贵州省盘州市第一中学2019-2020学年高考数学押题试卷含解析含解析【加15套高考模拟卷】

贵州省高考数学适应性试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．已知数列{an }满足an=an+1，若a3+a4=2，则a4+a5=（）A．B．1 C．4 D．84．已知向量与不共线，且向量=+m， =n+，若A，B，C三点共线，则实数m，n（）A．mn=1 B．mn=﹣1 C．m+n=1 D．m+n=﹣15．执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．286．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B．C．5 D．7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B．C．D．28．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜29．已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B．C． D．10．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C（t）与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B．C．D．212．已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f （x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8）B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）= ．14．（x+a）4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为．15．设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V 的最大值为，则此时球的表面积为．16．已知数列{an}满足a1=﹣40，且nan+1﹣（n+1）an=2n2+2n，则an取最小值时n的值为．三、解答题（本题共70分）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．（1）求tanB及边长a的值；（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．18．（12分）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表PM2.5日平均浓度（微克/立方米）[0，20]（20，40]（40，60]（60，80]（80，100]频数（天）23465（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：满意度等级非常满意满意不满意PM2.5日平均浓度（微克/立方米）不超过20大于20不超过60超过60记事件C：“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．19．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A﹣DE﹣C的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（1，）在椭圆E 上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．（1）求E的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y ﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：e x＞f′（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）曲线C的参数方程为（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负1半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为α（＜α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a2+b2=6，求证：g（a）+g（b）≤m．贵州省高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x|x≥1}，则M∩N={x|1≤x＜2}故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵y=（2x+i）（1﹣i）=2x+1+（1﹣2x）i，∴，解得y=2故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题．3．已知数列{an }满足an=an+1，若a3+a4=2，则a4+a5=（）A．B．1 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据已知条件可以求得公比q=2．【解答】解：∵数列{an }满足an=an+1，∴=2．则该数列是以2为公比的等比数列．由a3+a4=2，得到：4a1+8a1=2，解得a1=，则a4+a5=8a1+16a1=24a1=24×=4，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．4．已知向量与不共线，且向量=+m， =n+，若A，B，C三点共线，则实数m，n（）A．mn=1 B．mn=﹣1 C．m+n=1 D．m+n=﹣1【考点】平行向量与共线向量．【分析】由题意可得∥，再根据两个向量共线的性质可得=，由此可得结论．【解答】解：由题意可得∥，∴=λ•，故有=，∴mn=1，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（）A．0 B．7 C．14 D．28【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=28，b=28时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=56，b=140，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=140﹣56=84，满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=84﹣56=28，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=56﹣28=28，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值为28．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（）A．4 B．C．5 D．【考点】进行简单的演绎推理．【分析】根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论．【解答】解：根据题意，由祖暅原理，分析可得图1的面积等于图2梯形的面积，又由图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，其面积S==；故选：B．【点评】本题考查演绎推理的运用，关键是理解题目中祖暅原理的叙述．7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】分析三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，并求出面积，可得答案．【解答】解：设棱长为1，则三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为：；三棱锥P﹣BCD的俯视图取最大面积时，P在A处，俯视图面积为：；1故三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，根据已知分析出三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的形状，是解答的关键．8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜2【考点】正弦定理．【分析】由题意判断出三角形有两解时A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可．【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a==2sinA，∵2sinA∈（2，2）．∴a的取值范围是（2，2）．故选：C．【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．9．已知区域Ω={（x，y）||x|≤，0≤y≤}，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，若在区域Ω内随机取一点P，则点P在区域A的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出A的面积，然后由概型公式求概率．【解答】解：由已知得到事件对应区域面积为=4，由直线x=﹣，x=，曲线y=cosx与x轴围成的封闭图象所表示的区域记为A，面积为2=2sinx|=，由急火攻心的公式得到所求概率为：；故选C【点评】本题考查了几何概型的概率求法；明确几何测度是关键．10．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10℃，令C（t）表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C（t）与t之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象的对称关系和条件可知C（6）=0，C（12）=10，再根据气温变化趋势可知在前一段时间内平均气温大于10，使用排除法得出答案．【解答】解：∵气温图象在前6个月的图象关于点（3，0）对称，∴C（6）=0，排除D；注意到后几个月的气温单调下降，则从0到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除C；∵该年的平均气温为10℃，∴t=12时，C（12）=10，排除B；故选A．【点评】本题考查了函数图象的几何意义，函数图象的变化规律，属于中档题．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则si nα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．12．已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f （x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（7，8）B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）+g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，由f（x）+g（x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥．由图象知要使函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，∴，解得：b∈（7，8）故选：A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于难题．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）= ﹣5 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）．【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），所以∀x∈R，都有（﹣x﹣a）•（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3），即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a，所以a=3，所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14．（x+1）（x+a）4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用（x+1）（x+a）4=（x+1）（x4+4x3a+…），进而得出．【解答】解：（x+1）（x+a）4=（x+1）（x4+4x3a+…），∵展开式中含x4项的系数为9，∴1+4a=9，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的展开式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．设A，B是球O的球面上两点，∠AOB=，C是球面上的动点，若四面体OABC的体积V 的最大值为，则此时球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的体积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC =VC﹣AOB=×R2×sin60°×R=，故R=3，则球O的表面积为4πR2=36π，故答案为：36π．【点评】本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大是关键．属于中档题16．已知数列{an }满足a1=﹣40，且nan+1﹣（n+1）an=2n2+2n，则an取最小值时n的值为10或11 ．【考点】数列递推式．【分析】nan+1﹣（n+1）an=2n2+2n，化为﹣=2，利用等差数列的通项公式可得an，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵nan+1﹣（n+1）an=2n2+2n，∴﹣=2，∴数列{}是等差数列，首项为﹣40，公差为2．∴=﹣40+2（n﹣1），化为：an=2n2﹣42n=2﹣．则an取最小值时n的值为10或11．故答案为：10或11．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分）17．（12分）（2017•贵州模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=4，bsinA=3．（1）求tanB及边长a的值；（2）若△ABC的面积S=9，求△ABC的周长．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（1）由acosB=4，bsinA=3，两式相除，结合正弦定理可求tanB=，又acosB=4，可得cosB＞0，从而可求cosB，即可解得a的值．（2）由（1）知sinB=，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，从而解得三角形周长的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由acosB=4，bsinA=3，两式相除，有==•=•=，所以tanB=，又acosB=4，故cosB＞0，则cosB=，所以a=5．…（6分）（2）由（1）知sinB=，由S=acsinB，得到c=6．由b2=a2+c2﹣2accosB，得b=，故l=5+6+=11+即△ABC的周长为11+．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2017•贵州模拟）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表PM2.5日平[0，20]（20，40]（40，60]（60，80]（80，100]均浓度（微克/立方米）频数（天）23465（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：满意度等级非常满意满意不满意PM2.5日平均浓度（微克/立方米）不超过20大于20不超过60超过60记事件C：“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表能作出相应的频率分组直方图，由频率分布直方图能求出结果．（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B 1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，由此能求出事件C的概率．【解答】解：（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下图：由频率分布直方图得：甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，P（C）=P（B1A1∪B2A2）=P（B1）P（A1）+P（B2）P（A2），由题意P（A1）=，P（A2）=，P（B1）=，P（B2）=，∴P（C）=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件加法公式和相互独立事件事件概率乘法公式的合理运用．19．（12分）（2017•贵州模拟）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，将△ABC沿中位线DE翻折得到如图2所示的空间图形，使二面角A﹣DE﹣C的大小为θ（0＜θ＜）．（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）若θ=，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：DE⊥平面ADB，DE∥BC，可证BC⊥平面ABD，即可证明平面ABD⊥平面ABC．（2）取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0），利用平面ABC的法向量求解．【解答】（1）证明：由题意，DE∥BC，∵DE⊥AD，DE⊥BD，AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∴BC⊥平面ABD；∵面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC；（2）由已知可得二面角A﹣DE﹣C的平面角就是∠ADB设等腰直角三角形ABC的直角边AB=4，则在△ADB中，AD=DB=AB=2，取DB中点O，AO⊥DB，由（1）得平面ABD⊥平面EDBC，∴AO⊥面EDBC，所以以O为原点，建立如图坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（﹣1，2，0）设平面ABC的法向量为，，．由，取，}，∴直线AE与平面ABC所成角的θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为：【点评】本题考查线面垂直，考查向量法求二面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2017•贵州模拟）已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点P （1，）在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点．（1）求E的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意的离心率公式求得a=c，b2=a2﹣c2=c2，将直线方程代入椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得•为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由y=k（x﹣1）代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线AB的斜率不存在时，也成立．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e==，则a=c，由b2=a2﹣c2=c2，将P（1，）代入椭圆方程，解得：c=1，a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（2）在x轴上假设存在定点M（m，0），使得•为定值．若直线的斜率存在，设AB的斜率为k，F（1，0），由，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x 1+x2=，x1x2=，y 1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2+1﹣（x1+x2）]=k2（+1﹣）=﹣，则•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+m2﹣m（x1+x2）+y1y2，=+m2﹣m•﹣=，欲使得•为定值，则2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得：m=，此时•=﹣2=﹣；当AB斜率不存在时，令x=1，代入椭圆方程，可得y=±，由M（，0），可得•=﹣，符合题意．故在x轴上存在定点M（，0），使得•=﹣．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•贵州模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直．（1）求a的值和f（x）的单调区间；（2）求证：e x＞f′（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用导数求解单调区间．（2）要证e x＞f′（x），即证e x＞lnx+2，x＞0时，易得e x＞x+1，即只需证明x＞lnx+1即可【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1+a，f′（1）=1+a=2，解得：a=1，故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2，故f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增；（2）要证e x＞f′（x），即证e x﹣lnx﹣2＞0，即证e x＞lnx+2，x＞0时，易得e x＞x+1，即只需证明x+1≥lnx+2即可，即只需证明x＞lnx+1即可令h（x）=x﹣lnx+1，则h′（x）=1﹣，令h′（x）=0，得x=1h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=0．即x+1≥lnx+2成立，即e x＞lnx+2，∴e x＞f′（x）．【点评】本题考查了导数的综合应用，构造合适的新函数，放缩法证明函数不等式，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•贵州模拟）曲线C1的参数方程为（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过原点且倾斜角为α（＜α≤）的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ；曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，普通方程为：y=x2；（2）射线l的参数方程为（t为参数，＜α≤）．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣4tcosα=0，解得t1=0，t2=4cosα．∴|OA|=|t2|=4cosα．把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，解得t1=0，t2=．∴|OB|=|t2|=．∴|OA|•|OB|=4cosα•=4tanα=4k．∵k∈（，1]，∴4k∈（，4]．∴|OA|•|OB|的取值范围是（，4]．【点评】本题考查参数方程与极坐标与普通方程的互化，考查参数的几何意义的应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•贵州模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a2+b2=6，求证：g（a）+g（b）≤m．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）化简f（x）的解析式，得出f（x）的单调性，利用单调性求出f（x）的最小值；（2）计算[g（a）+g（b）]2，利用基本不等式即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|=，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[5，+∞）上单调递增，∵f（1）=4，f（5）=4，∴f（x）的最小值为4．（2）证明：由（1）可知m=4，g（a）+g（b）=+，∴[g（a）+g（b）]2=1+a2+1+b2+2=8+2，∵≤=4，∴[g（a）+g（b）]2≤16，∴g（a）+g（b）≤4．【点评】本题考查了函数的单调性，分段函数的最值计算，基本不等式的应用，属于中档题．。

专题19 高考数学仿真押题试卷（十九）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合[1A =-，1]，，则(AB = )A ．(0,1)B ．(0，1]C ．(1,1)-D ．[1-，1]【解析】解：(0,1)B =；．【答案】A ．2．已知z 的共轭复数是z ，且为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】解：设，，∴，∴，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，复数z 在复平面内对应的点为3(,2)2-，此点位于第四象限．【答案】D ．3．已知向量(1,3)a =，||3b =，且a 与b 的夹角为3π，则|2|(a b += )A ．5B C ．7D ．37【解析】解：由题可得：向量(1,3)a =，||2a =，所以，所以，．【答案】B ．4．已知函数，若，则实数a 的取值范围是( )A ．[2-，1]B ．[1-，2]C ．(-∞，2][1-，)+∞D ．(-∞，1][2-，)+∞【解析】解：函数，在各段内都是减函数，并且01e -=，，所以()f x 在R 上递减，又，所以，解得：21a -剟， 【答案】A ．5．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的(n )A ．50B ．53C ．59D ．62【解析】解：【方法一】正整数n 被3除余2，得32n k =+，k N ∈； 被8除余5，得85n l =+，l N ∈； 被7除余4，得74n m =+，m N ∈； 求得n 的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图， 则输出n 的结果为按程序框图知n 的初值为1229，代入循环结构得，即输出n 值为53． 【答案】B ．6．已知函数，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【解析】解：，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，所以，即6m k ππ=+，k Z ∈，又0m >，所以当0k =时，m 最小为6π． 【答案】A ．7．已知命题p ：函数21()21x x f x -=+是定义在实数集上的奇函数；命题q ：直线0x =是13()g x x =的切线，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧B ．q ⌝C ．()p q ⌝∧D ．p ⌝【解析】解：，即()f x 是奇函数，故命题p 是真命题，函数的导数，当0x =时，()g x '不存在，此时切线为y 轴，即0x =，故命题q 是真命题，则p q ∧是真命题，其余为假命题， 【答案】A ．8．已知双曲线的渐近线与相切，则双曲线的离心率为(= )A ．2B C D 【解析】解：取双曲线的渐近线by x a=，即0bx ay -=． 双曲线22221(x y a b-= 0a >，0)b >的渐近线与相切，∴圆心(2,0)到渐近线的距离d r =， ∴1=，化为2b c =，两边平方得，化为2234c a =．∴c e a =【答案】D ．9．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是( )A ．dB ．fC ．eD ．#d【解析】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由，解得7n =，频率为的音名是(#d )， 【答案】D ． 10．函数的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：当0x <时，，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，f （2）230e =-<，故可排除D ． 【答案】A ．11．利用Excel 产生两组[0，1]之间的均匀随机数：(a rand = )，(b rand = )：若产生了2019个样本点(,)a b ，则落在曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为( ) A ．673B ．505C ．1346D ．1515【解析】解：由曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形的面积为，所以，则落在曲线1y =、y 0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为，【答案】A ．12．已知点P 为直线:2l x =-上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，则12(x x = )A ．2B ．24pC ．2pD ．4【解析】解：不妨设(2,0)P -，过P 的切线方程设为(2)y k x =+， 代入抛物线方程得，又0k ≠，故124x x =．【答案】D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若整数x 、y 满足不等式组，则y z x =的最小值为 12． 【解析】解：整数x 、y 满足不等式组的可行域如图：三角形区域内的点(2,1)A 、(2,2)B 、(2,3)C 、(1,2)D ，AO 连线的斜率是最小值．则y z x =的最小值为：12． 故答案为：12．14．已知椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C 内切于点P ，则12PF F S= ．【解析】解：椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C内切于点P ， 可得1b c ==， 所以．故答案为：1．15．定义在R 上的函数()f x 满足，若，且(2)2gl n =-，则1()2g ln = ． 【解析】解：根据题意，，则，变形可得，，又由122ln ln =-，且，则，则；故答案为：4．16．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若，则m 的取值范围为．【解析】解：由O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心， 则点O 为三角形三边中垂线的交点， 由向量投影的几何意义有：，则， 所以则，由正弦定理得：，所以，所以2sin m A =， 又[3A π∈，)2π，所以m ∈2)，故答案为：，2)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若AC ABC ∆的面积；（2）若，4AD =，求CD 的长．【解析】解：（1）在ABC ∆中，，，解得BC ，∴．（2），∴，∴在ABC∆中，，∴，，∴CD=18．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：参考数据：【解析】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，由题意知，从示范性高中抽取（人)，从非示范性高中抽取（人)；（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有（人)，且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下；计算，所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．已知点(0,2)P，点A，B分别为椭圆的左右顶点，直线BP交C于点Q，ABP∆是等腰直角三角形，且35PQ PB=．（1）求C的方程；（2）设过点P 的动直线l 与C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点．当MON ∠为直角时，求直线l 的斜率． 【解析】解：（1）由题意ABP ∆是等腰直角三角形，则2a =，(2,0)B ， 设点0(Q x ，0)y ，由35PQ PB =，则065x =，045y =，代入椭圆方程解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=．（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，令l 的方程为2y kx =+， 则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得， ∴△，解得234k >， ，，当MON ∠为直角时，1OM ON k k =-，，则，解得24k =，即2k =±，故存在直线l 的斜率为2±，使得MON ∠为直角． 20．如图，在直三棱柱中，ABC ∆是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1AA 的上一点．（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ； （2）若二面角1D BC C --，求AD 的长．【解析】解：（1）证明：由题意：BC AC ⊥且1BC CC ⊥，，BC ∴⊥平面11ACC A ，则1BC DC ⊥． 又D 是1AA 的中点，AC AD =，且90CDA ∠=︒，，同理．，则1DC DC ⊥，1DC ∴⊥平面BCD ；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设AD h =，则(1D ，0，)h ，(0B ，1，0)，1(0C ，0，2)．由条件易知CA ⊥平面1BC C ，故取(1m =，0，0)为平面1BC C 的法向量． 设平面1DBC 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则n BD ⊥且1n BC ⊥，，，∴，取1z =，得．由，解得12h =，即12AD =．21．已知函数在0x x =处取得极小值1-．（1）求实数a 的值； （2）设，讨论函数()g x 的零点个数．【解析】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，，函数在0}x x =处取得极小值1-，∴，得01,1a x =-⎧⎨=⎩当1a =-时，()f x lnx '=，则(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，1x ∴=时，函数()f x 取得极小值1-， 1a ∴=-（2）由（1）知，函数，定义域为(0,)+∞，，令()0g x '<，得0x <令()0g x '>，得x >()g x在上单调递减，在)+∞上单调递增，当x ()g x 取得最小值2eb -， 当02e b ->，即2eb >时，函数()g x 没有零点； 当02e b -=，即2eb =时，函数()g x 有一个零点；当02eb -<，即02e b <<时，g （e ）0b =>，g g ∴（e ）0<存在1x ∈)e ，使1()0g x =，()g x ∴在)e 上有一个零点1x设，则，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h ∴>（1）0=，即当(0,1)x ∈时，11lnx x>-， 当(0,1)x ∈时，，取{m x min b =，1}，则()0m g x >，，∴存在2(m x x ∈，，使得2()0g x =，()g x ∴在(m x 上有一个零点2x ，()g x ∴在(0,)+∞上有两个零点1x ，2x ，综上可得，当2eb >时，函数()g x 没有零点； 当2eb =时，函数()g x 有一个零点； 当02eb <<时时，函数()g x 有两个零点． 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足，点B 的轨迹为2C ．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为(2,)2π，求ABC ∆面积的最小值．【解析】解：（1）曲线1C 的参数方程为为参数），∴曲线1C 的普通方程为，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．设B 的极坐标为(,)ρθ，点A 的极坐标为0(ρ，0)θ， 则||OB ρ=，0||OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=，，08ρρ∴=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，2C ∴的极坐标方程为cos 4ρθ=（2）由题意知||2OC =，，当0θ=时，S ABC 取得最小值为2． [选修4-5：不等式选讲]． 23．已知函数的最小值为t ．（1）求实数t 的值； （2）若，设0m >，0n >且满足，求证：．【解析】解：（1），显然，()f x 在(-∞，1]上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，（1）2=-，2t ∴=-， 证明（2），，由于0m >，0n >，且1122m n+=，，当且仅当22n mm n=，即当12n =，1m =时取“=”， 故。

数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}1,2,3{}3,4{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.B.1y x =-2ln y x=C. D.32y x =e xy x =3.已知等差数列满足，则（）{}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为A ()2:20C y px p =>A A x 4，则（ ）p =A.1或2 B.2或4 C.2或8 D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“()23f x -[]2,3()f x (),21x A f -B ”是“”的（ ）x A ∈x B ∈A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x 是奇函数，则的最小值为（）()h x ()f x A. B.C.D.e2e7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）51x ⎫+⎪⎭A. B. C. D.253513238.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径221:220C x y x y +--=x y M N 2C为，且与圆相外切，则的最大值为（）1C22C M C N ⋅A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）X ,m n X 20242025Pm nA. B.服从两点分布1m n +=X C.D.()20242025E X <<()D X mn=10.已知函数，下列说法正确的是（ ）()()214log 21f x ax ax =-+A.的定义域为，当且仅当()f x R 01a <<B.的值域为，当且仅当()f x R 1a C.的最大值为2，当且仅当()f x 1516a =D.有极值，当且仅当()f x 1a <11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足R ()f x ()g x ()f x '()g x '，且为奇函数，则下列说法正确的是（）()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +A.B.的图象关于直线对称()00f =()g x 2x =C.的一个周期是4 D.()f x 20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.()0,0(0x y a a =>1)a ≠13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==则的最大值为__________.()()()112233x f x x f x x f x ++四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形n n n a 中实心区域的面积为.nb （1）写出数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）设，证明.121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，111A B C ABC -111A B C ABC 为线段的中点，为线段上的点.111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC HBC （1）若点为线段的中点，求证：平面；H BC 1A B ∥1C GH （2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角1C GH 111A B C ABC -2:5的正弦值.11C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m -=M 的焦距为.()2,2,N （1）分别求和的方程；M N （2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D ，，判断l M ,A B N C ABCD=直线与圆的位置关系.l 222:O x y a +=18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠22⨯0.01α=产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；P （ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人P 注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.3sin33sin 4sinθθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<（i ）求的取值范围；a （ii ）若，证明：.1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义1y x =-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，的定义域为，该函数在定()0,∞+32y x==[)0,∞+义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定()1,x ∞∈-+0y '>xe y x ∴=(),1∞--()1,∞-+义域内不单调，故选C.3.，故选B.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= 4.设点，则整理得，解得或，故选C.()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =5.的定义域为.当时，的定义域为，()23f x - []2,323x ()1233,x f x -∴ []1,3即.令，解得的定义域为，即.[]1,3A =1213x- ()12,21x x f ∴- []1,2[]1,2B =“”是“”的必要不充分条件，故选B.,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x x f x -=+，当且仅当，即时，等号成立，()3e2e xxf x -=+3e 2e x x -=12ln 23x =C.min ()f x ∴=7.设的二项展开式的通项公式为，51x ⎫+⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有3,4,50,2,4k =1,3,5k =理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.223326C C 2C 5+=8.由题，，即圆心为，且，为的221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C()()2,0,0,2M N MN 1C 直径.与相外切，由中线关系，有1C 2C 12C C ∴==，当且()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.22C M C N=22C M C N⋅二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 对于D 选项，令，则服从两点分布，，2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn=-=，正确，故选ACD.()()()2024D X D Y D Y mn∴=+==10.令，对于A 选项，的定义域为或()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R ，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩ ()f x ()g x ⇔R ，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩ ()f x ()2g x ⇔为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔且，故D 选项错误，故选BC.()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得()1g x +()10g =()()11g x f x --=，故A 错误；对于B 选项，由可得()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'为常数，又由，可得，则()()3,f x g x C C=++()()11g x f x --=()()11g x f x --=，令，得，所以，所以()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +所以，所以，所以()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=是一个周期为4的周期函数，，()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以()f x ()1g x +，又，又是周期为4的周期函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x ，故D 正确，故选BCD.20251()(1)0k g k g ===∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e 6-【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln xy a a x =⋅(),tt a ln t ta a t a ⋅=切点纵坐标为.1log e,ln a t a ==∴elog e t a a a==13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其22A 13C 余元素共有种排法，故共有种不同的方案.44A 214234A C A 144⋅⋅=14.设，由的函数图象知，，又，()()()123f x f x f x t===()f x 23t < 1232,ln x x x t +=-=.令()()()3112233e ,2e t tx x f x x f x x f x t t =∴++=-+在上单调递增，则()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ (]2,3，的最大值为.()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；{}n a 11133n n n a --=⨯=数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.{}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为，2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，所以.413n n c a <43n n na c a < 16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，1A C 11A C C G O⋂=1,HO A G三棱台，则，又，111A B C ABC -11A C ∥AC 122CG AC ==四边形为平行四边形，∴11A C CG 则.1CO OA =点是的中点，H BC .1BA ∴∥OH 又平面平面，OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 平面.1A B ∴∥1C HG （2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，1C GH 111A B C ABC -2:5所以，11127C GHC AB V V B C ABC-=-即，()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅++⋅ 化简得，12GHC ABC S S =此时点与点重合.H B ，1190C CA BCC ∠∠== 且都在平面，则平面，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC 又为等腰直角三角形，则.ABC BG AC ⊥又由（1）知，则平面，1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC 建立如图2所示的坐标系,G xyz -则，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --设平面的法向量，1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 则令，解得，220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 设平面的法向量，1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 则令，解得.20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 设二面角的平面角为，11C GH B --θ，cos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== 所以，sin θ==所以二面角.11C GH B --17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为N =解得，即双曲线.21m =22:12y N x -=因为双曲线与双曲线的离心率相同，M N 不妨设双曲线的方程为，M 222y x λ-=因为双曲线经过点，所以，解得，M ()2,242λ-=2λ=则双曲线的方程为.M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为l l ，()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+联立消去并整理得22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=此时可得，()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <当时，由韦达定理得；2λ=212122224,22kt t x x x x k k --+==--当时，由韦达定理得，1λ=234342222,22kt t x x x x k k --+==--则，ABCD====化简可得，222t k +=由（1）可知圆，22:2O x y +=则圆心到直线的距离，Ol d ====所以直线与圆相切或相交.l O 18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；[)0,200.00252020010⨯⨯=在）内有（只）；[20,400.006252020025⨯⨯=在）内有（只）；[40,600.008752020035⨯⨯=在）内有（只）；[60,800.025********⨯⨯=在内有（只）[]80,1000.00752020030⨯⨯=由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），10253570++=所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.0H 根据列联表中数据，得.220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.0.01α=（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”A =B =，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.C =记事件发生的概率分别为，则，,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====.()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.0.9P =（ii ）由题意，知随机变量，()100,0.9X B ~所以.()1000.990E X np ==⨯=又，设时，最大，()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得，因为是整数，所以.089.990.9k 0k 090k =19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--.()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，()233f x x a =-'当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；0a ()0f x ' ()f x (),∞∞-+当时，令，得；令，得0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<令，得()0f x '>x <x>所以在上单调递减，在上单调递增.()f x ((),,∞∞-+有三个零点，则即解得，()fx (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<当时，，04a <<4a +>且，()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a+=+-++=++++>所以在上有唯一一个零点，()fx )4a +同理()2220,g a -<-=-=-<所以在上有唯一一个零点.()f x (-又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，()f x (()f x 综上可知的取值范围为.a ()0,4（ii ）证明：设，()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---则.()212301f a x x x ==-=又，所以.04a <<1a =此时，()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>方程的三个根均在内，3310x x -+=()2,2-方程变形为，3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令，则由三倍角公式.ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=因为，所以.3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ，b ，c 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅+=B ．()0a b c ⋅-=C ．()0a b c +⋅=D ．()0a b c -⋅=2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．363．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B 2C ．22D 35．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．35B ．710C ．45D ．9106．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥7．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)-B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 9．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立10．过点6(26P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23C ．23或23D ．233111．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>12．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．6 D ．5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年高三第二学期月考（文科）数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．52．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．164．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.56．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．07．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．48．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+111．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．函数的零点个数为．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为．15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝．16．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝．三、解答题（共70分.）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（）A．9B．8C．6D．5【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B的元素个数．解：∵集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}，∴A∩B的元素个数为6．故选：C．2．i是虚数单位，x，y是实数，x+i＝（2+i）（y+yi），则x＝（）A．3B．1C．D．【分析】先利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数相等的定义计算即可．解：（2+i）（y+yi）＝y+3yi，所以3y＝1，x＝y＝，故选：D．3．平面向量，满足||＝4，||＝2，（+2）＝24，则|﹣2|＝（）A．2B．4C．8D．16【分析】先根据数量积求出•＝4，再求模长的平方，进而求得结论．解：因为平面向量，满足||＝4，||＝2，∵（+2）＝24⇒+2•＝24⇒•＝4，则|﹣2|2＝﹣4•+4＝42﹣4×4+4×22＝16；∴|﹣2|＝4；故选：B．4．命题p：∀x∈R，e x＞x，命题q：∃x0∈R，x02＜0，下列给出四个命题①p∨q；②p∧q；③p∧￢q；④￢p∨q所有真命题的编号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】判定出p真q假⇒￢p为假，￢q为真，①③为真命题．解：令f（x）＝e x﹣x，利用导数可求得当x＝0时，f（x）＝e x﹣x＝1，1是极小值，也是最小值，从而可判断p为真命题，命题q为假命题．故①p∨q为真；②p∧q为假；③p∧￢q为真；④￢p∨q为假．所有真命题的编号是①③．故选：A．5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【分析】由图可得服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低判断A；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小判断B；再求出患者服药一段时间后指标x低于100的频率判断C；直接由图象判断D．解：由图可知，服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低，∴A说法正确；未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，∴B说法不对；以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，∴C说法正确；这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，∴D说法正确．故选：B．6．已知，则sin2α＝（）A．﹣1B．1C．D．0【分析】由题意利用诱导公式求得2α＝2kπ﹣，可得sin2α的值．解：由诱导公式及，可得cos（+α）＝cos（+α），可得（舍去），或（+α）+（+α）＝2kπ，k∈Z，即2α＝2kπ﹣，∴sin2α＝﹣1，故选：A．7．直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用△OAB（O为原点）是面积为3的等腰直角三角形，求出A的坐标，代入椭圆方程求解即可．解：直线x＝m与椭圆交于A，B两点，△OAB是等腰直角三角形，解得m＝±，不妨A取，A点在椭圆上，代入椭圆，可得，解得b＝2，故选：B．8．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度﹣1B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由函数图象可得A，利用周期公式可求ω，由f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，结合范围|φ|＜，可求φ，可求函数解析式f（x）＝sin（2x+），进而化简g（x）解析式由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可求解．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，＝﹣＝，即＝π求得ω＝2，∵f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，即sin（+φ）＝1，∴+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．由图可知，，，所以把f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象．故选：D．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上（异于端点），则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形（截面）不可能是（）A．正方形B．不是正方形的菱形C．不是正方形的矩形D．梯形【分析】画出图形，通过特殊位置判断截面形状即可．解：当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE＞CF时，截面是梯形，故选：A．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+1，如图是计算该数列的前n项和的程序框图，图中①②③应依次填入（）A．i＜n，a＝2a+1，S＝S+a B．i＜n，S＝S+a，a＝2a+1C．i≤n，a＝2a+1，S＝S+a D．i≤n，S＝S+a，a＝2a+1【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序框图中应填的内容．解：取n＝1，有S＝a＝1，即a1＝1，不能进入循环，判断框应是i＜n进入循环；进入循环后第一次加上的应该是a2＝2a1+1，所以先算a＝2a+1．故选：A．11．过点A（2a，0）作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为B，与另一条渐近线交于点C，B是AC的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】有题意BO垂直平分AC∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以∠AOB为60°，求出渐近线的斜率，即得出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系进而求出a，c的关系，即求出离心率．解：依题意，一条渐近线是x轴与另一条渐近线的对称轴，OB垂直平分AC，∠AOB＝∠BOC，又∠AOB，AOC互为补角，所以渐近线的倾斜角是60°或120°，所以渐近线的斜率为，即＝，c2＝a2+b2，所以离心率e＝＝＝＝2，故选：C．12．x1＝1是函数f（x）＝+（b﹣3）x+2b﹣a的一个极值点，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】先求导，再f'（1）＝0得2a+b﹣2＝0且△＞0，所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a），（a≠﹣1）利用二次函数图象和性质求出答案．解：f'（x）＝x2+2ax+b﹣3，f'（1）＝0⇒2a+b﹣2＝0，若函数f（x）有一个极值点，则△＝4a2﹣4（b﹣3）＝4a2﹣4（2﹣2a﹣3）＝4a2+4（2a+1）＝4（a+1）2＞0所以a≠﹣1，ab＝a（2﹣2a）＝，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的零点个数为3．【分析】条件等价于函数与y＝x2的图象交点个数，数形结合即可．解：令，分别作与y＝x2的图象如图，又因为指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度，所以两函数图象有3个交点，即f（x）有3个零点，故答案为3．14．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为5π．【分析】根据已知条件定出球心的位置，然后求出球的半径，代入球的表面积公式可求．解：如图，由已知，在底面ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，由PA⊥底面ABCD，易得△PAC，△PBC，△PCD都是直角三角形，所以球心是PC的中点，，S＝4πR2＝5π．故答案为：5π15．在△ABC中，D是AB边上一点，AD＝2DB，DC⊥AC，DC＝，则AB ＝3．【分析】设BD＝x，由已知结合锐角三角函数定义及余弦定理分别表示cos A，建立关系x的方程，可求．解：如图，设BD＝x，则由余弦定理可得，，又由余弦定理可得，7＝BC2＝9x2，＝13x2﹣3，即7＝6+x2，解得x＝1，∴AB＝3．故答案为：116．奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），若，则a+f（a）＝2．【分析】根据题意，分析可得f（x）是以4为周期的奇函数，结合函数的解析式分析可得，解可得a＝2，分析可得f（2）的值，计算可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是以4为周期的奇函数，又由当0＜x≤1时，f（x）＝log2（4x+a），则，解可得a＝2，又由f（x）是以4为周期的奇函数，则f（2）＝f（﹣2）且f（2）+f（﹣2）＝0，则f （2）＝0，故a+f（a）＝2+f（2）＝2；故答案为：2．三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．【分析】（1）先利用每组的频率×该组区间的中点值再相加求出平均值的估计值，再处于总时间5小时，即可得到所求的结果；（2）由直方图，算出[25，35）和[35，45）这两组的概率，再相加即可得到样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率，以样本估算总体，进而得出每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率．解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为30×0.1+40×0.18+50×0.3+60×0.25+70×0.12+80×0.05＝52.6，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为；（2）由直方图，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0.28，估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28．18．S n是等差数列{a n}的前n项和，对任意正整数n，2S n是a n a n+1与1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的最大项与最小项．【分析】（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，求出数列的通项公式即可．（2）记，利用函数图象结合函数的单调性推出当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，得到结果即可．解：（1）设{a n}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，得，解得或，当a1＝1，d＝2时，满足条件；当时，不满足条件，舍去，综上，数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．（2），记，f（x）在（﹣∞，4.5）与（4.5，+∞）上都是增函数（图象如图3），对数列，当n≤4时，递增且都大于﹣1，当n≥5时，递增且都小于﹣1，数列的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为﹣11．19．点P是直线y＝﹣2上的动点，过点P的直线l1，l2与抛物线y＝x2相切，切点分别是A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）以AB为直径的圆过点M（2，1），求点P的坐标及圆的方程．【分析】（1）设A，B，P的坐标，求出直线AP，BP的方程，因为两条直线的交点P，可得直线AB的方程为：，整理可得恒过（0，2）点；（2）因为AB为直径的圆过点M（2，1），所以，由（1）设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得直线AB的斜率，即求出P的坐标，即求出直线AB，进而求出圆心坐标．解：（1）证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（b，﹣2），过点A，P的直线方程为，同理过点B，P的直线方程为，因为点P是两切线的交点，所以，即y＝2bx+2恒过（0，2）．（2）解：设直线AB为y＝kx+2（k＝2b），与抛物线方程联立得x2﹣kx﹣2＝0，其中△＞0，x1x2＝﹣2，x1+x2＝k，因为M（2，1）在AB为直径的圆上，所以，即（x1﹣2，y1﹣1）（x2﹣2，y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0⇔（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+1）（kx2+1）＝0，整理得（k2+1）x1x2+（k﹣2）（x1+x2）+5＝0，即k2+2k﹣3＝0，解得k＝1或k＝﹣3．当k＝1时，，圆心为，半径，圆的标准方程为；当k＝﹣3时，，圆心为，半径，圆的标准方程为．20．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，DA＝DC，CD＝3，F是BC的中点，EF⊥平面ABC，．（1）证明：A，B，E，D四点共面；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积．【分析】（1）设M是AC的中点，则DM⊥AC，且，从而DM⊥平面ABC，由EF⊥平面ABC，得DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，推导出MF∥AB，DE∥AB，由此能证明A，B，E，D四点共面．（2）D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC，从而EF⊥AC，AC⊥BC，进而AC⊥平面BCE，由V B﹣CDE＝V D﹣BCE．能求出三棱锥B﹣CDE的体积．解：（1）证明：如图4，设M是AC的中点，因为DA＝DC＝3，所以DM⊥AC，且，因为平面ACD⊥平面ABC，交线为AC，DM⊂平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又EF⊥平面ABC，所以DM∥EF，且，四边形DEFM是平行四边形，从而DE∥MF，在△ABC中，M，F是AC，BC的中点，所以MF∥AB，所以DE∥AB，从而A，B，E，D四点共面．（2）解：由（1），所以D到平面BCE的距离是A到平面BCE距离的，EF⊥平面ABC⇒EF⊥AC，又AC⊥BC⇒AC⊥平面BCE，所以D到平面BCE的距离为，△BCE的面积，故三棱锥B﹣CDE的体积为．21．已知函数；（1）试讨论f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求b的值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的极值，函数f（x）有3个零点等价于f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，根据函数的单调性求出b的值即可．解：（1）f'（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a），当a＝1时，f'（x）＝（x﹣1）2≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，在（a，1）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当a＞1时，在（1，a）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a＝1时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递减；在（﹣∞，a）和（1，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减；在（﹣∞，1）和（a，+∞）上单调递增．（2）当a≠1时，函数有两个极值和，若函数f（x）有三个不同的零点⇔f（a）•f（1）＜0，即（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）＞0，又因为a的取值范围恰好是，所以令g（a）＝（a3﹣3a2﹣6b）（3a﹣1+6b）恰有三个零点，若a＝3时，g（3）＝﹣6b（6b+8），b＝0或；当b＝0时，g（a）＝a2（3a﹣1）（a﹣3）＞0，解得符合题意；当时，g（a）＝（a3﹣3a2+8）（3a﹣9）＝0，则a3﹣3a2+8＝0不存在这个根，与题意不符，舍去，所以b＝0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为，P点的极坐标为，在平面直角坐标系中直线l经过点P，且倾斜角为60°．（1）写出曲线C的直角坐标方程以及点P的直角坐标；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，求的值．【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，代入化简可得所求；（2）由题意可设直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理和参数的几何意义，化简可得所求值．解：（1）因为，所以ρ﹣ρsinθ＝2，则，即＝y+2，两边平方整理得x2＝4y+4；由P点的极坐标，可得P点的直角坐标x＝ρcosθ＝0，y＝ρsinθ＝1，所以P（0，1）．（2）由题意设直线l的参数方程为（t为参数），与曲线C的方程x2＝4y+4联立，得，设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣32，所以＝＝，而，所以．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知f（x）＝|x﹣m|（x+2）+|x|（x﹣m）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若x＞1时，f（x）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）将f（x）写成分段函数式，讨论x≤0时，0＜x＜2时，x≥2时，不等式的解，再求并集可得所求解集；（2）由题意可得f（m）＝0，且x＞m恒成立，求得m的范围，检验可得所求范围．解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|（x+2）+|x|（x﹣2）＝，当x≤0时，﹣2x2+2x+4＜0⇒x＜﹣1；当0＜x＜2时，﹣2x+4＜0⇒x＞2矛盾；当x≥2时，2x2﹣2x﹣4＜0⇒﹣1＜x＜2矛盾，综上，x＜﹣1，则f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}；（2）对任意的x＞1时，因为f（m）＝0，f（x）＞0＝f（m），所以x＞m，则m≤1，当m≤1，x＞1时，x﹣m＞0，则f（x）＝（x﹣m）（x+2）+x（x﹣m）＞0恒成立，所以m的取值范围是m≤1．。

高考模拟数学试卷数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．注意事项：2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{}(){}()223,log 2,U A y y x B x y x C A B ==-==+⋂=则 A. {}23x x -<≤ B. {}3x x > C. {}3x x ≥ D. {}2x x <- 2．设复数2z i =-+(i 为虚数单位)，则复数1z z +的虚部为 A ．45 B ．45i C ．65 D ．65i 3．已知命题p ，q ，“p ⌝为假”是“p q ∨为真”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是A.5800B.6000C.6200D.64005．执行右图所示的程序框图，则输出的结果为A ．7B ．9C ．10D ．116．已知实数3,1x x =-=是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的两个相邻的极值点，且()f x 在1x =-处的导数()()100f f '->=，则A ．0B ．12C ．33D ．227．已知实数1m >，实数,x y 满足不等式组2,1y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩若目标函数z x my =+的最大值等于3，则m 的值是A.2B.3C.4D.5A ．10000立方尺B ．1 1000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺 A.6种 B.24种C.30种D.36种 l0．设F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为23OF ，则双曲线的离心率为 A ．23 B ．355C ．25D ．5 第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．1l.不等式2150x x +-->__________；12.已知向量,a b r r 的夹角为120°，()1,3,3,=a a b b =+=r r r r 则_________； 13. 曲线()2sin 0y x x π=≤≤与直线1y =围成的封闭图形的面积为__________；14. 已知抛物线22y x =和圆220x y x +-=，倾斜角为4π的直线l 经过抛物线的焦点，若直线l 与抛物线和圆的交点自上而下依次为A,B,C,D ，则AB CD +=_________；15．若函数()f x 对定义域内的任意()()1212,x x f x f x =，当时，总有12x x =，则称函数()f x 为单纯函数，倒如函数()f x x =是单纯函数，但函数()2f x x =不是单纯函数.若函数()22,0,0x x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩为单纯函数，则实数m的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知函数()231sin 2cos 32f x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. （I ）求函数()[]0f x π在，上的单调递增敬意；（II ）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A 、B 、C 的对边，()1,34f A a ABC ==∆，求面积的最大值.17．(本小题满分12分)某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利元，若400是次品则亏损50元．(I)试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率． (Ⅱ)记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -，侧面11ABB A 为矩形，AB=2，122AA =，D 是1AA 中点，BD 与AB 1交于点O ，且OC ⊥平面11ABB A ．(I)证明：平面1AB C ⊥平面BCD ；(Ⅱ)若1,OC OA AB C =∆的重心为G ，求直线GD 与平面ABC 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)在公差不为0的等差数列{}20236a a a a =+中，，且3111a a a 为与的等比中项． (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设()111122n n n n n b a a +=-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．(本小题满分13分) 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12A A 、，上、下顶点分别为12B B 、，O 为坐标原点，四边形1122A B A B 的面积为4，且该四边形内切圆的方程为2245x y +=． (I)求椭圆C 的方程；(II)若M 、N 是椭圆C 上的两个不同的动点，直线OM 、ON 的斜率之积等于14-，试探求OMN ∆的面积是否为定值，并说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数()()21ln ,02m f x m x x x m R m =-+-∈≠且． (I) 当2m =时，令()()()2log 31,g x f x k k =+-为常数，求函数()y g x =的零点的个数； (Ⅱ)若不等试()[)111,f x x m>-∈+∞在上恒成立，求实数m 的取值范围．高考模拟数学试卷第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,,M x x x N x x a M N =--<=>⊆若，则实数a 的取值范围是A.(],1-∞-B.(),1-∞-C.[)3,+∞D.()3,+∞ 2.若12i z i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A.2i --B.2i -C.2i +D.2i -+ 3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；A.①②B.②③C.③④D.①④ 4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A.7B.9C.11D.136.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.57.5y x =+$，则表中的m 的值为A.50B.55C.60D.657.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是A.2B.3C.2D.58.在椭圆221169x y +=内，通过点()1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为 A.91670x y -+= B.169250x y +-=C.916250x y +-=D.16970x y --= 9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有A.48种B.72种C.96种D.108种10.若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为A.[]4,5-B.[]5,5-C.[]4,5D.[]5,4-第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[)60,80中的学生人数是_________. 12.函数()()2113lg 2f x gx x =-+-的定义域是_________. 13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r 是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=+⋅+r r r r r r ，则的最大值为________.15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225x f x x x =-+； ④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a,b,c 的对角分别为A,B,C ；且4,3b A π==，面积23S =.（I ）求a 的值； （II ）设()()2cos sin cos cos f x C x A x =-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分） 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分.（I ）求ξ的分布列和数学期望；（II ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.18. （本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，10,8,6AB AC BC ===，18AA =，点D 在线段AB 上.（I ）若1//AC 平面1B CD ，确定D 点的位置并证明；（II ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥，（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（II ）设数列{}n b 满足()242log 1n n b a =+，证明：对一切正整数222121111,1112n n b b b ++⋅⋅⋅+<---有.20. （本小题满分13分）已知抛物C 的标准方程为()220y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),00A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N.当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为92. （I ）求抛物线C 的标准方程；（II ）记11t AM AN=+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21. （本小题满分14分）已知关于x 函数()()()()22ln ,g x a x a R f x x g x x=-∈=+， （I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1内有极值，试求a 的取值范围；（III ）0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln 3 1.099,ln 5 1.609,ln 7 1.946====）又∵0B π<<∴2B π= 6C π=……6分∴(()2cos sin cos cos )2sin()6f x C x A x x π=-=-，………… 8分 将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6g x x π=-，…………9分 所以()g x 的单调增区间为222,262k x k πππππ-≤-≤+…………10分 即,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈…………11分()g x 的单调区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………12分 （17）解：（Ⅰ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分1111(=0)5436041113111293(=10)=54354354360204314121322613(=20)=5435435436030432242(=30)==.5543605P P P P ξξξξ=⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⋯⋯⋯⋯，，，分 ξ的分布列为： ξ 010 20 30 P 160 320 1330 25…………6分A A 1B C D B 1 C 1 x yz所以 AC 1∥平面B 1CD ． ………………………………………4分（Ⅱ） 由6,8,10===BC AC AB ，得AC ⊥BC ，以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ．则B (6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A 1(0, 8,8)，B 1(6, 0, 8)．设D (a , b , 0)（0a >，0b >），…………………5分 因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =， 即13BD BA =u u u r u u u r ． 所以84,3a b ==．…………………7分 所以1(6,0,8)B C =--u u u r ，8(4,,0)3CD =u u u r ． 平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =u u r ．设平面B 1CD 的法向量为2(,,1)n x y =u u r ， 由 120B C n ⋅=u u u r u u r ，20CD n ⋅=u u u r u u r ， 得 6808403x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以4,23x y =-=，24(,2,1)3n =-u u r ． …………………10分 设二面角1B CD B --的大小为θ， 361cos a b a bθ⋅==r r r r ． 所以二面角1B CD B --361．……………………………12分（19）解：()Ⅰ由1132n n n a a a +-=- ，可得112(),n n n n a a a a +--=-…………2分212,a a -=Q {}1n n a a +∴- 是首项为2，公比为2的等比数列，即1=2.n n n a a +- …………3分()()()-1-1-221112=-+-+-12=22211221,6n n n n n n n n n a a a a a a a a --∴+-++++=-=-⋯⋯⋯⋯L L +分()()()24222221222122log (2)2.7111111=.9141212122121111111111+=1111233521211111.2212111,+11n n n n b n b n n n n n b b b n n n n b b ==⋯⋯⋯⋯⎛⎫==-⋯⋯⋯⋯ ⎪---+-+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∴++--QL L L Ⅱ由题意得分分对一切正整数有21.1212n b <⋯⋯⋯⋯-分 （20）(I)由题意,2922221||||212==⋅⋅=⋅⋅=∆p p p MN OA S MON 3=∴p抛物线C 的方程为x y 62=---------------------------------------------------------------------3分 (II) 设),(),(2211y x N y x M ，,直线MN 的方程为a my x += 联立⎩⎨⎧=+=x y a my x 62 得0662=--a my y024362>+=∆a m m y y 621=+,a y y 621-=,-----------------------------------------------------------------6分 由对称性,不妨设0>m ,(i )0<a 时,0621>-=a y y Θ, 21y y ，∴同号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+= )111(1363611)()(112222222122122m a a m m y y y y m t +-=+=++=∴ 不论a 取何值,t 均与m 有关,即0<a 时A 不是“稳定点”; -------------------------9分 (ii ) 0>a 时, 0621<-=a y y Θ, 21y y ，∴异号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+=22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴ )11321(13624361122222ma a a a m m +-+=+⋅+= 所以,仅当0132=-a ,即23=a 时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分（21）解：（I ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞2222-)(x ax x a x x g +-=-=' （i ）若0≥a ，则0)('<x g 在),0(+∞上恒成立，),0(+∞为其单调递减区间； （ii ）若0<a ，则由0)('=x g 得ax 2-=， )2,0(a x -∈时，0)('<x g ，),2(+∞-∈ax 时，0)('>x g ，所以)2,0(a -为其单调递减区间；),2(+∞-a为其单调递增区间；-----------------------4分 （II ）)()(2x g x x f +=Θ所以)(x f 的定义域也为),0(+∞，且232''2'2222)()()(xax x x ax x x g x x f --=+-=+= 令),0[,22)(3+∞∈--=x ax x x h (*)则a x x h -6)(2'= (**)----------------------------------------------------------------------------6分0<a 时, 0)('≥x h 恒成立,所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数，又0-)1(,02)0(>=<-=a h h ，所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)('x f 的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值. ----------------------------------------8分0≥a 时)1,0(,0)1(2)(3∈<--=x ax x x h ,即在区间(0,1)上0)('<x f 恒成立,此时, )(x f 无极值.综上所述,若)(x f 在区间)1,0(内有极值，则a 的取值范围为)0,(-∞. --------------9分 (III) 0>a Θ,由（II ）且3)1(=f 知]1,0(∈x 时0)(>x f ,10>∴x .又由(*)及(**)式知)(x f '在区间),1(+∞上只有一个极小值点,记为1x , 且),1(1x x ∈时)(x f 单调递减,),(1+∞∈x x 时)(x f 单调递增,由题意1x 即为0x ,⎩⎨⎧='=∴0)(0)(00x f x f -----------------------------------------------------------------------------------------11分 ⎪⎨⎧=-+∴0ln 20020x a x x消去a,得131ln 2300-+=x x -------------------------------------------------------------------12分 0>a 时令)0(131)(),1(ln 2)(321>-+=>=x x x t x x x t , 则在区间),1(+∞上为)(1x t 单调递增函数, )(2x t 为单调递减函数, 且)2(710577.022ln 2)2(21t t =<=⨯<= )3(263123ln 2)3(21t t =+>>= 320<<∴x2][0=∴x ------------------------------------------------------------------------------------------14分高考模拟数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则A B =I ． 2. 已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosx f x cosxsinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ． 5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ．7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L （*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m u r ()x y =，，n r ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=u r r（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x L ，，，为1210L ，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各 个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=u u u u r u u u r，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）916. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意26)t ∈，，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t=处存在距离为2m的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）(]02， （B ）(]12， （C ）[]12， （D ）[]14，三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =L ，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N*=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c ==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 11 12、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立1()111EF =--u u u r ，，，()1002AA =u u u r ，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF u u u r与1AA u u u r 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅u u u ru u u ru u u r u u u r …… 6/3==，……7/ 注意到02πα⎛⎤∈⎥⎝⎦，，故3arccos α=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =r，，，…………………10/ 设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF u u u r与n r 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅u u u r r u u u r r ………12/ 3=13/ 又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=，即直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/ 体∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE =HEtan EFH FH∠=， ………………………………………… 6/ 1== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH ∠=，从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小即为EFC ∠． ………………………………10/在Rt EFC ∆中，易得1EC FC ==，ECtan EFC FC∠=……………………12/2==，………………13/ 又(0)2EFC π∠∈，，故2EFC arctan∠=，即直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为2arctan． ……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ……………2/当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，则(A t，(B t -，，t t 42-=⋅．…………3/当直线l 的斜率k 存在时，则0≠k ，设l 的方程为)(t x k y -=，11()A x y ，，22()B x y ，，由24()y xy k x t ⎧=⎨=-⎩消去x，得442=--kt y ky ，故121244y y k y y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，t t y y y y y y x x 41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………………………6/ 方法二：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y xx my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t +=⎧⎨=-⎩，所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++u u u r u u u r221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+ 24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT ==， ……………………………8/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/ （2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m m f n n ==，，……8/ 这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/ 其等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/ 由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a 的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/ 即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/ 故12k =．………………………………………………………………………………………4/ （2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/ 所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=L ；……………………7/ 当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++L123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++L11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/ 综上，()()2212n nn k S nn k -=-⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+ ⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/ ③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m m m aa a a a +-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/ 综上，存在实数k 满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x x y -=+得1201x y y+=>-，解得11y -<<，………………2/ 1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/ （2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且 211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+．（ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/ （ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/ （ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>L ，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 21*1*于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即 114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/ 不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/ 若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/ 下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d 22222213()()()55a b c a b c ac λλ=+++-++-22221()()5a b c a ac λλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！． 综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/高考模拟数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共50分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、座号、序号写在答题纸上 2．考生必须在答题纸的指定位置作答，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，只交答题纸。

(图1) 2019-2020年高考压轴卷数学含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知复数的实部为，虚部为1，则的模等于 .2.已知集合，集合，则 .3.右图1是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值为 .4.函数的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于．6.设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若则；②若，，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题序号为7.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 .8.已知命题在上为减函数；命题，使得.则在命题，，，中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数，其图象如图3所示，则 .10.函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是．11.在中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，则函数在上的单调递增区间是 .12. “已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式.”给出如下的一种解法：解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.x y12图3图2参考上述解法：若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .13.xx 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列满足，定义使为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，xx]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知，设集合，，若对同一x 的值，总有，其中，则实数的取值范围是 二、 解答题（本大题共6小题，共90分） 15.在中，角，，的对边分别为，，，向量，且 （1）求的值；（2）若，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥中，平面平面，AB ∥DC ， 是等边三角形， 已知，．（1）设是上的一点，证明：平面平面； （2）求四棱锥的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？ABCMPD图4公 路HG F E DC B A 图5OMNF 2F 1yx（图6）18. 如图6，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且． （1）求椭圆的方程； （2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调增区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数)，求实数的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n N*)．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）若a=2，且，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，从圆外一点引圆的切线及割线，为切点． 求证：．21B ．已知矩阵，计算．21C ．已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数）．若直线与圆相切，求正数的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．P（第21 - A 题）（第22题）22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，，，M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．xx 江苏高考压轴卷数学答案一、填空题1. 2.. 3.2 4. 5.7.2 6. ①③ 7. 8. 9.4 10. 11. 12. 13.2047 14. 提示： 1.，则，则. 2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又，所以.3. 当时，，则；当时，，；当时，，；当时，不成立，则输出.4.要使原式有意义，则，即且.5.2出现次，5出现次，8出现次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。

2024年新高考数学押题试卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i ⋅z =5-2i ，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设 的取值范围为（）A ={x ∈-2<x <3}，Z B ={x 4x -a ≥0}，且A B ={12}，则，a A ．(0,1]C ．(0,4B ．(0,1)]D ．(0,4) 3．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（）A ．x =0.015B ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D ．四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%ππ24．若α∈4⎫⎛-,- ⎪⎝⎭3π12，且cos 2α+cos 2⎛+2α⎫=- ⎪⎝，则tan α=（⎭）C ．-B ．-A ．23D ．-5．设，为双曲线C ：的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1F 2F 2213xy -=1QF PQ+取最小值时，的值为（ ） 2QFA B CD22+6．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．153103256257．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样{}n a M n n a M ≤{}n a 的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） M {}n a {}n a n n S A ．若，则数列是无界的 B ．若，则数列是有界的 1n a n={}n a sin n a n n ={}n a C ．若，则数列是有界的D ．若，则数列是有界的 ()1nn a =-{}n S 212n a n =+{}n S8．如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥ABC A 90BAC ∠=︒AB AC ==D BC ABC A AD ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（ ）A BCD -A ．B ．C ．D ．π2π3π4π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高考压轴卷 数学 含答案注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2．已知(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ▲ ．3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ▲ ．4．现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ▲ ．5．执行右边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ ． 7．已知tan α＝－2，，且π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝ ▲ ．8．已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题： ①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m β，则α∥β．S ←1 I ←3While S ≤200 S ←S ×II ←I ＋2 End While Print I（第5题图）其中所有真命题的序号是 ▲ ．9．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3]上的最小值为 ▲ ．10．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲ ．12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60，则圆M 的方程为 ． 14．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c2的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2ca． （1）求B ；（2）若cos(C ＋π6)＝13，求sin A 的值．如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB 平面P AD ，△P AD 是正三角形，DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .（1）若点E 为棱P A 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AEPE的值； （2）求证：平面PBC 平面PDC.17．(本小题满分14分)某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋bt n ，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．PAB CDOE （第16题图）已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程； （2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．20．(本小题满分16分)已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列． （1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A (2，0)，B (0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．D ．选修4—5：不等式选讲（第21题A 图）已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段P A 和BD 上，BN ＝13BD ．（1）若PM ＝13P A ，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度．23．（本小题满分10分）已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，……，集合S k 中所有元素的平均值记为b k ．将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，……，数组T 中所有数的平均值记为m (T )．（1）若S={1，2}，求m (T )；（2）若S ＝{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *，n ≥2），求m (T )．C··PM ABDN (第22题图)参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(－2，1) 2．－7 3．30 4．310 5．11 6．52 7．558．② 9．－22 10．1 11．(－∞，－3)∪(1，3) 12．[32，2] 13．(x －1)2＋y 2＝1 14．22－2 二、解答题：15．(本小题满分14分)解：(1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理，得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin Csin A，…………………………2分所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin C sin A ，即sin(A ＋B )cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A ．因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0，所以cos B ＝12． ………………………5分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3． ……………………………7分（2）因为0＜C ＜2π3，所以π6＜C ＋π6＜5π6．因为cos(C ＋π6)＝13，所以sin(C ＋π6)＝223． ……………………10分所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin(C ＋π3)＝sin[(C ＋π6)＋π6] ……………………12分＝sin(C ＋π6)cos π6＋cos(C ＋π6)sin π6＝26＋16． ……………………14分16．(本小题满分14分)证 （1）因为OE ∥平面PBC ，OE Ì平面P AC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，所以OE ∥PC ，所以AO ∶OC ＝AE ∶EP ． ……………………………3分 因为DC //AB ，DC ＝2AB ，所以AO ∶OC ＝AB ∶DC ＝1∶2.所以AE PE ＝12． ………………………6分（2）法一：取PC 的中点F ，连结FB ，FD ． 因为△P AD 是正三角形，DA ＝DC ，所以DP ＝DC ．因为F 为PC 的中点，所以DF ⊥PC . …………………………8分 因为AB 平面P AD ，所以AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，AB ⊥PD ． 因为DC //AB ，所以DC ⊥DP ，DC ⊥DA ．设AB ＝a ，在等腰直角三角形PCD 中，DF ＝PF ＝2a ．在Rt △P AB 中，PB ＝5a ．在直角梯形ABCD 中，BD ＝BC ＝5a ．因为BC ＝PB ＝5a ，点F 为PC 的中点，所以PC ⊥FB ．在Rt △PFB 中，FB ＝3a ．在△FDB 中，由DF ＝2a ，FB ＝3a ，BD ＝5a ，可知DF 2＋FB 2＝BD 2，所以FB ⊥DF ．…………………………12分由DF ⊥PC ，DF ⊥FB ，PC ∩FB ＝F ，PC 、FB Ì平面PBC ，所以DF ⊥平面PBC ． 又DF 平面PCD ，所以平面PBC 平面PDC ． ……………………………14分 法二：取PD ，PC 的中点，分别为M ，F ，连结AM ，FB ，MF ， 所以MF ∥DC ，MF ＝12DC ．因为DC //AB ，AB ＝12DC ，所以MF ∥AB ，MF ＝AB ，即四边形ABFM 为平行四边形，所以AM ∥BF ． ………………………8分 在正三角形P AD 中，M 为PD 中点，所以AM ⊥PD ． 因为AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥AM ． 又因为DC //AB ，所以DC ⊥AM ． 因为BF //AM ，所以BF ⊥PD ，BF ⊥CD ．又因为PD∩DC＝D，PD、DCÌ平面PCD，所以BF⊥平面PCD．………………12分因为BF Ì平面PBC ，所以平面PBC ^平面PDC . …………………14分 17．(本小题满分14分)解：（1）由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A ．所以⎩⎪⎨⎪⎧9Aa ＋b ＝A ，9A a ＋14b ＝3A ，解得a ＝1，b ＝8． ………………4分所以f (n )＝9A 1＋8×tn ，其中t ＝2-23． 令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×t n＝8A ，解得t n ＝164，即2-2n 3＝164，所以n ＝9．所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． ……………………6分（2）由（1）知f (n )＝9A1＋8×t n．第n 年的增长高度为△＝f (n )－f (n －1)＝9A 1＋8×t n －9A1＋8×t n －1． (9)分所以△＝72At n －1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －1(1－t )1＋8t n －1(t ＋1)＋64t 2n －1＝72A (1－t )1t n －1 ＋64t n＋8(t ＋1) …………………12分≤72A (1－t )264t n ×1tn －1＋8(t ＋1)＝72A (1－t ) 8(1＋t )2＝9A (1－t )1＋t． 当且仅当64t n＝1tn －1，即2-2(2n -1)3＝164时取等号，此时n ＝5． 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． ………………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2，所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4．所以椭圆方程为：x 24＋3y 24＝1． ……………………3分（2）设l 1方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0． 因为P 为（－1，1），解得M （－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2）．……………………5分当k ≠0时，用－1k 代替k ，得N （k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3）． ………………………7分将k ＝－1代入，得M （－2，0），N （1，1）． 因为P （－1，－1），所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2． ……………………9分（3）解法一：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 12＋3y 12＝4，x 22＋3y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0，从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0．…………………12分若x 1＋x 2＝0，则N (－x １，－y １)．因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 12＋y 12＝2．又因为x 12＋3y 12＝4，所以解得x 1＝±1，所以M (－1，1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1， 1)．所以直线MN 的方程为y ＝－x ． …………14分 若x 1－x 2＝0，则N （x 1，－y 1）， 因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 12＝(x 1＋1)2＋1． 又因为x 12＋3y 12＝4，所以解得x 1＝－12或－1，经检验：x ＝－12满足条件，x ＝－1不满足条件．综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12． ………………16分解法二：由（2）知，当k ≠0时，因为线段MN 的中点在x 轴上，所以3k 2＋2k －11＋3k 2＝－－k 2－2k ＋3k 2＋3，化简得4k (k 2－4k －1)＝0，解得k ＝2±5． ………………12分若k ＝2＋5，则M （－12，52），N （－12，－52），此时直线MN 的方程为x ＝－12．若k ＝2－5，则M （－12，－52），N （－12，52），此时直线MN 的方程为x ＝－12．………………………………14分 当k ＝0时，M （1，－1），N （－1，1），满足题意，此时直线MN 的方程为x ＋y ＝0． 综上，直线MN 的方程为x ＝－12或x ＋y ＝0． …………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为点P (1，－1)在曲线y ＝f (x )上，所以－m ＝－1，解得m ＝1．因为f ′(x )＝1x －1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y ＝－1．………………3分（2）因为f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x．①当m ≤0时， x ∈(1，e)， f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，e )上单调递增，则f (x ) max ＝f (e )＝1－me ．②当1m ≥e ，即0＜m ≤1e 时，x ∈(1，e)，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(1，e )上单调递增，则f (x )max ＝f (e )＝1－me ． ……………………5分③当1＜1m ＜e ，即1e ＜m ＜1时，函数f (x )在 (1，1m )上单调递增，在(1m ，e )上单调递减，则f (x ) max ＝f (1m )＝－ln m －1． ……………………7分④当1m ≤1，即m ≥1时，x ∈(1，e)， f ′(x )＜0，函数f (x )在(1，e )上单调递减，则f (x ) max＝f (1)＝－m ．………………………………………9分综上，①当m ≤1e时，f (x )max ＝1－me ；②当1e＜m ＜1时，f (x )max ＝－ln m －1；③当m ≥1时，f (x )max ＝－m ． …………………10分（3）不妨设x 1＞x 2＞0．因为f (x 1)＝f (x 2)＝0，所以ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0， 可得ln x 1＋ln x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝m (x 1－x 2)．要证明x 1x 2＞e 2，即证明ln x 1＋ln x 2＞2，也就是m (x 1＋x 2)＞2．因为m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以即证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)x 1＋x 2．……12分令x 1x 2＝t ，则t ＞1，于是ln t ＞2(t －1)t ＋1． 令(t )＝ln t －2(t －1)t ＋1（t ＞1），则 ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0．故函数(t )在（1，＋∞）上是增函数，所以(t )＞(1)＝0，即ln t ＞2(t －1)t ＋1成立．所以原不等式成立． ………………………16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a6，q ＝6b a． a 3＝a ＋3d ＝a ＋b2，b 3＝aq 3＝ab ． ……………………2分因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或14． ………………………4分（2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n ．因为λa ＝a ×qm ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λnm ＋1．因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)m ＋1×a ＝a ×λnm ＋1．因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1＝λnm ＋1（*）． …………………………6分因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1为有理数．要使（*）成立，则λn m ＋1必须为有理数．因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1． 若λ＝2，则λn m ＋1为无理数，不满足条件．同理，λ＝3不满足条件． ……………………8分 当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1．要使22n m ＋1为有理数，则2nm ＋1必须为整数．又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件． 所以1＋3(n －5)m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29．综上，λ最小值为4，此时m 为29． …………………………10分 (3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和． 先证：若{c n }为递增数列，则{S nn }为递增数列．证明：当n ∈N *时，S n n ＜nb n ＋1n＝b n ＋1．因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S nn }为递增数列．同理可证，若{c n }为递减数列，则{S nn }为递减数列． ……………………12分①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S nn． 即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n ．因为b ＝aq m ＋1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1，所以d ＞b n －an ，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ．②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S nn ．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＜aq (q n －1)q －1n ．因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －an ．以下同①．综上， a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． ……………16分证法二：设等差数列a ，a 1，a 2，…，a m ，b 的公差为d ，等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 的公比为q ，b ＝λa (λ＞0，λ≠1)．由题意，得d ＝λ－1m ＋1a ，q ＝aλ1m ＋1，所以a n ＝a ＋nd ＝a ＋λ－1m ＋1an ，b n ＝a λnm ＋1．要证a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )，只要证1＋λ－1m ＋1n －λnm ＋1＞0(λ＞0，λ≠1，n ∈N *，n ≤m )．…………………12分构造函数f (x )＝1＋λ－1m ＋1x －λxm ＋1(λ＞0，λ≠1，0＜x ＜m ＋1)，则f′(x )＝λ－1m ＋1－1m ＋1λxm ＋1ln λ．令f′(x )＝0，解得x 0＝(m ＋1)log λλ－1ln λ．以下证明0＜log λλ－1ln λ＜1．不妨设λ＞1，即证明1＜λ－1ln λ＜λ，即证明ln λ－λ＋1＜0，λln λ－λ＋1＞0．设g (λ)＝ln λ－λ＋1，h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)，则g′(λ)＝1λ－1＜0，h′(λ)＝ln λ＞0，所以函数g (λ)＝ln λ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)为增函数． 所以g (λ)＜g (1)＝0，h (λ)＞h (1)＝0．所以1＜λ－1ln λ＜λ，从而0＜log λλ－1ln λ＜1，所以0＜x 0＜m ＋1．……………14分因为在(0，x 0)上f′(x )＞0，函数f (x )在(0，x 0)上是增函数；因为在(x 0，m ＋1)上f′(x )＜0，函数f (x )在(x 0，m ＋1)上是减函数． 所以f (x )＞min{f (0)，f (m ＋1)}＝0． 所以a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．同理，当0＜λ＜1时，a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )． ……………16分数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠CAE ． ………………2分因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC ＝∠ACD ，所以∠ADB ＝∠ECA ，所以△ABD ∽△EAC ． ……………6分 所以AD BD ＝ECCA，即AD ·CA ＝BD ·EC ． ………………8分因为△ACD 为等边三角形，所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD ·EC . ……………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换 解：设特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ k －1对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 ⎣⎡⎦⎤ k －1＝λ⎣⎡⎦⎤ k －1，即⎩⎨⎧ak －k ＝λk ， λ＝1.因为k ≠0，所以a ＝2． …………………5分因为A －1⎣⎡⎦⎤31＝⎣⎡⎦⎤11，所以A ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤31，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤31，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：设M (2cos θ，23sin θ)，θ∈(0，π2)．由题知OA ＝2，OB ＝23， …………………………2分 所以四边形OAMB 的面积S ＝12×OA ×23sin θ＋12×OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin(θ＋π4)． ……………………8分所以当θ＝π4时，四边形OAMB 的面积的最大值为26． ……………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[a 2＋(2b )2＋(3c )2][12＋(12)2＋(13)2]≥(a ＋b ＋c )2．…………8分 因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以(a ＋b ＋c )2≤11， 所以－11≤a ＋b ＋c ≤11． 所以a ＋b ＋c 的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝61111． ………………………………10分 22．（本小题满分10分）证明：连接AC ，BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因为P A ＝AB ＝2，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1)． （1）由BN →＝13BD →，得N (0，13，0)，由PM →＝13PA →，得M (13，0，23)，所以MN →＝(－13，13，－23)，AD →＝(－1，－1，0)．因为MN →·AD →＝0．所以MN ⊥AD ． ………………………………………4分（2）因为M 在P A 上，可设PM →＝λPA →，得M (λ，0，1－λ)． 所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎨⎧－2y ＝0，λx －y ＋(1－λ)z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．…………………8分 因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)，所以cos π4＝|n ·OP →|n ||OP →||，即22＝λ(λ－1)2＋λ2，解得λ＝12， 从而M (12，0，12)，N (0，13，0)，所以MN ＝(12－0)2＋(0－13)2＋(12－0)2＝226． ………………………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）S ＝{1,2}的所有非空子集为：{1}，{2}，{1,2}，所以数组T 为：1，2，32．因此m (T )＝1＋2＋323＝32． ………………………………………3分（2）因为S ＝{a 1,a 2,…, a n }，n ∈N *，n ≥2，所以m (T )＝∑i ＝1na i ＋(12C 1n －1)∑i ＝1n a i ＋(13C 2n －1)∑i ＝1n a i ＋…＋(1n C n －1n －1)∑i ＝1n a i C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn＝1＋12C 1n －1＋13C 2n －1＋…＋1n C n －1n －1 C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn∑i ＝1na i ． ………………………………………6分 又因为1k C k －1n －1＝1k ·(n －1)!(k －1) ! (n －k ) !＝(n －1)!k ! (n －k ) !＝1n ·n !(n －k ) ! k !＝1n C kn ，……………8分所以m (T )＝1n C 1n ＋1n C 2n ＋1n C 3n ＋…＋1n C n n C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn∑i ＝1n a i ＝1n ∑i ＝1na i ．…………………………………10分可编辑修改 .精选文档。