7方差分析

1 3 T2 2 T. j 11 .56 3 j 1 3 3
QE Q QA QB 3.1
FA F0.05(2,4)
A影响不显著。 F0.05(2,4) FB F0.01(2,4) B影响显著，由于
高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250‘C为好，因素 A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。
3
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
2、CLASS
3、MODEL 4、MEANS
变量表；
因变量表=效应； 效应[/选择项]；
5、ALPHA=p 显著性水平（缺省值为0.05） 是指因变量与自变量效应，模型如下： 1、主效应模型 MODEL y=a b c; 2、交互模型 3、嵌套效应 MODEL y=a b c MODEL y=a b c(a a*b b); (a b c是主效应，y是因变量） a*c b*c a*b*c;
冲击强力 浓度
序号
1
-8 -2 20
2
-19 5 31
3
X ij' 10( X ij 17)
4
-22 -11 12
5
1 14 35
6
-20 7 27
Ti
-80 14 144
X
j 1
6
'2 i
A1 A2 A3
由表中数据可算出
-12 1
1454 396 3820
19
X
i 1 j 1
QB (l 1) FB F (l 1, ( m 1)(l 1)) QE (m 1)(l 1)
T2 T ml i 1
m 2 i.
1 l 2 T2 QB T. j m j 1 ml
3）给定显著水平
，查表得临界值
F (m 1, (m 1)(l 1))
QE Q QA QB
4）由样本观察值计算FA、FB
5）若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，接受H0，因素的影响不显著。 若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，拒绝H0。 对因素B同理说明。
21
方差分析表：
方差来源 因素A 因素B 试验误差 总误差
方差分析
1
第一节
概述
因素（因子）—— 可以控制的试验条件
因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
2
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 浓度 序号
1
第三节 双因素方差分析
例如：某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验，考察回火温度A和淬火温度B两 个因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验，得平均硬度见表： Bj B1（1210‘C）B2（1235’C）B3（1250‘C） Ai A1（280’C） A2（300‘C） A3（320’C） 64 66 65 66 68 67 68 67 68
m
n
m
n
( X ij X i ) n ( X i X ) 2
2 i 1 j 1 i 1
m
n
m
下面通过比较QE和QA来检验假设H0。 在假设H0成立的条件下，可以证明：
Q

2
2 (mn 1) 2 (m(n 1))
相互独立
QA 2 (m 1) 2
试验结果
假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
20
假设检验：
1）在假设H0成立的条件下。 2）统计量
T2 Q X ml i 1 j 1
m l 2 ij
QA 1 ( m 1) FA F ( m 1, (m 1)(l 1)) QA QE l (m 1)(l 1)
2
QE
8
方法：（检验方法） （1）当H0：1=2=…=m 成立时。 （2）统计量：
F
( m 1) QE
2 2
QA F ( m 1, m( n 1))
m(n 1)
即：
QA ( m 1) F F ( m 1, m(n 1)) QE [m( n 1)]
4
第二节 单因素方差分析
一、假设检验 设：A1、A2、A3、为三个总体X1、X2、X3，每个总体有6个样 本Xi1、Xi2、…、Xi6 ( i=1,2,3 )。 注：要判断酸液浓度的3种水平对汗布的冲击强力是否有显著影响，实 质上就是检验3种不同水平所对应的3个总体是否有显著差异的问题。即 检验3个总体数学期望是否相等。 以后就是求解问题，为了说明一般解的公式（方法），如下作一般分析。
4、混合效应模型号 MODEL
2 2 ij
m
ni
m
ni
m
2
T
m ni Xij i 1 j 1
T Xi i ni
X T n
QA
m ni ( X i i 1
X )2
m Ti2 i 1 ni
T2 n
QA (m 1) 自由度分别为f=n-1, fE=n-m, fA=m-1 . 检验统计量为 F F (m 1, n m) QE 19 ( n m)
3
6
'2 ij
5670 T X Ti 78
i 1 j 1 ' ij i 1
3
6
3
Ti 2 27332
i 1
3
12
计算
1 3 2 1 QE X Ti 5670 27332 11147 . 6 i 1 6 i 1 j 1
'2 ij
6
二、离差平方和的分解与显著检验
记：
1 n X i X ij n j 1
将Q进行分解：
1 m n X X ij mn i 1 j 1
Q ( Xij X ) 2
i 1 j 1
m
n
Q
( X
m n i 1 j 1
ij
Xi ) (Xi X )
n m ( X i X ) ( X ij X i ) ( X i X )(nX i nX i ) 0 i 1 j 1 i 1
7
故：
Q ( X ij X i ) ( X i X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
m n m n 2

2
( X ij X i ) ( X i X ) 2 ( X ij X i )( X i X )
2 i 1 j 1
n
m
n
i 1 j 1
i 1 j 1
由于
( X
i 1 j 1
m
m
ij
X i )( X i X )
3
6
1 3 2 T2 1 6084 QA Ti 27332 42173 . 6 i 1 3 6 6 18
Q QE QA 1114.7 4217.3 5332
计算出F值：
QA 4217 .3 (3 1) 2 28 .38 QE 1114 .7 (3(6 1)) 5
22
23
24
25
26
B因素检验为显著。
27
SAS系统中区分两种情况： 1、每组观测数据相等，可用ANOVA过程处理 以上四种情形的方差分析。 2、若每组观测数据不相等，可用GLM过程处 理以上四种情形的方差分析。
注：与SPSS不同
28
均衡数据的方差分析（ANOVA过程）
过程说明： 1、PROC ANOVA； 可以是数值型和字符 型 CLASS和MODEL是必需的， CLASS必须的MODEL之前。 输出因变量均数，对主效应均数间的检 验。
9
（3）给定显著性水平
，查表得临界值 F (m 1, m(n 1))

（4）由样本观察值计算出F （5）若F > F (m 1, m(n 1)) ，则拒绝H0。 （说明因素A各水平间有显著性差异） （6）若F F (m 1, m(n 1)) ，则接受H0。（说明因素A各水平间无显著性差异） 三、计算的简化 1、 对Q、QE、QA计算简化。（给出一个简化的计算公式和数据简化的方法） 令： n Ti X ij
j 1 m n
T X ij Ti
i 1 j 1
2
m
n
m
i 1
2 Q ( X ij X ) ( X ij 2 X ij X X 2 ) i 1 j 1 i 1 j 1
m
n
1 m n X mnX X ( X ij )2 mn i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
离差平方和 1.56 11.56 3.1 16.22
自由度 2 2 4 8
F值 FA=1.01 FB=7.46
F0.05(2,4) F0.01(2,4) 6.94 6.94 18.0 18.0
显著性
*
Q QB
X
i 1 j 1
3
3
2 Байду номын сангаасj
T2 16 .22 3 3
1 3 T2 2 QA Ti. 1.56 3 i 1 3 3
数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果 四、方差分析表
方差来源
因素A 试验误差 总误差
离差平方和
QA QE Q
自由度
m-1 m(n-1) mn-1
F值
F QA (m 1 ) QE [ m( n 1 )]
F0.05 F0.01
显著性
11
例：前例题 1、对数据的简化 得下表：
X ij' 10( X ij 17)
2 ij 2 2 ij
m
n
m
n
T2 X mn i 1 j 1
m n 2 ij
10
同样可推出：
1 m 2 QE X Ti n i 1 i 1 j 1
2 ij
m
n
1 m 2 T2 QA Ti n i 1 mn
2、数据的简化： 试验数据经过变换
' X ij b( X ij a)
式中：
n
m ni
m ni i 1
T2 2 Q ( X ij X ) 2 X ij n i 1 j 1 i 1 j 1
m
ni
Ti
ni Xij j 1
Ti QE ( X ij X i ) X i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 ni
16.2 16.8 19.0
2
15.1 17.5 20.1
3
15.8 17.1 18.9
4
14.8 15.9 18.2
5
17.1 18.4 20.5
6
15.0 17.7 19.7
A1 A2 A3
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 2、反映随机因素所引起的波动。
然后加以比较进行统 计判断，得出结论。
5
一般形式：
结果 水平
序号
1
X11 X21
2
X12 X22
…
… …
…
… …
…
… …
n
X1n X2n
A1 A2
。 。
A3
Xm1
Xm2
…
…
…
Xmn
假定：数据满足正态性、独立性、方差齐性。 （进行方差分析的条件） 要检验因素A对指标是否显著影响，就是检验假设：
H0： 1=2=…=m
接受H0：即认为来自同一总体，差异由随机因素所造成。 若拒绝H0：表明它们之间差异显著，差异有因素水平的改变所引起。 做法：为了检验假设H0，要从总的误差中将系统误差和随机误差分开。
13
列表：
方差来源
因素A 试验误差 总误差
离差平方和
4217.3 1114.7 5332
自由度
2 15 17
F值
28.38
F0.05
3.68
F0.01
6.38
显著性
**(十分显著）
说明：
F F (2,15)
，说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。
14
15
16
17
18
五、各水平下试验次数不等时的方差分析 设第 i个水平试验次数为ni, 则有