增收节支问题(一)

54应用二元一次方程组——增收节支增收节支是财务管理中的基本原则，通过合理控制支出，增加收入，可以实现财务状况的改善。

在日常生活中，我们可以运用二元一次方程组的方法来解决一些增收节支的问题。

下面我将从几个不同的角度来讨论如何应用二元一次方程组来实现增收节支。

首先，我们来考虑一个常见的问题，那就是如果我们每月节省一定的开支，可以多存一些钱。

假设一个人每月的固定开支是x元，他决定将每个月节省的金额设为y元，他能够每个月存下的钱的数学关系可以用下面的二元一次方程组表示:x+y=my = nx其中，m表示他每个月的固定开支，n表示他决定节省的比例。

这个方程组可以帮助这个人计算他每个月能够存下多少钱。

其次，我们来考虑如何通过增加收入来改善财务状况。

假设一个人的固定开支为x元，他想通过额外的收入来提高他的生活质量，他每个月能够获得的额外收入y元，他的收入数学关系可以用下面的二元一次方程组表示:x+y=my = nx其中，m表示他每个月的固定开支，n表示他每个月能够额外获得的收入比例。

这个方程组可以帮助这个人计算他每个月能够获得多少额外的收入。

另外，我们可以运用二元一次方程组来解决一些实际问题。

例如，一个人购买了若干件衣服，每件衣服的价格为x元，他购买了y件衣服，他一共花费了m元。

他想要计算每件衣服的平均价格，这个数学关系可以用下面的二元一次方程组表示:x*y=my=n其中，m表示衣服的总花费，n表示衣服的数量。

这个方程组可以帮助这个人计算每件衣服的平均价格。

最后，我们可以运用二元一次方程组来解决一些复杂的增收节支问题。

例如，一个人的月收入为x元，他需要支付房租m元，并且希望每个月至少能节省y元，他想要计算他每个月的可支配收入。

这个数学关系可以用下面的二元一次方程组表示:x-m=zz-y=n其中，m表示房租，n表示每个月的可支配收入。

这个方程组可以帮助这个人计算他每个月的可支配收入。

总之，二元一次方程组是应用于增收节支问题中的一种有效工具，可以帮助我们理解和解决一些日常生活中的财务问题。

5．4 应用二元一次方程组——增收节支1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；(重点)2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程．一、情境导入(1)某工厂去年的总产值是x 万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是________万元；(2)若该厂去年的总支出为y 万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是________万元；(3)若该厂今年的利润为780万元，那么由(1)，(2)可得方程________________．二、合作探究探究点一：列二元一次方程组解决百分数、小数(增收节支)问题【类型一】 列二元一次方程组解决增长率问题为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？ 解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x 人，在主城区中学学习的民工子女有y 人．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5000，20%x ＋30%y ＝1160.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3400，y ＝1600.20%x ＝680，30%y ＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”．(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．答：一共需配备360名中小学教师．方法总结：在解决与增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原来的量)÷原来的量．【类型二】 列二元一次方程组解决利润问题某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？解析：本题中所含的等量关系有：①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538元；②甲商品的利润＋乙商品的利润＝88元．其中甲商品的售价＝甲商品的进价×(1＋50%)×80%，乙商品的售价＝乙商品的进价×(1＋40%)×85%，利润＝售价－进价．解：设甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋88＝538，x （1＋50%）×80%＋y （1＋40%）×85%＝538.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，1.2x ＋1.19y ＝538.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝250，y ＝200. 答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元．方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等．探究点二：列方程组解决方案问题某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．(1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？解析：根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙．然后根据所含等量关系求出每种方案的进货数．解：(1)①若购甲、乙两种型号：设购进甲型号手机x 1部，乙型号手机y 1部．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝40，1200x 1＋400y 1＝40000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝30，y 1＝10.所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部． ②若购甲、丙两种型号：设购进甲型号手机x 2部，丙型号手机y 2部．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝40，1200x 2＋800y 2＝40000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝20，y 2＝20.所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．③若购乙、丙两种型号：设购进乙型号手机x 3部，丙型号手机y 3部．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋y 3＝40，400x 3＋800y 3＝40000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－20，y 3＝60. 因为x 3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．综上所述，商场共有两种进货方案．方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部；方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部．(2)方案1获利：120×30＋80×10＝4400(元)；方案2获利：120×20＋120×20＝4800(元)．所以，第二种进货方案获利最多．方法总结：仔细读题，找出相等关系．当用含未知数的式子表示相等关系的两边时，要注意不同型号的手机数量和单价要对应．三、板书设计（这节课适合使用思维导图方式设计）增收节支问题分析解决列二元一次方程,组解决实际问题)⎩⎪⎨⎪⎧增长率问题利润问题利用图表分析等量关系方案选择通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识；并且通过对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们的节约和有效合理利用资源的意识．7.3 平行线的判定第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的： 回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：① 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，∠1和∠2是直线a 、b 被直线c 截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a ∥b ． 123a b c如何证明这个题呢？我们来分析分析．师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3．师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）∴∠3=180°－∠2（等式的性质）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理．这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．②证明：内错角相等,两直线平行．师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：CD∥A B．师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b．证明：∵a⊥c,b⊥c（已知）∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2（等量代换）∴b∥a（同位角相等，两直线平行）生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．教学效果：由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．第三环节：反馈练习活动内容：课本第231页的随堂练习第一题活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．教学效果：由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．第四环节：学生反思与课堂小结活动内容：①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．活动目的：通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．教学效果：学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．课后作业：课本第232页习题6.4第1，2，3题思考题：课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）教学反思平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。

专题5.16应用二元一次方程组——增收节支（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】列二元一次方程组解决增收节支问题（1）增长（降低）率问题：增长（降低）率=增（减）量/基数×100%，增长（减少）后的数量=基数×【1±增长（降低）率】.（2）销售问题：销售额=售价×销量，总利润=总销售额-总成本=单件的利润×销量=（售价-进价）×销量，利润率=利润/进价×100%，打折后的价格=原价×折数÷10（3）储蓄问题：利息=本金×利率×期数.本息和=本金+利息.注意：在计算过程中要保持单位的统一.【特别提醒】1.对于增长（降低）率问题，审题时一定要看清是增长还是降低，而且要看准在哪一个量的基础上增长或降低，不要颠倒.2.在储蓄问题中注意利率要根据期数而定，期数是按月算的，利率就用月利率，期数是按年算的，利率就用年利率.【考点目录】【考点1】方案问题；【考点2】行程问题；【考点3】工程问题；【考点4】销售与利润问题.【考点一】方案问题【例1】（2022上·广东深圳·八年级校考期末）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】（1）1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨；（2）该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A 型车，1辆B 型车；方案2：租用5辆A 型车，4辆B 型车；方案3：租用1辆A 型车，7辆B 型车．【分析】（1）设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，由“用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a 、b 均为非负整数，即可得出各租车方案．（1）解：设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，由题意得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，答：1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨；（2）由题意得：3431a b +=，∴3143b a -=，又∵a 、b 均为非负整数，∴91a b =⎧⎨=⎩或54a b =⎧⎨=⎩或17a b =⎧⎨=⎩，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A 型车，1辆B 型车；方案2：租用5辆A 型车，4辆B 型车；方案3：租用1辆A 型车，7辆B 型车．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【举一反三】【变式1】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（）A ．4种B ．3种C ．2种D ．1种【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设刘老师购买x 本甲种碳素笔，y 本乙种碳素笔，利用总价=单价⨯数量，可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数，即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种．解：设刘老师购买x 本甲种碳素笔，y 本乙种碳素笔，根据题意得：6448x y +=，∴3122y x =- ,x y 是正整数，∴29x y =⎧⎨=⎩或46x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩∴刘老师购买碳素笔的方案共有3种．故选：B ．【变式2】（2023下·山东烟台·七年级统考期中）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为．【答案】26【分析】设1艘大船可载x 人，1艘小船可载y 人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出x y +的值即可．解：设1艘大船可载x 人，1艘小船可载y 人，依题意得：232246x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：3378x y +=，26x y ∴+=，即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，故答案为：26．【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【考点二】行程问题【例2】（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，（1）求小车和摩托车的速度．（2）求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？【答案】（1）小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时；（2）23小时或76小时或116小时或103小时【分析】（1）小车的速度为x 千米/时，摩托车的速度为y 千米/时，利用路程=速度⨯时间，结合两车速度间的关系，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度；（2）设相遇后，摩托车继续行驶m 小时两车相距30千米，利用路程=速度⨯时间，结合两车相距30千米，可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）解：1小时20分43=小时．设小车的速度为x 千米/时，摩托车的速度为y 千米/时，根据题意得：4()240311(1)22x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：13545x y =⎧⎨=⎩．答：小车的速度为135千米/时，摩托车的速度为45千米/时；（2）设相遇后，摩托车继续行驶m 小时两车相距30千米，根据题意得：4530m =或45135(1)30m m --=或135(1)4530m m --=或4524030m =-，解得：23m =或7m 6=或116m =或143m =．答：相遇后，摩托车继续行驶23小时或76小时或116小时或103小时两车相距30千米．【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解．【举一反三】【变式1】（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）甲、乙两地相距880km ，小轿车从甲地出发2h 后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4h 两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20km ，设大客车每小时行km x ，小轿车每小时行km y ，则可列方程组为（）A ．20,64880x y x y -=⎧⎨+=⎩B ．20,64880y x y x -=⎧⎨+=⎩C ．880,6420y x y x -=⎧⎨+=⎩D ．20,46880y x y x -=⎧⎨+=⎩【答案】B 【分析】设大客车每小时行km x ，小轿车每小时行km y ，根据小轿车比大客车每小时多行20千米，甲车行驶2小时，两车相向行驶4小时共走了880千米，据此列方程组求解．解：设大客车每小时行km x ，小轿车每小时行km y ，由题意得：2064880y x y x -=⎧⎨+=⎩，故选：B ．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．【变式2】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则方程组中x 表示．【答案】从甲地到乙地的上坡路程【分析】设从甲地到乙地的上坡路为km x ，平路为km y ，根据保持上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地用36分钟，从乙地到甲地用24分钟即可列出方程组363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，据此解答即可．解：设从甲地到乙地的上坡路为km x ，平路为km y ，依题意得363460245460x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程组中x 表示从甲地到乙地的上坡路程，故答案为：从甲地到乙地的上坡路程．【点拨】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．【考点三】工程问题【例3】（2022下·河北石家庄·七年级校考阶段练习）现有一段长为180米的河道整治任务由A ，B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天．（1）根据题意，甲列出的方程组为20128180x y x y +=⎧⎨+=⎩，，分析甲所列的方程组，请指出未知数x ，y 表示的意义，x 表示，y 表示；（2）若设A 工程队共整治河道m 米，B 工程队共整治河道n 米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m ，n 的值．【答案】（1）A 工程队整治河道的天数；B 工程队整治河道的天数；（2）18020128m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩；60，120【分析】（1）根据所列的方程组，结合题意，作答即可；（2）根据有一段长为180米的河道整治任务由A ，B 两个工程队先后接力完成，得到180m n +=，根据共用时20天得到：20128m n +=，即可得出方程组，再求解即可．（1）解：由题意和所列方程组可知：x 表示A 工程队整治河道的天数，y 表示：B 工程队整治河道的天数，故答案为：A 工程队整治河道的天数；B 工程队整治河道的天数；（2）设A 工程队共整治河道m 米，B 工程队共整治河道n 米，由题意，得：18020128m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：12060m n =⎧⎨=⎩．即m ，n 的值分别为60，120．【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021上·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m 吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n 吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（）A ．6台B ．7台C ．8台D ．9台【答案】B【分析】设同时开动x 台机组，每台机组每小时处理a 吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m ，n 的二元一次方程组，解之即可得出m ，n 的值（用含a 的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x 的一元一次方程，解之可得出结论．解：设同时开动x 台机组，每台机组每小时处理a 吨污水，依题意，得2303031515a m n a m n ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩，解得：30m a n a =⎧⎨=⎩，∵5ax =30a +5a ，∴x =7．答：要同时开动7台机组．故选：B ．【点拨】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．【变式2】（2020上·重庆万州·八年级校考期中）一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管，现水池中有一定量的水，打开进水管（注水速度一致），若只打开一个出水管，则1小时正好能把水池中的水放完；若打开两个出水管，则20分钟正好能把水池中的水放完；问若打开三个出水管，则需要分钟恰好能把水池中的水放完．【答案】12【分析】设进水管的进水速度为x ，每一个出水管的出水速度为y ，水池中原有水量为a ，根据题意列方程组求解解：设进水管的进水速度为x ，每一个出水管的出水速度为y ，水池中原有水量为a ，由题意可得：1111233a x y a x y +⋅=⋅⎧⎪⎨+=⨯⎪⎩，解得：2x a y a =⎧⎨=⎩设打开三个出水管需要b 小时能把水池中的水放完，则3a xb b y+=⋅13325a ab y x a a ===-⨯-时=12分故答案为：12【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出等量关系求解是关键．【考点四】销售与利润问题【例4】（2023上·全国·八年级专题练习）为促进消费，某商家对商品进行打折促销．打折前，2件A 商品和1件B 商品的总售价为30元；1件A 商品和2件B 商品的总售价为33元．（1）求每件A 商品和每件B 商品的售价；（2）若两种商品的折扣相同，打折后，9件A 商品和8件B 商品共用了141.6元．求商家打几折出售这两种商品．【答案】（1）每件A 商品售价为9元，每件B 商品的售价为12元；（2）商家打8折出售这两种商品【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程组的应用．（1）设每件A 商品售价为x 元，每件B 商品的售价为y 元，根据2件A 商品和1件B 商品的总售价为30元；1件A 商品和2件B 商品的总售价为33元得解方程组求解即可；（2）设商家打m 折出售这两种商品，根据9件A 商品和8件B 商品共用了141.6元列方程求解即可．解：（1）设每件A 商品售价为x 元，每件B 商品的售价为y 元，根据题意得：230233x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得912x y =⎧⎨=⎩，∴每件A 商品售价为9元，每件B 商品的售价为12元；（2）设商家打m 折出售这两种商品，根据题意得：99812141.61010m m ⨯⨯+⨯⨯=，解得8m =，答：商家打8折出售这两种商品．【举一反三】【变式1】（2023下·湖南益阳·七年级校考期中）五一节前夕，某超市用1680元购进A ，B 两种商品共60件，A 型商品每件24元，B 型商品每件36元，设购进A 型商品x 件，B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是（）A ．3624601680x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．6036241680x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2436601680x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】B【分析】根据A 、B 两种商品共60件以及用1680元购进A 、B 两种商品，分别得出等式组成方程组即可．解：设购进A 型商品x 件，B 型商品y 件，根据题意，得6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩．故选：B【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．【变式2】（2023下·河北秦皇岛·七年级统考期中）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x 元，支出是y 元．依题意列方程组．【答案】12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩【分析】审题，明确等量关系，建立方程组．解：由题意知，今年收入为(120%)x +，今年支出(110%)y -，故12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩故答案为：12000(120%)(110%)1200011400x y x y -=⎧⎨+--=+⎩【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键．。

5.4 应用二元一次方程组——增收节支知识点 列方程组解应用题常用的公式（1）有关销售问题的公式①利润=总产值-总支出②利润率=总产值总支出总产值-×100% ③商品利润=销售价格-进货价格④商品利润率=商品进价商品利润×100% （2）列方程组解应用题常用的关系式还有①工程问题：工作量=工作效率×工作时间②行程问题：路程=速度×时间顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度③浓度问题：溶质=溶液×浓度④储蓄问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息自测：夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各1瓶共花费7元，调价后上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？重难点：列方程组解决有关行程问题例1：从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡。

如果上坡评教每分钟走50m,下坡平均每分钟走100m,那么从甲地走到乙地需要25min,从乙地走到甲地需要20min，甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？变式：某人沿公路匀速前进，每隔4min就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6min就有一辆公共汽车从背后超过他。

假定公共汽车速度不变，而且迎面开来相邻两车的距离和从背后开来相邻两车的距离都是1200m,求此人前进的速度和公共汽车的速度以及公共汽车每隔几分钟发一班车。

易错点：列方程组解应用题时，没有审清题意而导致的错误例2：某商场以每件a元购进一种服装，如果规定以每件b元卖出，平均每天卖出15件，30天共获利润22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价20%卖出，结果平均每天比降价前多卖出10件，这样30天仍然可获利润22500元，试求a,b的值。

（每件服装的利润=每件服装的卖出价-每件服装的进价）。