2018学年数学人教A版选修4-4优化练习：第二讲 三 直线的参数方程

第二讲 三1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A ．23B ．－23C ．32D ．－32解析：k ＝y －2x －1＝－3t 2t ＝－32.答案：D2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．7 2B ．4014C ．82D ．93＋4 3解析：把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t 代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，得(－5＋t )2＋(2－t )2＝25，t 2－7t ＋2＝0.|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝41，弦长为2|t 1－t 2|＝82.答案：C3．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，3)解析：由题意，⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16， 整理得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.答案：A4．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为56π，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos 56π，y ＝－4＋t sin 56π(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)5．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点(－2,3)的距离等于2的点的坐标是____________________．解析：由题意，得(－2－2t ＋2)2＋(3＋2t －3)2＝(2)2，解得t ＝±22，代入直线参数方程可得所求的点为(－3,4)或(－1,2)．答案：(－3,4)或(－1,2)6．已知直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－1＋4t (t 为参数)，l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－52－t (t 为参数)．试判断l 1与l 2的位置关系．解：方法一：将直线l 1化为普通方程，得y ＝2x ＋1，将l 2化为普通方程，得y ＝－12x－2.因为k 1·k 2＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，所以两直线垂直． 方法二：由参数方程知， l 1的方向向量是a 1＝(2,4)，l 2的方向向量是a 2＝(2，－1)， 又2×2＋4×(－1)＝0，所以l 1丄l 2. 即两条直线垂直．7．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是( )A ．|t 1|＋|t 2|2B ．|t 1＋t 2|2C ．|t 1－t 2|2D ．|t 1|－|t 2|2解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：B8．设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中P 点对应的t 值为__________. 解析：由|PM 0|＝2知，t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.答案：±19．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求椭圆上一点P 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t ，y ＝2＋2t (t 为参数)的最短距离．解：由题意，得P (3cos θ，2sin θ)， 直线：2x ＋3y －10＝0，d ＝||6cos θ＋6sin θ－1013＝⎪⎪⎪⎪62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1013.∵62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－10∈[－62－10,62－10]， ∴⎪⎪⎪⎪62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1013∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－6213，10＋6213.∴d min ＝10－6213. 10．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点．(1)求|AB |的长；(2)求点P (－1,2)到线段AB 中点C 的距离．解：(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t 2＋6t －2＝0. 设A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1＋t 2＝－67，t 1t 2＝－27.所以，线段|AB |的长为32＋(－4)2|t 1－t 2|＝5(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10723.(2)根据中点坐标的性质可得AB 中点C 对应的参数为t 1＋t 22＝－37. 所以，由t 的几何意义可得点P (－1,2)到线段AB 中点C 的距离为32＋(－4)2⎪⎪⎪⎪－37＝157.11．在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫0，12，且倾斜角为150°.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ＝0(θ为参数，ρ>0)．(1)写出直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．解：(1)由已知得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－32t ，y ＝12＋12t(t 为参数)，圆C 的直角坐标方程为x 2＋2x ＋y 2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－32t ，y ＝12＋12t(t 为参数)代入x 2＋2x ＋y 2＝0，整理得4t2＋(2－43)t＋1＝0，设方程两根分别为t1，t2，则t1·t2＝1 4，根据参数t的几何意义，得点P到A，B两点的距离之积为|t1t2|＝1 4.。

3 3 通方程y－2＝ 3 (x＋ 3)，其中k＝tan α＝ 3 ，0≤α<π. π ∴直线l的倾斜角α＝6.
π x＝－ 3＋tcos6， 方法二：由于直线l： y＝2＋tsinπ 6
(t为参数)，
π π 这是过点M0(－ 3 ，2)，且倾斜角α＝ 6 的直线，故 6 为所 求．
(3)由上述可知直线l的单位方向向量
π π e＝cos6，sin6＝
3 1 . ， 2 2
∵M0(－ 3，2)，M(－3 3，0)，
3 1 → ∴M0M＝(－2 3，－2)＝－4 ， 2 ＝－4e. 2
→ ∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M|＝4， → 且M0M与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．
数)．
2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，
x＝x0＋at， b 过定点M0(x0，y0)，斜率为 a 的直线的参数方程是 y＝y0＋bt
(a，b为常数，t为参数)．
1．已知直线l过点M0(1,3)，倾斜角为 1 x＝1＋2t， y＝3＋ 3t 2
x＝1＋t， (t为参数)和方程 y＝3＋ 3t
→ (x，y)，则M0M＝(x，y)－(x0，y0)＝(x－x0，y－y0)．
→ → 因为 M0M ∥e，所以存在实数t∈R，使 M0M ＝te，即(x－ x0，y－y0)＝t(cos α，sin α)，于是x－x0＝tcos α，y－y0＝tsin α，即x＝x0＋tcos ＋ 2 t， 解：(1)由直线l： y＝2＋1t 2 0,2，－2时，
(t为参数)知当t＝
分别对应直线l上的点(－ 3，2)，(0,3)，(－2 3，1)．

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，则点P 到直线l 的距离为( )A.12B.22 C ．1 D. 2 答案：B2．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋ty ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A.98 B ．4014C.82D.93＋4 3答案：C4．直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3t(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长为( )A ．210 B.10 C ．2 5 D. 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.|t 1－t 2|2D.|t 1＋t 2|2答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22)C ．(－3，－4)D ．(125，125)答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－3t (t 为参数)，则l 上任一点到定点(1,2)的距离是( )A ．tB ．|t |C.13|t |D.|t |13答案：C 8．(2013·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝(4－4)2＋(8＋8)2＝16. 答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1－t sinπ6y ＝2＋t cos π6(t 为参数)，则直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cosπ6y ＝1＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4， t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1t 2＝－2， 则点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．(2013·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)．注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设过焦点F (1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t y ＝22t(t 为参数)，将此代入y 2＝4x ，得t 2＋42t －8＝0，设这个方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系，有 t 1＋t 2＝－42，t 1·t 2＝－8， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝ (－42)2＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。

互动课堂重难突破本课时重点是对直线参数方程的理解,关键是理解参数t 的几何意义,难点是应用直线的参数方程解决相关问题. 一、直线参数方程的意义相对于直线的一般方程，参数方程更能反映一条直线上点的特征.判断与其他曲线的关系时，直接代入横坐标和纵坐标对应的参数表达式，方便运算.又由于直线参数方程的标准方程中的参数有一定的几何意义，对于那些需要直接求线段长度或者求有向线段的数量值的问题会更加方便快捷.用坐标的观点理解直线参数方程中的参数，在解决有关直线问题时，可以自然地将新旧知识联系起来，特别是在求直线被圆锥曲线所截得的弦长或弦中点问题时，可以提供更广阔的思考空间；具体问题中根据实际情况可以使用参数方程的标准式和非标准式，使解题的方法灵活多样，有利于一题多解和创新思维的培养. 二、直线参数方程的形式对于同一条直线的普通方程随着参数选取的不同，会得到不同的参数方程.例如，对于直线普通方程y =2x +1，如果令x =t 即可得到参数方程⎩⎨⎧+==12,t y t x (t 为参数)；如果令x =2t 则得到参数方程⎩⎨⎧+==14,2t y t x (t 为参数).这样随便给出的参数方程中的参数t 不具有一定的几何意义,但是在实际应用中也能简化某些运算.而过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程都可以写成为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=at y y a t x x sin ,cos 00 (t为参数)，我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段−−→−MM 0的数量且cos 2α+sin 2α=1是标准参数方程的基本特征.三、直线参数方程中参数的几何意义1.对于一般的参数方程，其中的参数可能不具有一定的几何意义，但是对于直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点M 0(x 0,y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程都可以写成为x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量,也就是:(1)直线l 上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值,即|M 0M |=|t |.(2)若t >0,则M 0M 的方向向上;若t <0,则M 0M 的方向向下;若t =0,则点M 与点M 0重合. 2.根据直线的参数方程判断直线的倾斜角.根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如x =2+t cos20°,y =-4+t sin20°(t 为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是20°.但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了.例如判断直线x =t sin20°+3,y =-t cos20°(t 为参数)的倾斜角,有两种方法:第一种方法:化为普通方程，求倾斜角. 把参数方程改写成⎩⎨⎧︒=︒=-,20cos 20sin 3t y t x －，消去t ，有y =-(x -3)co t 20°， 即y =(x -3)ta n110°，所以直线的倾斜角为110°.第二种方法:化参数方程为直线的标准参数方程⎩⎨⎧︒-=︒-+=110sin )(,110cos )(3t y t x令-t =t ＇，则⎩⎨⎧︒'=︒'+=,110sin ,110cos 3t y t x所以直线的倾斜角为110°.3.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法.给出直线的非标准式参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数)，根据标准式的特点，参数t 的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质,知其平方和为1，所以可以化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯++=+⨯++=t b a b a b y y b a b a a x x 2222022220, 2 (t 为参数)，再近一步令2222sin ,cos ba b a ba a a +=+=,根据直线倾斜角的范围让α在［0,π)范围内取值，并且把t b a 22+看成相应的参数t ＇,即得标准式的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧'+='+=at y y a t x x sin ,cos 00(t ＇为参数).由转化的过程可以看出，在一般参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=bty y at x x 00,(t 为参数)中,t b a 22+具有标准式参数方程中参数的几何意义.所以有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用，求出相应的t ，再乘以22b a +即可继续使用参数的几何意义.四、根据直线的参数方程,判断直线间的平行和垂直等问题对于斜率存在的直线方程，主要从斜率的关系进行考虑，根据斜率进行判断.而直线的参数方程可以和普通方程之间进行互化，所以对于直线的参数方程也可以找到直线平行和垂直的关系.下面分别对直线参数方程的一般形式和标准形式进行说明.首先给出直线l 1的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tb y y t a x x 1111,(t 为参数)和直线l 2的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tb y y t a x x 2222,(t 为参数).先考虑直线斜率都存在(b 1和b 2都不为0)的情况:直线l 1和l 2的斜率分别为11b a 和22b a .如果斜率相等即11b a ＝22b a⇒a 1b 2-a 2b 1=0且两条直线不重合时，直线l 1和l 2平行.如果斜率都不存在即b 1=b 2=0时，如果两条直线不重合，则一定有直线l 1和l 2平行，代入上式仍然成立.所以可得一般性结论:如果不重合的两条直线l 1和l 2平行，那么a 1b 2-a 2b 1=0，反之也成立,即不重合的直线l 1∥l 2⇔a 1b 2-a 2b 1=0.由两条直线垂直的条件知斜率存在的直线斜率乘积应为-1，即2211b a b a ⨯=-1⇒a 1a 2+b 1b 2=0.并且易证，对于斜率不存在的情况上式也正确.所以若直线l 1和l 2垂直，则a 1a 2+b 1b 2=0，反之也成立,即l 1⊥l 2⇔a 1a 2+b 1b 2=0. 对于标准方程，由于容易看出直线的倾斜角，所以可以直接根据倾斜角来判断直线的平行和垂直.五、根据标准参数t 的几何意义解题时,有如下常用结论 1.直线与圆锥曲线相交,交点分别对应t 1、t 2,则弦长l =|t 1-t 2|. 2.弦的中点M 对应的参数t m =.221t t + 3.若直线的定点P 0(x 0,y 0)恰是弦的中点,则t 1+t 2=0,反之亦然.活学巧用【例1】写出直线2x -y +1=0的参数方程，并求直线上的点M (1，3)到点A (3，7)、B (8，6)的距离.解析:要写出参数方程，首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2，设直线的倾斜角为α，则ta n α=2，则sin α=552，cos α=55，根据后边要求的点M 恰好在直线上，为了后边的运算方便,选择M 作为直线上的定点.要求点M 到A 、B 的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以.解:根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α， 则ta n α=2，sin α=552，cos α=55， 所以直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 553,5521(t 为参数).经验证易知点A (3，7)恰好在直线上，所以有1+552t =3,即t =5，即点M 到点A 的距离是 5.而点B (8，6)不在直线上，所以不能使用参数t 的几何意义，可以根据两点之间的距离公式求出距离为.58)63()81(22=-+-点评:本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义.常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容，随便取一个定点；②把点B(8，6)当成直线上的点很容易由1+552t =8,得t =557. 【例2】设直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22,224(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(-4，0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧=+-=ty t x ,4(t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为( )A.±1B.0C.±21D.±23解析:由|PM 0|=2，知PM 0=2或PM 0=-2，即t =±2代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(-3，1)或(-5，-1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t =1或t =-1. 答案:A点评:直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，合理使用其几何意义，可以简化运算，使解题过程更加简洁.这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.【例3】求直线l 1:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1343,1364(t 为参数)与直线l 2:x +y -2=0的交点到定点(4,3)的距离. 解:∵l 1的参数方程不是标准方程,则利用换参数的方法把l 1的参数方程改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+=∙'+='+=∙'+=t t t y t t t x 132321323,133421334 (t ＇为参数). 把l 1的参数方程的标准形式代入x +y -2=0中,得4+133t ＇+3+132t ＇-2=0. 解得t ＇=-13, ∴|t ＇|=13.由|t ＇|的几何意义为交点到点(4,3)的距离, ∴所求的距离为|t ＇|=13.【例4】求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆42x +y 2=1所得的弦长.解析:首先可以根据条件写出直线的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数)，代入椭圆的方程可得一个关于t 的二次方程，根据参数的几何意义可知所求弦长就是方程两根之差的绝对值.解:由条件可知直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,221(t 为参数)， 代入椭圆方程可得1)221(4)221(22=++-t t ，即5t 2+62t +2=0.设方程的两实根分别为t 1、t 2,则由二次方程的根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,52,5262121t t t t 则直线截椭圆的弦长是|t 1-t 2|=.524524)526(4)(221221=⨯--=-+t t t t点评:本题主要使用参数方程中两点的距离公式，易错的地方是:转化参数方程时，计算135°的正弦和余弦值时出错，再者就是距离公式不会灵活使用，而一味地要使用参数的几何意义. 【例5】 已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,求|P A |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程.解析:本题可以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，运算较为麻烦.如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程来解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算.解:设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎨⎧+==at y a t x sin 2,cos 3＋(t 为参数)，由A 、B 是坐标轴上的点知y A =0，x B =0， ∴0=2+t sin α，即|P A |=|t |=asin 2;0=3+t cos α，即|PB |=|t |=-.cos 3a故|P A |·|PB |=.2sin 12)cos 3(sin 2aa a -=-∵90°<α<180°，∴当2α=270°,即α=135°时，|P A |·|PB |有最小值.∴直线方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,223(t 为参数)，化为普通方程即x +y-5=0. 点评:直线的参数方程和普通方程可以进行互化，特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式，而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程. 【例6】设直线l 过点P (-3,3),且倾斜角为65π. (1)写出直线l 的参数方程;(2)设此直线与曲线C :⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 2y x (θ为参数)交于A 、B 两点,求|P A |·|PB |;(3)设A 、B 中点为M ,求|PM |.解:(1)直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=--=+-=.2136π5sin 3,2336π5cos 3t t y t t x (2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去,得4x 2+y 2-16=0.把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中,得4(-3-23 t )2+(3+21t )2-16=0,即13t 2+4(3+123)t +116=0.由t 的几何意义,知|P A|·|P B|=|t 1·t 2|,∴|P A|·|P B|=|t 1·t 2|=.13116(3)由t 的几何意义知中点M 的参数为,221t t + ∴|PM |=21|t 1+t 2|=.13)3123(2+。