1、生产库存问题例 某厂在年末估计，下年4个季度市场对该厂某产品的需求量均为d k =3 (k =1,2,3,4)，该厂每季度生产此产品的能力为b k =5 (k =1,2,3,4,)。
每季度生产这种产品的固定成本为F=13（不生产时为0），每一产品的单位变动成本为C=2。
本季度产品如不能售出，则需发生库存费用g =1/件，仓库能贮存产品的最大数量E k =4。
试问如何安排4个季度的生产，以保证在满足市场需求的前提下，使生产和库存总量用最小?解：首先分析一下这类问题。
设x k —第k 季度的计划生产量，s k —第k 季度初的库存，⎩⎨⎧=>=0,00,1k k k x x y ，可以得到数学模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥≤≤⨯≤-+=+++=+∑4,3,2,110,0,45)43(3..213min1411k or y s x s x y x x s s t s s x y k k k k k kk k k k k k k k 。
显然，这个问题是一个混合整数规划。
但由于这类问题可以按时间先后顺序分成四个阶段，故可用动态规划方法求解。
(1) 将每个季度看作一个阶段，就有一个四阶段的决策问题。
(2)S k --第k 季度初的仓库库存量，在问题中，s 1=s 5=0, 30=≤≤E s k ,k =2,3,4。
(3) x k --第k 季度的生产函数。
(4)(5) ),(k k k x s W =第k 季度的生产贮存量（上个阶段的未出售的量放在当阶段计算库 存费） ⎩⎨⎧>-+++=-=0)(0)(k k k k k k k k k x d x s g Cx F x d s g W(6)f k (s k )=第k 季度初库存量为s k 的条件下，为保证市场需求，从第三者k 季度至年末生产和贮存这种产品的最小费用。
(7)kk k k k k k k k s d E x s d E d x s s -+≤≤-⇒≤-+=≤+10 (1)又 k k b x ≤≤0 (2)s k +1=s k +x k -d k ,k =4,3,2,1又 NN N N N N N N k k k k k k k k d x s s d x s s d x s s d x s s -+=-+=-+=-+=+---+++++111111121 加得kk Nk i i N k i i N ki Nki i i k N x s d x d x s s ≥-=⇒=-+=∑∑∑∑====+01 (3)由(1),(2),(3)得知∑=--+≤≤-Nki k i k k k k k k s d s d E b x s d ),,min(),0max(于是有{}5,4,3,2)(11=s D下面依次从第4阶段开始进行计算。
