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8.刚体定轴转动的功和能

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yyf--刚体功与能

yyf--刚体功与能

J
B
2
B
1 2
J
A
JB
2
1.32 104 J
21
经典力学小结（一~三章）
1、运动学
位矢，位移（路程），速度（平均速度，瞬时 速度，平均速率，瞬时速率），加速度（平均， 瞬时）；切向加速度与法向加速度（曲线运动中 自然坐标系下），圆周运动角量描述，线量与角 量关系，直线运动与圆周运动的运动学方程（匀 变速与一般变速），相对运动变换式（坐标，速 度，加速度）
解： 这个问题可分三个阶段进
O
行分析。第一阶段是棒自由摆落
的过程。只有重力做功，机械能 C
守恒。我们把棒在竖直位置时质
心所在处取为势能零点，用表
示棒这时的角速度：
mg
l 2
1 2
J2＝1 21 ml 322（1）
15
定轴转动刚体的角动量守恒定律
第二阶段是碰撞过程。因
碰撞时间极短，冲力极大，
O
地面摩擦力可忽略。棒与物
M d t L L0
F
d
x
1 2
mv2
1 2
mv02
M
d
1 J 2
2
1 2
J02
9
例题1: 一根质量为m、长为 L的均匀细棒OA（如 图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转 动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到 竖直位置时其中点C和端点A的速度。
解 先对细棒OA所受的力作 O
一分析；重力 G作用在棒的
22
2、动力学 牛顿三定律，牛顿方程应用（变力）
伽利略相对性原理，惯性力（非惯性系中形式地 运用牛顿方程）
时间累积效应：冲量，动量，动量定理（质点， 质点系），动量守恒；质心，质心运动规律

定轴转动刚体的功能原理

定轴转动刚体的功能原理
下端达到的高度h。
l l
c hc
m
ho
h’
h=3h0/2
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为 v0 2gh0 7
令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v＇。
由角动量守恒，有：
ml (v0
v)

J ,式中J

1 ml 2 3
①
在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:
1 2
m(v02

v2 )

1 2
J
2
②
二式联立解得：
v v0 , 3v0
2
2l
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为 h h0
而杆的质心达到的高度满足
1 2
J 2

mghc
4
由此得
h 2hc

3h0 2
8
解 : 作用于杆的力有重力及 轴对杆的支承力 N , N过O点,
其力矩为零 .重力矩为 mg l sin .
2
dA mg l sin d
2
A m mg l sin d
0
2

mg
l 2
(1
cos
m
)
N
o


m c

将h l(1 cosm )代入上式得
A 1 mgh 2
矩的总功也必为零。
二、刚体的动能
质点动能:
Ek
1 mv2 2
刚体上所有质元的动能之和为：
v2
v3 r3 m3

r2
m2 v1
o r1 m1
Ek

1 2
mi vi 2

刚体定轴转动的动能定理 ppt课件

刚体定轴转动的动能定理 ppt课件

dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12 v0 t)ຫໍສະໝຸດ dt 224 v0
7l
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第七章 刚体力学 作业： P256 7.4.2 7.5.1
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O
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第七章 刚体力学
[解](1)由机械能守恒得
m ghc

1 2
I 2
hc

1 2
l
I 1 ml2 3
联立得
3g
l
O Ep=0 C
v l 3gl
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(2)根据质心运动定理
FN W mac
分量式
FNn

m
g

m
vc2 rc
mvM
l 2

I

2mu
l 2

1 ml 2
12

1 2
ml 2
解得

mvMl 2
ml 2 12 ml 2 2
6m(2gh)1 2 (m 6m)l
M
N
C
B
l
h A
l/2
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第七章 刚体力学 演员N以u起跳，达到的高度，由机械能守恒：
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
第七章 刚体力学
角动量守恒条件：
M 0
刚体所受的合外力矩为零
若I不变，ω不变； 若I变，ω也变，但 L I 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中，因内力矩远大于外力矩 ，此时， 角动量守恒。

刚体定轴转动转动定理、功与能

刚体定轴转动转动定理、功与能

已知：均匀直杆质量为m，长为l， 光滑， 光滑 例. 已知：均匀直杆质量为 ，长为 ，轴o光滑， 0
A
θ
l /4 C
l,m B
初始静止在水平位置。 AO = l / 4 初始静止在水平位置。 角时， 求: 杆下摆到 θ 角时， 角速度 ω ？
【解】
ω
“杆+地球”系统， 杆 地球 系统， 地球”
只有重力作功， 只有重力作功，
E 守恒。 守恒。 (1) (2)
1 l 2 J 0ω − mg sin θ = 0 2 4
1 l 2 7 2 J 0 = ml + m ( ) = ml 2 12 4 48
课堂练习
研究对象是杆，显然本题中杆不可视为质点，不可用牛二； N 研究对象是杆，显然本题中杆不可视为质点，不可用牛二；杆应抽 象为刚体模型，这里就是刚体定轴转动问题， 象为刚体模型，这里就是刚体定轴转动问题，使用转动定理
o
θ
【解】 杆做定轴转动由转动定律有
mg
l 1 2 m cosθ = Jα = m α g L 2 3 3g 得 α= cos θ 2l
r dr
α
r Fபைடு நூலகம்
φ
r r d A = F ⋅ dr r = F d r cos α
P
A= ∫ M dθ
θ1 θ2
= F (rd θ ) sin φ = (Fr sin φ ) d θ = M dθ
此式称为力矩的功 实质上仍然是力的功）。 （实质上仍然是力的功）。
(对比
r r A = ∫ F ⋅d r)
R
设绳轻， 轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻， 且不伸长,与滑轮无相对滑动）。 且不伸长 与滑轮无相对滑动）。 与滑轮无相对滑动

刚体定轴转动的功和能

刚体定轴转动的功和能
2 3 R 0 转过的圈数： n 16g 2
(解毕 )
· 10 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
五、刚体的机械能守恒
当系统中只有保守力作功，系统的机械能守恒：
E0 E
其中 E
m ,l
l 2
1 mv 2 1 J 2 2 2
C
mgh 1 kx 2 2
滑轮(R, M)，m从静止开始下落，求下落 h 时物体的速 度及加速度。 系统 = 弹簧 + 滑轮 + 物体 + 地球： 提示： 机械能守恒
k
M ,R
2mgh kh 2 答案： v m M / 2
m
2(mg kh) a 2m M
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
减速、加速?
h
· 13 ·
Chapter 4. 刚体的转动
三、刚体绕定轴转动的动能定理
W Md
0
M J J d dt
d ω 0 J dt d 0 J d

·4 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
1 1 2 2 积分得： W J J 0 2 2
1 2 [定义] 刚体转动动能： E k J 2 1 1 2 2 W J J 0 E k E k 0 E k 2 2

mg
前例 已知：匀质细杆 (m，l )，光滑轴，从竖直位置静 止摆下，求细杆摆到θ 位置时的角速度。
· 11 ·
Chapter 4. 刚体的转动
§4. 5 刚体定轴转动的功和能
解：以杆、地球为一系统，则系统机械能守恒：

大学物理复习笔记

大学物理复习笔记

⼤学物理复习笔记刚体1 定轴转动定律（转动惯量如：滑轮问题J =1/2MR^2）常⽤列⽅程组解题M=Jα;F=Ma；a=rα2 刚体定轴转动的功和能E=1/2 Jw^2例棒⼦质量M，⼩球质量m1/2(mglsinθ)=1/2(Jw^2)J=1/12(ML^2)+m(L/2)^23 转动惯量J（会判断谁⼤谁⼩）4 ⾓动量守恒（例如圆盘与⼦弹考虑圆盘与⼦弹同向与反向同向时，L增⼤但J也增⼤，不好判断⾓速度变⼤还是变⼩，反向时⼀定变⼩创新实验：⾓动量合成，⼤⼩⽅向，旋转转轮的⾓动量合成实验室有⼏个⾓动量演⽰仪，这是其中⼀个。

两边的圆盘分别可以逆时针或顺时针转动，上⾯的⼿柄可以将圆盘拉起来。

这⾥只介绍其中⼀种转动情况，其他情况可以类⽐。

假设两侧转盘都逆时针转动，则当转盘的⽅向是斜向下时，他们的合⾓动量是向下的，由于系统所受的合外⼒矩为零，所以系统⾓动量守恒。

故从空中俯看，会看到整个装置逆时针转动。

当⽤⼿柄将转盘拉起时，转盘的合⾓动量为向上，整个装置会顺时针转。

当转盘⽔平时，整个装置不转动。

其他的装置也是利⽤⾓动量守恒的原理，可以去看下振动1 简谐振动表达式x=Acos(wt+φ) 会判断运动⽅向，（旋转圆⽮量法）2 相位相位差3 振动的合成（已知A和φ）画图法波动1 写波函数y(x,t)=Acos [w(t-x/u)+ φ]=Acos[wt-2πx/λ+φ]、某⼀点的振动表达式；速度（对t求偏导，把对应t,x带⼊）2 介质元的能量特征平衡位置，动能最⼤势能最⼤，且⼀样⼤作业第四章⼆第5条3 波动图像（给出波动图像判断初相时要注意波的传播⽅向）静电场1 场强E （导体球（电荷表⾯分布），带点球壳，球体）⾼斯定理2 电势U⽆限⼤带电平板，沿垂直于平板⽅向的场强分布，电势分布电势（0电势定在板的位置）场强3 平板电容器板间作⽤⼒F=σq/（2ε。

）σ为⾯电荷密度板间场强E=σ/（2ε。

）C=Q/U =εs/d4 两个带电体电场⼒电势能例如：两带电体，⼀个带点球壳电量为Q，⼀导体细棒，延长线过球⼼，电荷线密度为λ细棒端和尾离圆⼼分别为r1 r2 求电场⼒电势能dF =Edq; dq=λdr;dF =EλdrF=对dF的积分（r1到r2）dW=Uλdr5 电场的能量W=Q^2/(2c)=cU^2/2:有介质时W=DE/2=εE^ 2/2 （另外，page 215 还有充介质的情况，充两层呢(关于计算单位体积的能量；能量的密度)6 探索实验带电乒乓（这是静电乒乓。

刚体定轴转动动能定理公式

刚体定轴转动动能定理公式

刚体定轴转动动能定理公式刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的物理定理。

在物理学中，刚体定轴转动动能定理是非常重要的定理之一，它能够帮助我们更好地理解物体在转动时的能量变化规律。

我们需要了解一下刚体的概念。

刚体是指在运动或者受力作用下不会发生形变的物体，也就是说，在运动或者受力作用下，刚体的形状和大小都不会发生任何改变。

我们可以将刚体分为两种类型，一种是平面刚体，另一种是空间刚体。

平面刚体指的是只有面积，没有厚度的物体，空间刚体指的是有一定大小和形状的物体。

接下来，我们来了解一下刚体定轴转动动能定理。

刚体定轴转动动能定理的表达式是：E = 1/2 * I * ω²，其中E表示刚体定轴转动的动能，I表示刚体对于轴的转动惯量，ω表示刚体绕轴的角速度。

从这个公式中，我们可以看出，刚体定轴转动动能与刚体的转动惯量和角速度的平方成正比。

那么，什么是转动惯量呢？转动惯量是描述物体转动惯性的物理量，它表示物体绕着某一轴旋转时所具有的旋转惯性。

不同形状的刚体，其转动惯量也是不同的。

例如，对于一个质量均匀分布的球体，其转动惯量为2/5 * m * r²，其中m表示球体的质量，r表示球体的半径。

刚体定轴转动动能定理的应用非常广泛。

例如，在机械制造和工程设计中，我们可以通过刚体定轴转动动能定理来计算物体旋转时所需要的能量和功率。

同时，在运动学和动力学研究中，刚体定轴转动动能定理也是非常重要的工具。

刚体定轴转动动能定理是描述刚体绕某一固定轴转动时动能变化的重要定理。

通过刚体定轴转动动能定理，我们可以更好地理解物体在转动时的能量变化规律，这对于物理学的研究和应用都具有非常重要的意义。

刚体的能量定轴转动的动能定理

刚体的能量定轴转动的动能定理

三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg

8第八讲、刚体的定轴转动的功和能

8第八讲、刚体的定轴转动的功和能

1 l 2 0 J mg ( ) 2 6
将J代入，化简后，可得棒到达竖直位置时的角速 度为

3g l
7

3.4.1 质点的角动量 角动量又称动量矩.
O
L r p r mv
L p r m
L rmv sin
若质点绕某固定轴O作圆周运动, 则:
aobo棒下落过程中只有重力做功故棒与地球系统的机械能守恒选择水平位置为势能零点则将j代入化简后可得棒到达竖直位置时的角速341质点的角动量sinrmvmrrmv342刚体对定轴的角动量刚体绕定轴转动时各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该定轴作圆周运动
3.3.1 力矩的功
dW F ds F cos ds =F ds=F rd Md
l M mg 6
棒对O轴的转动惯量为
J J AO J BO 1 m l2 1 2m 4l 2 ( ) ( ) 3 3 9 3 3 9 1 ml 2 6 9

因此
1 mgl M 3g 6 1 J 2l ml 2 9
(2) 棒下落过程中，只有重力做功，故棒与地球系 统的机械能守恒，选择水平位置为势能零点，则
t L Mdt dL J J 00 t0 L0
10

3.4.4 角动量守恒定律及其应用
M 0
J 常矢量 或 J J 00



当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保
持不变.这一结论称为角动量守恒定律.
角动量守恒定律的两种情况： 1、转动惯量保持不变的单个刚体。
14

例3-9 一匀质转台质量为M，半径为R，可绕竖直的中 心轴转动，初角速度为ω0，一人立在台中心，质量为m. 若他以恒定的速度u相对转台沿半径方向走向边缘，如图 所示.试计算人到达转台边缘时，(1)转台的角速度；(2)转 台转过的圈数.

刚体定轴转动的功和能

刚体定轴转动的功和能

《大学物理》练习题 刚体定轴转动的功和能班级 ___________ 学号 __________ 姓名 _________ 成绩 ________基本要求：（1） 掌握力矩的功、转动动能、动能定理、含刚体的机械能守恒定律及应用内容提要： 1. 力矩的功：⎰=θMd A2 转动动能：刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。

221ωJ E k =3 刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量21222121ωωJ J A -=若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.常量=+=C mgh J E 221ω一、选择题1. 如图所示, 一匀质细杆可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内自由转动. 杆长 l = (5/3)m,今使杆从与竖直方向成60°角的位置由静止释放(g 取10m/s 2), 则杆的最大角速度为 [ ] (A) 3rad/s.(B) rad/s (C) 9 rad/s.60° 图(D)3rad/s.2.一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举,整个系统以2rad/s 的角速度旋转，转动惯量为.如果将双臂收回则系统的转动惯量变为.此时系统的转动动能与原来的转动动能之比E k / E k0为[ ] (A)2.(B) 2. (C) 3. (D) 3.3.如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴旋转，初始状态为静止悬挂。

现有一个小球自左方水平打击细杆.设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 [ ] (A) 只有机械能守恒.(B) 只有动量守恒.(C) 只有对转轴O 的角动量守恒. (D) 机械能、动量角和动量均守恒. 二.填空题1.一匀质细杆AB,长为l ,质量为m . A 端挂在一光滑的固定水平轴上, 细杆可以在竖直平面内自由摆动.杆从水平位置由静止释放开始下摆,当下摆 时,杆的角速度为 .2.将一质量为m 的小球, 系于轻绳的一端, 绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住, 先使小球以角速度1在桌面上做半径为r 1的园周运动, 然后缓慢将绳下拉, 使半径缩小为r 2, 在此过程中小球的动能增量是 .○· O 图三.计算题1.有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v 1和v 2，如图所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (以知棒绕O 点的转动惯量J=m 1l 2/3).2.一长l=0.4m 的均匀木棒，质量M=1.0kg ，可绕水平轴O 在竖直内转动，开始时棒自然地竖直悬垂，今有质量m=8g 的子弹以s m v 200 地速率从A 点射入棒中，假定A 点与O 点的距离为43l ，求：（1）、棒开始运动时的角速度； （2）、棒的最大偏转角。

高二物理竞赛看：刚体定轴转动的机械能和力矩的功

高二物理竞赛看：刚体定轴转动的机械能和力矩的功

2
2
3
1 mgl 1 (1 ml 2 ) 2
2
23
m,l
mg
3g
l
刚体定轴转动的功能原理
2
1
M外
M重
d
1 2
J22
1 2
J12
2
1
M 外d
mgz
c
2
1 2
J22
mgz
c1
1 2
J12
2 1
M外d
E2
E1
若 M非重外 0 ，刚体的机械能守恒
E
1 2
J2
mghc
常量
m,l o
mg
Mz
dLz dt
当M z 0时
Lz 恒矢量
角动量守恒定律：刚体所受合外力矩为零，则刚体
的角动量保持不变。
J22 J11
对于刚体系统，角动量守恒定律可表示为
Jii C
需要多大的速度 才能滚上斜坡?
只有重力产生力矩，且重 力矩随摆角变化而变化。
N m,l o
l
2
M mg l sin mg l cos
mg
2
2
重力矩作功：
90
90
A重 0 Md
090 mg
l 2
cos d
1 mgl 2
始末两态动能： Ek0 0
Ek
1 2
J2
由动能定理： A Ek Ek0
o
1 mgl 1 J 2 0 J 1 ml 2
3.由定转轴动刚定体律的角M动 量J定理 J d
dJ
dL
dt
dt
dt
角动量定理微分式： dL M dt
Mdt 称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩。

08 刚体定轴转动的动能定理和转动定律

08 刚体定轴转动的动能定理和转动定律

3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为 r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）
dm：质量元
dmdl ：线密度 dmdS ：面密度
dmdV ：体密度
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
刚体定轴转动的动能定理
W12M d1 2J2 21 2J12
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能 的增量.
注意
1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能
原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质
点组，它服从质点组的功能转换关系.
2. 刚体的定轴转动的动能应用 Ek
m1(2m2
1 2
m)g
m1
m2
1 2
m
,
FT 2
m2
(2m1
1 2
m)
g
m1
m2
1 2
m
决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点 并与棒垂直的两轴的转动惯量.
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
M
1.力矩
动 点平P面刚, 且的体在交绕转点O动z，轴平力旋面F 转内作,,用Or 为在轴刚为与体由上转点
O 到力的作用点 P 的位矢.
O
M zr*
dP
F
F对转轴z的力矩 M Fsrin Fd

《刚体的定轴转动》课件

《刚体的定轴转动》课件

实例二
陀螺在受到外力矩作用后发生定轴转动。分析过程中应用了转动定 律，解释了陀螺的进动现象。
实例三
电风扇在启动时，叶片的角速度从零逐渐增大到稳定值。分析过程中 应用了转动定律，解释了电风扇叶片角速度的变化规律。
CHAPTER
03
刚体的定轴转动的动能与势能
动能与势能的定义
动能定义
物体由于运动而具有的能量，用 符号E表示，单位是焦耳(J)。
势能定义
物体由于相对位置或压缩状态而 具有的能量，常用符号PE表示， 单位是焦耳(J)。
刚体的定轴转动动能与势能的计算
转动动能计算
刚体的转动动能等于刚体绕定轴转动的动能，等于刚体质量与角速度平方乘积的一半， 即E=1/2Iω^2。
势能计算
刚体的势能等于刚体各质点的势能之和，等于各质点的位置坐标与相应的势能函数的乘 积之和。
01
数学表达式：Iα=M
02
转动惯量的计算：根据刚体的质量和形状，可以计算出其转动
惯量。
角加速度的计算：根据作用在刚体上的外力矩和刚体的转动惯
03
量，可以计算出其角加速度。
转动定律的实例分析
实例一
匀速转动的飞轮在受到阻力矩作用后，角速度逐渐减小，直至停止 转动。分析过程中应用了转动定律，解释了飞轮减速直至停止的原 因。
CHAPTER
02
刚体的定轴转动定律
转动定律的内容
刚体定轴转动定律
对于刚体绕固定轴的转动，其转动惯量与角加速度乘积等于作用 在刚体上的外力矩之和。
转动定律的物理意义
描述了刚体在力矩作用下绕固定轴转动的运动规律。
转动定律的适用范围
适用于刚体在力矩作用下的定轴转动，不适用于质点和弹性体的转 动。

力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系

力学10-转动定律,转动惯量,刚体绕定轴转动中的功、能量、功能关系
mg
+
lmg sin 0 1 J 2 0
2
2
J 1 ml2 3
2 3gsin
l
(3gsin )1/ 2
l
2020/2/2
18
第五章 刚体力学基础 动
量矩
解二 功能原理
研究对象： 细棒＋轴＋地球
O
ml x

∴系统机械能E守恒
C
取O点所在位置为重力势能零点
M
L
O
dx
x
J L x2dx 1 ML2
0
3
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理 J z' J z ML2
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z:刚体绕通过质心的轴
L 2020/2/2 :两轴间垂直距离
5
z
M
L
O dx
x
J L / 2 x2dx 1 ML2
机械能守恒 mgh v 2 (mr2 JZ ) / (2r2 ) 0
R3
m 2π R

mR2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dS 2πrdr
dm dS

π
m R2
2π
rdr

2mr R2
dr
J
m r2dm
0
R 0
2m R2
r
3dr

m 2
R2
2020/2/2
4
dl m
R O
Rm dr
r O
第五章 刚体力学基础 动 量矩
(3) J 与转轴的位置有关 z
L / 2
12
z' z M

刚体定轴转动的势能和机械能守恒

刚体定轴转动的势能和机械能守恒
刚体定轴转动是指刚体绕一个固定轴线做角速度 矢量不为零的转动。
在刚体定轴转动过程中，由于没有外力矩作用， 刚体的角动量守恒。
同时，由于没有外力做功，刚体的机械能也保持 守恒，即动能和势能之和保持不变。
机械能守恒的验证方法
01
验证机械能守恒的方法可以通过实验测量和理论计算两种方式进 行。
02
在实验测量中，可以通过测量系统的动能和势能的变化来 验证机械能守恒。例如，在单摆实验中，通过测量摆球的 质量、摆长、摆角和摆动周期等参数，可以验证机械能守 恒。
刚体定轴转动的定义
刚体定轴转动是指刚 体绕某一固定轴线作 转动。
刚体定轴转动的角速 度和角加速度可以用 矢量表示，也可以用 标量表示。
在定轴转动中，刚体 的角速度和角加速度 都是矢量，且与转轴 平行。
刚体定轴转动的特点
刚体定轴转动具有周期性，即 刚体转动的角速度和角加速度
都与转动的角度有关。
在定轴转动中，刚体的动能和 势能之间可以相互转化，但机
01
刚体定轴转动时，其势能主要取决于其相对位置和转动角速 度。
02
转动角速度越大，刚体的势能越大。
03
当刚体绕固定轴转动时，其势能随转动角度的增加而增加。
势能的变化
01 当刚体在力的作用下发生位移时，其势能会发生 变化。
02 在保守力场中，力对物体做正功，物体的势能减 小；力对物体做负功，物体的势能增加。
03 在非保守力场中，力对物体做功可能不会引起势 能的变化。
03 机械能守恒
机械能守恒的定义
机械能守恒是指在没有外力做功或者 外力做功的代数和为零的情况下，系 统的动能和势能之和保持不变。
机械能守恒定律是物理学中的一个基 本定律，它适用于各种机械运动，包 括刚体的定轴转动。

刚体的能量定轴转动的动能定理

刚体的能量定轴转动的动能定理

/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL
1 mL2
3g L
3
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
力 F 作的功：
ds rd
dA F ds F sin rd Md
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。

5.4 刚体定轴转动中的功和能

5.4 刚体定轴转动中的功和能
因为 dsi = ri d，并且 cosi = sini ，所以：
d
dAi Fi ri sin i d M zi d
O

式中Mzi 是外力Fi 对转轴 Oz的力矩。
dr r' i i θ r i
Fi
.
P
3
5.4
刚体定轴转动中的功和能
第5章 刚体的定轴转动
dAi Fi ri sin i d M zi d
式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。
在整个刚体转过d 角的过程 中，N 个外力所作的总功为：
O

d
dr r' i i θ r i
Fi
.
P
dA dAi ( M zi )d M z d
i 1 i 1
N n
N n
式中 M zi 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力 矩的代数和，也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩Mz 。
第5章 刚体的定轴转动
解：拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能
R
例： 一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体。问：物体由静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。
o
m' m
FN
定理可得，拉力 FT 的力矩
30

a
v
m
19
5.4
刚体定轴转动中的功和能
第5章 刚体的定轴转动
3 m va ω 2 2 m ' l 3ma
射入杆后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒。
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《大学物理》练习题 No.8 刚体定轴转动的功和能
班级 ___________ 学号 __________ 姓名 _________ 成绩 ________
基本要求： （1） 掌握力矩的功、转动动能、动能定理、含刚体的机械能守恒定律及应用
内容提要： 1. 力矩的功：
⎰=θ
Md A
2 转动动能：刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。

22
1
ωJ E k =
3 刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增
量
21222
121ωωJ J A -=
若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.
常量=+=
C mgh J E 2
2
1ω
一、选择题
1. 如图8.1所示, 一匀质细杆可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内自由转动. 杆长 l = (5/3)m,今使杆从与竖直方向成60°角的位置由静止释放(g 取10m/s 2), 则杆的最大角速度为
[ ] (A) 3rad/s.
(B) π rad/s (C) 9 rad/s.
(D)
3rad/s.
2.一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举,整个系统以2π rad/s 的角速度旋转，转动惯量为6.0kgm 2.如果将双臂收回则系统的转动惯量变为2.0kgm 2.此时系统的转动动能与原来的转动动能之比E k / E k0为 [ ] (A)2.
(B) 2. (C) 3. (D)
3.
图8.1
3.如图8.2所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴旋转，初始状态为静止悬挂。

现有一个小球自左方水平打击细杆.设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 [ ] (A) 只有机械能守恒.
(B) 只有动量守恒.
(C) 只有对转轴O 的角动量守恒.
(D) 机械能、动量角和动量均守恒.
二.填空题
1.一匀质细杆AB,长为l ,质量为m . A 端挂在一光滑的固定水平轴上, 细杆可以在竖直平
面内自由摆动.杆从水平位置由静止释放开始下摆,当下摆θ 时,杆的角速度为 .
2.将一质量为m 的小球, 系于轻绳的一端, 绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住, 先使小球以角速度ω 1 在桌面上做半径为r 1的园周运动, 然后缓慢将绳下拉, 使半径缩小为r 2, 在此过程中小球的动能增量是 .
三.计算题
1.有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v 1和v 2，如图8.3所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (以知棒绕O 点的转动惯量J=m 1l 2/3).
图8.2
2 (图8.3
2.一长l=0.4m 的均匀木棒，质量M=1.0kg ，可绕水平轴O 在竖直内转动，开始时棒自然地竖直悬垂，今有质量m=8g 的子弹以s m v 200=地速率从A 点射入棒中，假定A 点与O 点的距离为43l ，求： （1）、棒开始运动时的角速度； （2）、棒的最大偏转角。

No, 8 参考答案 一、选择题
1. (A), 提示：杆下摆过程，根据机械能守恒22
1
)cos 1(21ωθJ Mgl =-可得杆在竖直放置时的最大转动角速度为s rad /3=ω；
2. （C ），提示：在手臂收回的过程中，角动量是守恒的：2211ωωJ J =，可得s rad /62πω=，
所以前后的能量比
31
2
121
2222
112
1
=⋅=ωωJ J E E k k ； 3. （C ） 二.填空题 1. l g θωsin 3=
，杆下摆过程，机械能守恒，2
2
1sin 21ωθJ mgl =，可得； 4
l
O A
2. )(2122
2
2212121r r
r mr E k -=∆ω，由于绳子上的拉力通过了转轴，故没有力矩，角动量守恒，
但此拉力是要做功的，2
22
22
12
1ωωmr mr =，得12
1
2ωωr r =
，所以动能的增量为212222
121ωωJ J E k -=
∆； 三.计算题
1. 解：由角动量守恒可以得到 )(212v v l m J +=ω
碰后，由于摩擦产生的阻力矩为：
l
gm dr gr gdm r M rdF
M l
⎰⎰⎰====012
1
μρμμ 由角动量定理，ωJ Mt =
得到，碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间
g
m v v m t 1212)
(2μ+=
2. 解：（1）、碰撞瞬间由角动量守恒可以得到 43,)(2
l d J md mdv =+=ω 所以： )(88.81
-⋅=s rad ω
（2）、子弹与棒一同偏转的过程中只受重力矩作用，所以 系统机械能守恒：
)cos 1)(4
3
2()169(2122θω-+=+l mg l Mg ml J
所以：,
5294
=θ。