第三章多电子原子

《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。

所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。

1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。

①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。

（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。

（3）当n→∞时，1()4P x =。

此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。

1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。

解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。

目录第一章原子的位形 (2)第二章原子的量子态：波尔模型 (8)第三章量子力学导论 (12)第四章原子的精细结构：电子的自旋....................... 错误！未定义书签。

第五章多电子原理：泡利原理 (23)第六章X射线 (28)第七章原子核物理概论.......................................... 错误！未定义书签。

1.本课程各章的重点难点重点:α粒子散射实验公式推导、原子能量级、氢原子的玻尔理论、原子的空间取向量子化、物质的波粒二象性、不确定原则、波函数及其物理意义和薛定谔方程、电子自旋轨道的相互作用、两个价电子的原子组态、能级分裂、泡利原理、电子组态的原子态的确定等。

难点：原子能级、电子组态、不确定原则、薛定谔方程、能级分裂、电子组态的原子态及基态的确定等。

2.本课程和其他课程的联系本课程需在高等数学、力学、电磁学、光学之后开设，同时又是理论物理课程中量子力学部分的前导课程，拟在第三学年第一学期开出。

3.本课程的基本要求及特点第一章原子的位形：卢瑟福模型了解原子的质量和大小、原子核式模型的提出；掌握粒子散射公式及其推导，理解α粒子散射实验对认识原子结构的作用；理解原子核式模型的实验验证及其物理意义。

第二章原子的量子态：玻尔模型掌握氢原子光谱规律及巴尔末公式；理解玻尔原子模型的基本假设、经典轨道、量子化条件、能量公式、主量子数、氢能级图；掌握用玻尔理论来解释氢原子及其光谱规律；了解伏兰克---赫兹实验的实验事实并掌握实验如何验证原子能级的量子化；理解索菲末量子化条件；了解碱金属光谱规律。

第三章量子力学导论掌握波粒二象性、德布罗意波的假设、波函数的统计诠释、不确定关系等概念、原理和关系式；理解定态薛定谔方程和氢原子薛定谔方程的解及n,l,m 三个量子数的意义及其重要性。

第四章 原子的精细结构：电子的自旋理解原子中电子轨道运动的磁矩、电子自旋的假设和电子自旋、电子量子态的 确定；了解史特恩—盖拉赫实验的实验事实并掌握实验如何验证角动量取向的量子化；理解碱金属原子光谱的精细结构；掌握电子自旋与轨道运动的相互作用；了解外磁场对原子的作用，理解史特恩—盖拉赫实验的结果、塞曼效应。

第三章习题解答3-1 电子的能量分别为10eV 、100eV 和1 000eV 时，试计算其相应的德布罗意波长。

解：根据公式hp λ==10eV 、100eV 、1 000eV得1240eV λ=⋅因此有：（1）当110,0.39K E eV nm λ===时 （2）当1100,0.123K E eV nm λ===时 （3）当11000,0.039K E eV nm λ===时3-2设光子和电子的波长均为0.4nm ，试问（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？解：由题意知Q 光子的动量h p λ= ， 光子的能量cE h hνλ==电子的动量 h p λ= ， 电子的能量2e E m c =∴（1）121p p = （2）126212400.0610.40.40.40.51110e e E h hc eV nm E m c m c eV nm⋅====⨯⨯⋅ 3-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：（1）该电子的速度为多大？（2）其相应的德布罗意波长是多少？解：（1）相对论给出运动物体的动能为：20()k E m m c =-，而现在题设条件给出20k E m c =故有2200()m c m m c ∴=-由此推得02m m ===2230.8664v v c c ∴=⇒==（2）0hp c λ==Q0.0014nm λ∴===3-4把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量。

若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18，一级布喇格掠射角（入射束与布喇格面之间的夹角）为30度，试求这些热中子的能量。

解：根据布喇格晶体散射公式： 2sin 20.18sin300.18d nm λθ==⨯⨯=o 而热中子的能量较低，其德布罗意波长可用下式表示：h p λ==()222220.02522k hc h E eV m mc λλ=== 3-5电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正。

第三章 双原子分子结构3.1 +2H 的结构及共价键的本质基本内容—、定核近似和+2H 的薛定谔方程A BRe r e r e m H b a 02020*******ˆπεπεπε+--∇-= 我们常采用原子单位：单位长度：Pm e m h a e 9177.524422200==ππε（玻尔半径）单位质量：me=9.1095×10-31Kg （电子质量） 单位电荷:e=1.60219×10-19C （电子电量） 单位能量：024a e πε=27.2116eV单位角动量: =1.0546×10-34 J.S 单位介电常数:04πε=1采用原子单位、+2H 的哈密顿算符为：Rr r Hba 11121ˆ2+--∇-=其薛定谔方程为：ψψE Rr r b a =+--∇-)11121(2，式中E 、ψ分别为+2H 的波函数和能量。

二、变分原理及性线变分法 1． 变分原理对于任意一个品优波函数ψ，用体系的Hˆ算符求得的能量平均值将大于或接近等于体系基态的能量E 0即：*ˆ*E d d H E ≥>=<⎰⎰τψψτψψ 据此原理，利用求极值方法调节参数，找出能量最低时对应的波函数，即为和体系基态相近似的波函数。

2． 线性变分法在量化计算中，广泛采用的是线性变分函数，它是满足体系边界条件的 个线性无关的函数m φφφ,,,21 的线性组合:m m C C C φφφψ+++= 2211采用线性变分函数的变分法叫线性变分法。

根据变分原理求得使E 最低的一组组合系数Ci⎰⎰++++++++++++=τφφφφφφτφφφφφφd C C C C C C d C C C H C C C E m m mm m m m m ))(()(ˆ)(2211***2*2*1*12211***2*2*1*1mC EC E C E ∂∂==∂∂=∂∂ 21=0 由此得一组求解Ci 的m 个联立方程称为久期方程，运用线性代数法求得m 套非零解，由其中与最低E 相对应的一套解C 1,C 2,……,C m 便可组成基态分子轨道波函数，所对应的E 便是基态能量近似值。

第三章原子结构习题1.是非判断题1-1基态氢原子的能量具有确定值，但它的核外电子的位置不确定。

1-2微观粒子的质量越小，运动速度越快，波动性就表现得越明显。

1-3原子中某电子的合理的波函数，代表了该电子可能存在的运动状态，该运动状态可视为一个原子轨道。

1-4对于氢原子的1s轨道，不应该理解为电子绕核作圆周运动，因为电子有波粒二象性，它的运动轨道是测不准的。

1-5因为氢原子只有一个电子，所以它只有一条原子轨道。

1-6 p轨道的空间构型为双球形，则每一个球形代表一条原子轨道。

1-7因为在s轨道中可以填充两个自旋方向相反的电子，因此s轨道必有两个不同的伸展方向，它们分别指向正和负。

1-8不同磁量子数m表示不同的原子轨道，因此它们所具有的能量也不相同。

1-9随着原子序数的增加，n、l相同的原子轨道的能量也随之不断增加。

1-10每一个原子中的原子轨道需要有3个量子数才能具体确定，而每一个电子则需要4个量子数才能具体确定。

1-11磁量子数m决定原子轨道在空间的取向。

1-12多电子原子中，电子的能量决定与主量子数n和角量子数l。

1-13主量子n相同，角量子数l不同，随l增大，屏蔽作用增加。

1-14 3个p轨道的能量，形状、大小都相同，不同的是在空间的取向。

1-15磁量子数m=0的轨道都是球形对称的轨道。

1-16氢原子的能级中，4s=4p=4d=4f，而多电子原子中，4s<4p<4d<4f。

1-17主量子数n为4时，有4s，4p，4d，4f四条轨道。

1-18电子云的黑点表示电子可能出现的位置,疏密程度表示电子出现在该范围的机会大小。

1-19描述原子核外电子运动状态的波函数Ψ需要用四个量子数来确定。

1-20一组n，l，m组合可以表达核外电子的一种运动状态。

1-21某原子的价电子构型为2s22p2，若用四个量子数表示2p2两个价电子的运动状态，则分别为2，2，0，-1/2和2，2，1，+1/2。

1-22 Na原子的3s能级与K原子的3s能级具有相同的能量。

第一章·原子结构一、基本概念（重点）（1代表概率密度； （2n 值的大小表示电子的能量高低。

n 值越大表示电子所在（3）l ：角量子数（能级），l 表示电子云的形状，对于多电子原子l 也是决定电子能量高低的因素。

E ns < E np < E nd < E nf ； E 1s < E 2s < E 3s < E 4s ；子数与能量无关；（6）s ：自旋角动量量子数，自旋量子数 ms ＝+1/2和-1/2。

电子的自旋只有两个方向，顺时针和逆时针方向，通常用“↑”和“↓”表示 。

二、结论与规律（重点）（1）描述一个原子轨道的能量高低，用两个量子数（n ，l ） （2）描述一个原子轨道，用三个量子数（n ，l ，m ）（3）描述一个原子轨道上运动的电子，用四个量子数（n ，l ，m ，s ） （4）同一原子中，没有四个量子数完全相同的两个电子存在。

（5）l 相同时， n 越大，能量越高：E 1s < E 2s < E 3s < E 4s原因：屏蔽效应：内层电子对外层电子的排斥相当于部分抵消了核对电子的吸引作用。

轨道能量升高。

（6）n 相同时，l 越大，能量越高：E ns < E np < E nd < E nf原因：钻穿效应：外层电子可能钻到内层出现在离核较近的地方的现象。

l 越小，钻穿能力越强。

钻穿结果降低了其它电子对它的屏蔽作用，起到了增加有效核电荷，降低轨道能量的作用。

（7）n 与l 都不同的时候，一般n 越大，能量越高。

但有反常情况：E 4s < E 3d 能级交错原因： 4s电子的钻穿能力较强三、多电子原子中电子的填充规律（三条，重点）：（1）能量最低原理（2）泡利不相容原理：在同一原子中没有运动状态完全相同的电子。

（3）洪特规则：在等价轨道中，电子尽可能分占不同的轨道，且自旋方向相同。

作为洪特规则的特例，等价轨道全充满，半充满或全空的状态是比较稳定的。

第三单元物质构成的奥秘知识点完全总结第一节分子和原子一、分子和原子的异同分子原子定义分子是保持物质化学性质的最小粒子。

原子是化学变化中的最小粒子。

性质质量小、体积小；不断运动；有间隔；同种粒子的化学性质相同。

联系分子是由原子构成的。

分子、原子都是构成物质的微粒。

区别在化学变化中，分子可以再分，而原子不可以再分。

备注1.所有金属、稀有气体、金刚石（石墨）和硅是由原子构成的，其他大多数物质是由分子构成的。

2.在受热的情况下，粒子能量增大，运动速率加快。

3.物体的热胀冷缩现象，原因是构成物质的粒子的间隔受热时增大，遇冷时缩小。

4.气体容易压缩是因为构成气体的粒子的间隔较大。

5.不同液体混合后总体积小于原体积的和，说明粒子间是有间隔的。

6.一种物质如果由分子构成，那么保持它化学性质的最小粒子是分子；如果它由原子构成，那么保持它化学性质的最小粒子是原子。

二、验证分子运动的探究实验【实验操作】如右图，取适量的酚酞溶液，分别倒入A、B两个小烧杯中，另取一个小烧杯C，加入约5mL浓氨水。

用一个大烧杯罩住A、C两个小烧杯，烧杯B置于大烧杯外。

观察现象。

【实验现象】烧杯A中的酚酞溶液由上至下逐渐变红。

【实验结论】分子是不断运动的。

【注意事项】浓氨水显碱性，能使酚酞溶液变红。

浓氨水具有挥发性，能挥发出氨气。

三、从微观角度解释问题1.用分子观点解释由分子构成的物质的物理变化和化学变化物理变化：没有新分子生成的变化。

（水蒸发时水分子的间隔变大，但水分子本身没有变化，故为物理变化）化学变化：分子本身发生变化，有新分子生成的变化。

（电解水时水分子变成了新物质的分子，故为化学变化）2.纯净物和混合物（由分子构成的物质）的区别：纯净物由同种分子构成，混合物由不同种分子构成。

3.分子和原子的联系：分子是由原子构成的，同种原子结合成单质分子，不同种原子结合成化合物分子。

4.分子和原子的本质区别：在化学变化中，分子可以再分，而原子不能再分。

原子物理学课后前六章答案（第四版）杨福家著(高等教育出版社)第一章：原子的位形：卢瑟福模型第二章：原子的量子态：波尔模型第三章：量子力学导论第四章：原子的精细结构：电子的自旋第五章：多电子原子：泡利原理第六章：X射线第一章习题1、2解1.1 速度为v的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4rad.要点分析: 碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动).注意这里电子要动.证明：设α粒子的质量为Mα，碰撞前速度为V，沿X方向入射；碰撞后，速度为V'，沿θ方向散射。

电子质量用me表示，碰撞前静止在坐标原点O处，碰撞后以速度v沿φ方向反冲。

α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：（1）ϕθααcos cos v m V M V M e +'= （2）ϕθαsin sin 0v m V M e -'= （3）作运算：（2）×sin θ±(3)×cos θ,（4）（5）再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v，化简上式，得（６）θϕμϕθμ222s i n s i n )(s i n +=+ （７）视θ为φ的函数θ（φ），对（7）式求θ的极值，有若 sinθ=0, 则θ=0（极小）（8）（2）若cos(θ+2φ)=0 ,则θ=90º-2φ（9）将（9）式代入（7）式，有θϕμϕμ222)(90si nsi nsi n+=-θ≈10-4弧度（极大）此题得证。

1.2（1）动能为5.00MeV的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大？（2）如果金箔厚1.0 μm，则入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？要点分析:第二问是90°～180°范围的积分.关键要知道n, 注意推导出n值.其他值从书中参考列表中找.解：（1）依金的原子序数Z2=79答：散射角为90º所对所对应的瞄准距离为22.8fm.(2)解: 第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.(问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出)从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197, ρAu=1.888×104kg/m3依θa2 sin即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。

第一节原子结构1.1 原子的组成原子由电子、质子和中子组成。

电子绕着原子核运动，质子和中子则构成原子核。

1.2 原子模型根据不同的原子结构，化学家提出了不同的原子模型，如汤姆孙模型、卢瑟福模型和玻尔模型等。

1.3 原子序数和质量数原子序数指的是原子中质子的数量，质量数指的是原子核中质子和中子的总数。

第二节电子结构2.1 电子云和能级电子围绕原子核运动形成电子云，而能级则代表了电子在原子中的能量状态。

2.2 原子的能级排布根据能级的不同，原子的电子排布也会不同。

一般情况下，第一能级最多容纳2个电子，第二能级最多容纳8个电子，第三能级最多容纳18个电子。

2.3 原子的壳层关系原子中的电子会按照一定的规律分布在不同的能级上，形成壳层结构。

K层最多容纳2个电子，L层最多容纳8个电子，M层最多容纳18个电子。

第三节元素周期律3.1 元素周期表的构造元素周期表按照元素原子序数的大小排列，具有周期性规律。

在元素周期表中，元素的性质也会有一定的规律性。

3.2 周期表中元素的分类元素周期表中的元素按照不同的性质和结构被分为金属元素、非金属元素和过渡金属元素等。

3.3 元素周期律的意义元素周期律的发现和应用对于化学研究和工业生产都具有重要的意义，可以帮助人们理解元素的性质和化合物的形成规律。

第四节原子的化学键和分子4.1 原子之间的化学结合原子之间会通过化学键结合在一起，形成分子或晶体结构。

4.2 化合价和离子键化合价是原子形成化合物时与其他原子结合的能力，而离子键是由正、负离子之间的静电作用形成的键。

4.3 共价键和共价分子共价键是通过原子间的电子共享形成的，形成的分子称为共价分子。

第五节反应速率和平衡5.1 反应速率化学反应的速率是反应物消耗或生成的物质的量与时间的比值，反映了化学反应进行的快慢。

5.2 平衡条件当反应物和生成物的浓度达到一定比例时，化学反应会达到平衡状态。

平衡状态下，反应物和生成物的浓度保持一定的比例。

第三章 多电子波函数3．1 电子问题——对于一个N 电子，M 核的体系，在原子单位下，哈密顿Hamiltonian ，可以写为：221111111221NM N Mi AA i A i A A iAN NM MA B i j iA B A ij ABZ H M r Z Z r r =====>=>∇=--∇-++∑∑∑∑∑∑∑∑其中A M 是核A 相对于电子的约化质量A Z 为核A 的原子数第一项为电子动能项 （算符） 第二项为核动能项第三项为电子与核相互作用能 第四项为电子与电子相互作用能 第五项为核之间的相互作用能——为了使问题简化，Born Oppeheimer 提出假设（B O Approach ） 利用BO 近似，可以将核与电子运动分离，从而使我们只讨论电子问题，解决了电子问题后，我们还可以接着解决核问题。

——具体看一下BO 近似上式中，由于核与电子相比，质量很大，因此由动量守恒，其运动与电子相比就慢很多。

这样就可以假设电子是在由定核构成的场中运动。

因此：第二项： 核动能项可以忽略 第五项： 核排斥能为常数由于常数加在算符上，只改变算符本征值而不改变本征函数，因此，我们可以从总Hamiltonian 中减掉它，得到电子哈密顿，或描述N 电子在M 点电荷场中的哈密顿：21111112NN MN N A eleci i A i j i i iA ijZ H r r ====>=-∇-+∑∑∑∑∑其相对应的Schrodinger 方程为:elec elec elec elec H εΦ=Φ这时的Hamiltonian 的本征值不是多电子体系的总能。

为了求得体系总能量，我们需要加上1M MA BA B A ABZ Z r =>∑∑一项，我们以后只考虑电子问题，因此省略掉下标“elec ”。

由于电子Hamiltonian 含有双粒子坐标项11N Ni j i ijr =>∑∑，因此不能简单地利用变量分离法求解，只能用近似法求解。