2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1.例7、如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB=5，AC =6，BD=8．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．【答案】(1)证明见解析(2) 245【解析】试题分析：（1）由平行四边形的对角线互相平分得到△AOB 的两条边OA、OB的长度，则依照勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角线互相垂直平分，故四边形ABCD是菱形．（2）依照菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积=菱形的面积，可求解.试题解析：（1）证明：∵在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，∴AO=AC=3，BO=BD=4，∵AB=5，且32+42=52，∴AO2+BO2=AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=5，∵S△ABC=AC•BO=BC•AH，∴×6×4=×5×AH，解得：AH=．例8、在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D.（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF,求证：四边形ABCD是菱形.【解析】试题分析：（1）依照平行线的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）依照角平分线的性质和菱形的判定证明即可．试题解析：（1）∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，在△ADC与△ABC中，∴△ADC≌△ABC（AAS），∴AB=DC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，∵PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．课后习题：1．在下列说法中，菱形对角线不具有的性质是( )A. 对角线互相垂直；B. 对角线所在的直线是对称轴；C. 对角线相等；D. 对角线互相平分．【解析】菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线确实是菱形的一条对称轴，故选C.2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=2，则菱形ABCD的周长为（）A. 12B. 16C. 8D. 4【解析】试题解析：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOB为直角三角形．∵OE=2，且点E为线段AB的中点，∴AB=2OE=4．C菱形ABCD=4AB= 4×4=16．故选B．3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（）A. 96cm2B. 48cm2C. 24cm2D. 12cm2【答案】A如图，设3AO xcm = ， 4BO xcm = .∵菱形的周长为40cm ，有勾股定理得， ()()2223410x x += ，21=1216=96cm 2S ∴⨯⨯菱形 ,故选A. 4．菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_____________。