第10讲 3.1 轴向拉伸和压缩时的内力

第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。

(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。

这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。

2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。

它通过截面形心，与横截面相垂直。

拉力为正，压力为负。

3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。

与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。

轴拉（压）杆横截面上只有正应力。

4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。

5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。

6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。

7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。

极限应力与许用应力的比值称为安全系数。

8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。

用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。

求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。

画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。

2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。

泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。

第五章 轴向拉伸与压缩一、轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。

这种杆件称为拉压杆。

二、轴力及轴力图杆件在外力作用下将发生变形，同时杆件内部各部分之间产生相互作用力，此相互作用力称为内力。

对于轴向拉压杆，其内力作用线与轴线重合，此内力称为轴力。

轴力拉为正，压为负。

为了表现轴向拉压杆各横截面上轴力的变化情况，工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。

三、横截面上的应力根据圣文南原理，在离杆端一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也应是均匀的，并垂直于横截面，此即为正应力。

设杆的横截面面积为Ａ，则有AF N =σ 工程计算中设定拉应力为正，压应力为负。

四、强度条件工程中为各种材料规定了设计构件时工作应力的最高限度，称为许用应力，用［σ］表示。

轴向拉伸（压缩）强度条件为[]σσ≤=AF N用强度条件可解决工程中三个方面的强度计算问题，即：（1）强度校核；（2）设计截面；（3）确定许可载荷。

五、斜截面上的应力与横截面成θ角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力σ的关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θστθσσθθ2sin 2)2cos 1(2 由上式可知，当θ＝０°时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。

当θ＝±４５°时，切应力达到极值。

六、拉压变形与胡克定律等值杆受轴向拉力Ｆ作用，杆的原长为l ，横截面积为Ａ，变形后杆长由l 变为l ＋△l ，则杆的轴向伸长为EAFl l =∆ 用内力表示为EAl F l N =∆ 上式为杆件拉伸（压缩）时的胡克定律。

式中的Ｅ称为材料的拉伸（压缩）弹性摸量，ＥＡ称为抗拉（压）刚度。

用应力与应变表示的胡克定律为σ＝Ｅε在弹性范围内，杆件的横向应变ε‘和轴向应变ε有如下的关系：μεε-='式中的μ称为泊松比。

§3—1 轴向拉伸和压缩时的内力一、 轴向拉伸和压缩的概念 沿杆件轴线作用一对大小相等、方向相反的外力，杆件将发生轴向伸长（或缩短）变形，这种变形称为轴向拉伸（或压缩）。

（图3-1a 、b ）。

产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。

图3－1a图3－1b二、 用截面法计算轴向拉（压）杆的内力内力指杆件本身一部分与另一部分之间的相互作用力。

要确定杆件某一截面中的内力，可以假想地将杆件沿需求内力的截面截开，将杆分为两部分，并取其中一部分作为研究对象。

此时，截面上的内力被显示了出来，并成为研究对象上的外力。

再由静力平衡条件求出此内力。

这种求内力的方法，称为截面法。

现以图3-2a 所示拉杆为例确定杆件任一横截面mm 上的内力。

运用截面法，将杆沿截面mm 截开，取左段为研究对象（图3-2b ）。

考虑左段的平衡，可知截面mm 上的内力必是与杆轴相重合的一个力N，且由平衡条件∑=0X 可知P N =，其指向背离截面。

若取右段为研究对象，如图3-2c 所示，同样可得出相同的结果。

图3－2a图3－2b由此可知，轴向拉压杆件的内力是与轴线重合的力，故称它为轴力，用N 表示。

当杆件受拉时，轴力为拉力，其方向背离截面；当杆件受压时，轴力为压力，其方向指向截面。

规定：拉力用正号表示，压力用负号表示。

轴力的单位为N 或KN 。

例3-1杆件受力如图3-3a 所示，在力321P P P 、、作用下处于平衡状态。

已知KN P 81=，KN P KN P 21032==，，求杆件AB 和BC 段的轴力。

图3－3a图3－3b图3－3c图3－3d解 （1） 求AB 段的轴力用11-截面在AB 段内将杆截开，取左段为研究对象（图3-3b ），以1N 表示截面轴力，并假定为拉力，写出平衡方程∑=0X ， 011=-P N所以 KN P N 811==得正号，说明假定方向与实际方向相同，AB 段的轴力为拉力。

（2） 求BC 段的轴力用2-2截面在BC 段内将杆截开，取左段为研究对象（图3-3c ），以2N 表示截面轴力，写出平衡方程∑=0X ， 0212=+-P P N得 KN P P N 2108212-=-=-= 负号说明假设方向与实际方向相反，BC 段轴力实际为压力。

§3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图课时计划：讲授3学时教学目标：1.本节课以拉压杆件为例，分析在外力作用下产生的内力。

2.使学生理解并掌握采用截面法计算轴力的方法。

教材分析:1.重点为分析拉压变形受力和变形的特点；2.难点是利用截面法计算拉压杆上的轴力并绘制出轴力图。

教学设计：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。

以拉压变形的杆件为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析杆件上的轴力，掌握轴力计算方法及正负号的规定，进而掌握轴力图的绘制方法。

教学过程：第1学时教学内容：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，以拉压变形的杆件为例分析其受力和变形的特点，全面理解轴向拉伸和压缩的概念。

1．外力和内力的概念如图3-1a所示的构件在力F、B F、P F的作用下处于平A衡。

无论这些力是主动力还是约束力，都是构件受到其他物体的作用力，称为外力。

为了维持构件各部分之间的联系，保持构件的形状和尺寸，构件内部各部分之间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。

在外部载荷作用下，构件内部各部分之间相互作用的内力也随之改变，这个因为外部载荷作用而引起构件内力的改变量，称为附加内力。

在材料力学中，该附加内力简称内力。

2．截面法计算内力为了确定构件的承载能力，需要分析内力。

为此假想用平面n-n将构件截成两段（图3-1b、c），垂直于构件轴线假想截开的剖面，称为横截面，简称截面。

利用截面将构件截开，分析截面内力的方法，称为截面法。

3．轴向拉伸和压缩的概念直杆受到与其轴线重合的外力，就会发生沿轴线方向的伸长或缩短变形。

如图3-2a所示的吊车吊起重物时，CD杆是受拉伸的二力杆。

图3-2b的螺旋夹具，旋紧螺杆加紧工件后，螺杆的上段受压。

第2学时教学内容：本次课讲解拉压变形杆件的轴力计算方法。

分析发生此变形所受外力的特点，利用截面法计算轴上产生的轴力，根据平衡条件建立轴力与外力的关系。

轴向拉伸和压缩时横截面上的内力教学目标一、知识目标1．外力、内力及相互的关系。

2．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力。

3．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力的计算方法-----截面法。

4．绘制各截面的轴力图。

二、能力目标在理论力学的基础上，学会在材料力学中分析构件的内力，为分析材料的力学性能打好基础。

培养学生灵活分析和解决问题的能力。

三、德育目标培养学生辩证唯物主义观点，安全操作和生产的重要性及明确具体问题具体分析的思维能力。

教学重点1、外力与内力的关系;2、轴向拉伸和压缩时横截面上的内力;3、截面法;4、绘制各截面的轴力图。

教学难点1.轴向拉伸和压缩时横截面上的内力;2.截面法。

教学方法讲练法、归纳法、课件演示。

教学用具计算机、投影仪、弹簧拉力器、构件等。

教学课时2学时。

教学步骤一、复习旧课，导入新课1．以提问的方式，让学生回答力的定义，力的效应，力的相互作用，物体受力分析的方法，拉伸和压缩时构件的受力特点和变形特点。

2．学生回答问题后，老师进行评价和纠正。

3．新课引入：通过理论力学中已学习的外效应（外力）引出材料力学中将要学习的内效应（内力）；通过理论力学中已学习的物体受力分析的方法（隔离法）引出材料力学中将要学习的内力的求法截面法；通过生活和工程中的具体例子，如弹簧拉力器，连接螺栓、起重机支褪等所运用的力学原理引出本节课。

二、新课教学（一）用投影片出示本节课的学习目标：1．外力与内力的关系。

2．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力。

3．轴向拉伸和压缩时横截面上的内力的计算方法-----截面法。

4．绘制各截面的轴力图。

（二）学习目标完成过程：（1）用投影片出示；（2）老师分析讲解。

轴向拉伸和压缩时横截面上的内力举例连接螺栓弹簧拉力器起重机支褪一、外力、内力1.外力：是指由其他物体施加的力或由物体本身的质量引起的力。

外力的正负号取决于所建立的坐标系，与坐标轴同向为正，反向为负。

2.内力：是指在外力作用下物体内各个部分之间的作用力----可理解为材料颗粒之间因相对位置改变而产生的相互作用力。