考点19 等比数列(讲解)(原卷版)-2021年高考数学复习一轮复习笔记

2021年高考数学一轮复习主要考点总结知识点总结
专题一：集合
考点1：集合的基本运算
考点2：集合之间的关系
专题二：函数
考点3：函数及其表示
考点4：函数的基本性质
考点5：一次函数与二次函数.
考点6：指数与指数函数
考点7：对数与对数函数
考点8：幂函数
考点9：函数的图像
考点10：函数的值域与最值
考点11：函数的应用
专题三：立体几何初步
考点12：空间几何体的结构、三视图和直视图
考点13：空间几何体的表面积和体积
考点14：点、线、面的位置关系
考点15：直线、平面平行的性质与判定
考点16：直线、平面垂直的判定及其性质
考点17：空间中的角
考点18：空间向量
总结：以上就是____高考数学一轮复习主要考点总结的全部内容，请大家认真阅读，巩固学过的知识，小编祝愿同学们在努力的复习后取得优秀的成绩!。

§6.3等比数列课标要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n 项和公式，理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称G 为a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)．(2)前n 项和公式：S n ，＝a 1－a n q 1－q，q ≠1且q ≠0.3．等比数列的常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋.特别地，若2w ＝m ＋n ，则a m a n ＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N ＋.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N ＋)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }数列(b ，p ，q ≠0)．(4)1>0，>11<0，q <1，则等比数列{a n }递增．1>0，q <11<0，>1，则等比数列{a n }递减．4．等比数列前n 项和的常用性质若等比数列{a n }的公比q ≠－1,前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .常用结论1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．3．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(2)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T3n T 2n ，…成等比数列．(3)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×)(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(√)2．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析若a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，数列－1，－1,1,1满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．3．在等比数列{a n }中，若a 3＝32，S 3＝92，则a 2的值为()A ．32B ．－3C ．－32D ．－3或32答案D解析由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，得q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，∴a 2＝a 3q ＝32或－3.4．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和为S n ＝________.答案a ≠0，a ≠1解析因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，Sn ＝a (1－a n )1－a.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4等于()A.158B.658C ．15D ．40答案C 解析方法一若该数列的公比q ＝1，代入S 5＝5S 3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q ≠1.由1－q 51－q ＝5×1－q 31－q －4，化简得q 4－5q 2＋4＝0，所以q 2＝1或q 2＝4，因为此数列各项均为正数，所以q ＝2，所以S 4＝1－q 41－q ＝15.方法二由题知1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＝5(1＋q ＋q 2)－4，即q 3＋q 4＝4q ＋4q 2，即q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q －2)(q ＋1)(q ＋2)＝0.由题知q >0，所以q ＝2.所以S 4＝1＋2＋4＋8＝15.(2)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则Sn a n 等于()A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案B 解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，1q 4－a 1q 2＝12，1q 5－a 1q 3＝24，1＝1，＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4(q 2－1)a 3(q 2－1)＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n .思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)(2023·天津)已知{a n }为等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＋1＝2S n ＋2，则a 4的值为()A ．3B ．18C ．54D ．152答案C解析由题意可得，当n ＝1时，a 2＝2a 1＋2，即a 1q ＝2a 1＋2，①当n ＝2时，a 3＝2(a 1＋a 2)＋2，即a 1q 2＝2(a 1＋a 1q )＋2，②联立①②1＝2，＝3，则a 4＝a 1q 3＝54.(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为()A ．8B ．10C ．12D ．16答案C解析从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则{a n }是以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016，即127a 1＝1016，解得a 1＝8，∴a n ＝8×2n －1，∴log 2(a 3a 5)＝log 2(8×22×8×24)＝12.题型二等比数列的判定与证明例2(2023·长沙模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，a 2＝－1，且a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0(n ∈N ＋)．(1)证明：{a n ＋1＋3a n }为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(1)证明由a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0，可得a n ＋2＋3a n ＋1＝2(a n ＋1＋3a n )，即a n ＋2＋3a n ＋1a n ＋1＋3a n＝2(n ∈N ＋)，∴{a n ＋1＋3a n }是以a 2＋3a 1＝5为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知a n ＋1＋3a n ＝5·2n －1(n ∈N ＋)，∴a n ＋1－2n ＝－3(a n －2n －1)，∴a n ＋1－2n a n －2n －1＝－3，∴{a n －2n －1}是以a 1－20＝1为首项，－3为公比的等比数列，∴a n －2n －1＝1×(－3)n －1，∴a n ＝2n －1＋(－3)n －1，S n ＝1－2n 1－2＋1－(－3)n 1－(－3)＝2n －34－(－3)n 4.思维升华等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数，且n ≥2，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝cq n －1(c ，q 均为非零常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n －k (k 为常数，且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2(2024·潍坊模拟)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝3，b 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n .(1)证明：{a n ＋b n }和{a n －b n }都是等比数列；(2)求{a n b n }的前n 项和S n .(1)证明因为a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n ，所以a n ＋1＋b n ＋1＝3(a n ＋b n )，a n ＋1－b n ＋1＝－(a n －b n )，又由a 1＝3，b 1＝2得a 1－b 1＝1，a 1＋b 1＝5，所以数列{a n ＋b n }是首项为5，公比为3的等比数列，数列{a n －b n }是首项为1，公比为－1的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋b n ＝5×3n －1，a n －b n ＝(－1)n －1，所以a n ＝5×3n －1＋(－1)n －12，b n ＝5×3n －1－(－1)n －12，所以a n b n ＝5×3n －1＋(－1)n －12×5×3n －1－(－1)n －12＝25×32n －2－14＝254×9n －1－14，所以S n ＝254×1－9n 1－9－n 4＝25×(9n －1)－8n32.题型三等比数列的性质命题点1项的性质例3(1)(2023·全国乙卷)已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.答案－2解析方法一{a n }为等比数列，∴a 4a 5＝a 3a 6，∴a 2＝1，又a 2a 9a 10＝a 7a 7a 7，∴1×(－8)＝(a 7)3，∴a 7＝－2.方法二设{a n }的公比为q (q ≠0)，则a 2a 4a 5＝a 3a 6＝a 2q ·a 5q ，显然a n ≠0，则a 4＝q 2，即a 1q 3＝q 2，则a 1q ＝1，∵a 9a 10＝－8，则a 1q 8·a 1q 9＝－8，则q 15＝(q 5)3＝－8＝(－2)3，则q 5＝－2，则a 7＝a 1q ·q 5＝q 5＝－2.下标和相等的等差(比)性质的推广(1)若数列{a n }为等比数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则12m m a a ·…·n m a ＝12k k a a ·…·n k a .(2)若数列{a n }为等差数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则1m a ＋2m a ＋…＋n m a ＝1k a ＋2k a ＋…＋n k a .典例已知等差数列{a n }，S n 为前n 项和，且a 9＝5，S 8＝16，则S 11＝________.答案33解析S 8＝8(a 1＋a 8)2＝16，∴a 1＋a 8＝4，又∵a 9＋a 1＋a 8＝3a 6，∴a 6＝3，故S 11＝11a 6＝33.(2)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N ＋)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.答案100解析因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.命题点2和的性质例4(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案2解析奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30－2S 20＋S 10的最小值为________．答案－5解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，且S 10＝20，不妨令其公比为q (q >0)，则S 20－S 10＝20q ，S 30－S 20＝20q 2，∴S 30－2S 20＋S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝20q 2－20q ＝－5，故当q ＝12时，S 30－2S 20＋S 10的最小值为－5.思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．跟踪训练3(1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝20，a 2a 8＝2，则1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝________.答案10解析1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝＝a 2＋a 8a 2a 8＋a 4＋a 6a 4a 6＝a 2＋a 8＋a 4＋a 6a 2a 8＝202＝10.(2)(2023·长春统考)在等比数列{a n }中，q ＝12，S 100＝150，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100的值是________．答案50解析设T 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99，T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100，所以T 2T 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12，所以S 100＝T 1＋T 2＝2T 2＋T 2＝3T 2＝150，所以T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50.课时精练一、单项选择题1．(2023·本溪模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ＝12，且a 3a 4＝132，则a 6等于()A.18 B.116C.132D.164答案C解析由a 3a 4＝132，得a 1q 2·a 1q 3＝132，即a 21＝132，所以a 21＝1.又a n >0，所以a 1＝1，a 6＝a 1q 5＝1＝132.2．若1，a 2，a 3,4成等差数列；1，b 2，b 3，b 4,4成等比数列，则a 2－a 3b 3等于()A.12B ．－12C ．±12D.14答案B解析由题意得a 3－a 2＝4－13＝1，设1，b 2，b 3，b 4，4的公比为q ，则b 3＝q 2>0，b 23＝1×4＝4，解得b 3＝2，a 2－a 3b 3＝－12＝－12.3．(2023·济宁模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.4．已知等比数列{a n }为递减数列，若a 2a 6＝6，a 3＋a 5＝5，则a5a 7等于()A.32B.23C.16D ．6答案A解析由{a n }为等比数列，得a 2a 6＝a 3a 5＝6，又a 3＋a 5＝5，∴a 3，a 5为方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，解得a 3＝2，a 5＝3或a 3＝3，a 5＝2，由{a n }为递减数列得a n >a n ＋1，∴a 3＝3，a 5＝2，∴q 2＝a 5a 3＝23，则a 5a 7＝1q 2＝32.5．(2024·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为()A ．6B ．12C ．18D ．42答案D解析设第n (n ∈N ＋)天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列{a n }是公比为12的等比数列，1－12＝6332a 1＝378，解得a 1＝192，所以此人后三天所走的里程数为a 4＋a5＋a 6＝192×18×1－12＝42.6．(2023·新高考全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝－5，S 6＝21S 2，则S 8等于()A ．120B ．85C ．－85D ．－120答案C解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1，若q ＝1，则S 6＝6a 1＝3×2a 1＝3S 2，不符合题意，所以q ≠1.由S 4＝－5，S 6＝21S 2，可得a 1(1－q 4)1－q ＝－5，a 1(1－q 6)1－q ＝21×a 1(1－q 2)1－q ，①由①可得，1＋q 2＋q 4＝21，解得q 2＝4，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ·(1＋q 4)＝－5×(1＋16)＝－85.方法二设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝－5，S 6＝21S 2，所以q ≠－1，否则S 4＝0，从而S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，所以(－5－S 2)2＝S 2(21S 2＋5)，解得S 2＝－1或S 2＝54，当S 2＝－1时，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6，即为－1，－4，－16，S 8＋21，易知S 8＋21＝－64，即S 8＝－85；当S 2＝54时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝(1＋q 2)S 2>0，与S 4＝－5矛盾，舍去．综上，S 8＝－85.二、多项选择题7．(2023·太原模拟)已知数列{a n }是等比数列，以下结论正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．若a 3＝2,a 7＝32，则a 5＝±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{a n }是递增数列D ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则r ＝－1答案ACD 解析令等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，对于A ，a 2n ＋1a 2n ＝＝q 2，且a 21≠0，则{a 2n }是等比数列，故A 正确；对于B ，由a 3＝2，a 7＝32，得q 4＝16，即q 2＝4，所以a 5＝a 3q 2＝2×4＝8，故B 错误；对于C ，由a 1<a 2<a 31(q －1)>0，1q (q －1)>0，>0，1(q －1)>0，a n ＋1－a n ＝q n －1·a 1(q －1)>0，即∀n ∈N ＋，a n ＋1>a n ，所以数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，显然q ≠1，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1q －1·q n －a 1q －1，而S n ＝3n ＋r ，因此q ＝3，a 1q －1＝1，r ＝－a 1q －1＝－1，故D 正确．8．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且满足a 1>1，a 2022>1，a 2023<1，则()A ．a 2022a 2024－1<0B ．S 2022＋1<S 2023C ．T 2022是数列{T n }中的最大项D ．T 4045>1答案AC 解析设数列{a n }的公比为q .∵a 1>1，a 2023<1，∴0<a 2023<1，又a 2022>1，∴0<q <1.∵a 2022a 2024＝a 22023<1，∴a 2022a 2024－1<0，故A 正确；∵a 2023<1，∴a 2023＝S 2023－S 2022<1，即S 2022＋1>S 2023，故B 错误；∵0<q <1，a 1>1，∴数列{a n }是递减数列，∵a 2022>1，a 2023<1，∴T 2022是数列{T n }中的最大项，故C 正确；T4045＝a1a2a3·…·a4045＝a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4044)＝a40451q1＋2＋3＋…＋4044＝a40451q2022×4045＝(a1q2022)4045＝a40452023，∵0<a2023<1，∴a40452023<1，即T4045<1，故D错误．三、填空题9．(2023·全国甲卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若8S6＝7S3，则{a n}的公比为________．答案－1 2解析若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不符合题意．所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·a1(1－q6)1－q＝7·a1(1－q3)1－q，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－1 2 .10．设等比数列{a n}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________．答案200 3解析设数列{a n}的前n项和、中间n项和、后n项和依次为a，b，c.由题意知a＋b＝100，b＋c＝200，b2＝ac，∴b2＝(100－b)(200－b)，∴b＝200 3.11．在等比数列{a n}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______.答案31104解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1.因为a 9＋a 10＝4，a 19＋a 20＝24，所以a 19＋a 20＝(a 9＋a 10)q 10＝24，解得q 10＝6，所以a 59＋a 60＝(a 9＋a 10)q 50＝4×65＝31104.12．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n ＝________，T n ＝________.答案12n解析由题意得a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2n ＝1－a n ，n －1＝1－a n －1，得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝161－116＝四、解答题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }落入区间(10,2023)的所有项的和．解(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，又a 1＋2＝3，所以a n ＋1＋2a n ＋2＝2，所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，a n ＝3×2n －1－2.(2)由10<a n <2023，得10<3×2n －1－2<2023，即4<2n －1<675，即4≤n ≤10，故{a n }落入区间(10,2023)的项为a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10，所以其和S ＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3×(23＋24＋…＋29)－2×7＝3×8－10241－2－14＝3034.14．(2024·邯郸模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N ＋.(1)求{a n }通项公式；(2)设b n ＝a n n ＋1，在数列{b n }中是否存在三项b m ，b k ，b p (其中2k ＝m ＋p )成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．解(1)由题意知，在数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1，n ≥2，两式相减可得，a n ＋1－a n ＝3a n ，a n ＋1＝4a n ，n ≥2，由条件知，a 2＝3a 1＋1＝4a 1，符合上式，故a n ＋1＝4a n ，n ∈N ＋.∴{a n }是以1为首项，4为公比的等比数列．∴a n ＝4n －1，n ∈N ＋.(2)由题意及(1)得，在数列{a n }中，a n ＝4n －1，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b n ＝4n －1n ＋1，如果满足条件的b m ，b k ，b p 存在，则b 2k ＝b m b p ，其中2k ＝m ＋p ，∴(4k －1)2(k ＋1)2＝4m －1m ＋1·4p －1p ＋1，∵2k ＝m ＋p ，∴(k ＋1)2＝(m ＋1)(p ＋1)，解得k 2＝mp ，∴k ＝m ＝p ，与已知矛盾，∴不存在满足条件的三项．15．(2023·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n .若p ：数列{a n }是等比数列；q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若{a n }是等比数列，设公比为k ，则a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝k (a 1＋a 2＋…＋a n )，a 3＋a 4＋…＋a n ＋2＝k (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)，于是(a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)2＝k 2(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝(a 3＋a 4＋…＋a n ＋2)(a 1＋a 2＋…＋a n )，即q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)成立；若(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，取a n ＝0，n ∈N ＋，显然{a n }不是等比数列，故p 是q 的充分不必要条件．16．(2023·泰安模拟)若m ，n 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同零点，且m ，n ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq ＝________.答案20解析＋n ＝p >0，＝q >0>0，>0，则m ，－2，n 或n ，－2，m 成等比数列，得mn ＝(－2)2＝4.不妨设m <n ，则－2，m ，n 成等差数列，得2m ＝n －2.结合mn ＝4，可得(2m ＋2)m ＝4⇒m (m ＋1)＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，＝1，＝4＝5，＝4⇒pq ＝20.。

考向19 等差数列及其前n 项和1.（2022年乙卷文科第13题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+，则公差d = ．【答案】2【解析】因为32236S S =+，所以212233()6a a a ⨯=++，即213()36a a d -==，所以2d =. 2.（2022年北京卷第6题） 设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3.（2022新课标1卷第17题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式； （2）证明：121112+++<na a a ． 【解析】（1）111==S a ，所以111=S a ， 所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列， 所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ， 所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）； 累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式， 所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ． （2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+n a a a n n111112(1)2231=-+-++-+n n 12(1)21=-<+n ． 4.（2022新课标2卷第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知()1111283a d b b a d +-=-+，故()111243a d b d a d +-=-+；故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证． （2）由（1）知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：()111121k b a m d a -=+⋅-⋅+ 即()11111212k b b m b b -=⋅⋅+-+，即122k m -=， 因为1500m ，故1221000k -，解得210k故集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数为9个．5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. （1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值. 【答案】（1）略；（2）78- 【解析】（1）由于221nn S n a n+=+，变形为222n n S na n n =+-，记为①式， 又21122(1)1(1)n n S n a n n --=-+---，记为②式， ①-②可得*1(22)(22)22,2,n n n a n a n n n ----=-∈N 即*11,2,n n a a n n --=∈N ，所以{}n a 是等差数列；（2）由题意可知2749a a a =，即2111(6)(3)(8)a a a +=++，解得112a =-，所以12(1)113n a n n =-+-⨯=-，其中1212...0a a a <<<<，130a =则n S 的最小值为121378S S ==-.6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列}{n a 的各项为正数，记n S 为}{n a 的前n 项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．①数列}{n a 为等差数列；②数列}{n S 为等差数列；③123a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】见解析． 【解析】一、选择条件①③已知}{n a 为等差数列，122a a =，设公差为d ，则d a a a +==1123，即12a d = 因为1212)1(a n d n n na S n =-+=，则n a S n ⋅=1)0(1>a 所以数列}{n S 为等差数列 二、选择条件①②已知}{n a 为等差数列，数列}{n S 为等差数列，设公差为d 则dn a a n )1(1-+=，n da d n d n n na S n )2(212)1(121-+=-+= 若数列}{n S 为等差数列，则21da =，所以1123a d a a =+=三、选择条件②③已知数列}{n S 为等差数列，123a a =设公差为d 则d S S =-12，即d a a =-114 则21da =nd d n S S n =-+=)1(1则d n S n 2=，d dn S S a n n n -=-=-21所以}{n a 为等差数列7.（2021年全国一卷第19题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积.已知212n nS b +=. （1）证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.【解析】（1）当1n =时，11b S =，易得132b =. 当2n ≥时，1n n n b S b -=，代入212n n S b +=消去n S 得，1212n n n b b b -+=，化简得112n n b b --=， {}n b ∴是以32为首项，12为公差的等差数列. （2）易得11132a S b ===.由（1）可得22n n b +=，由212n n S b +=可得21n n S n +=+. 当2n ≥时，12111(1)n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++，显然1a 不满足该式； 31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.8.（2021年新高考2卷第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）=26n a n -；（2）min 7n =．【解析】（1）由题意知：35244,a S a a S =⎧⎨=⎩()()1111154+252,43342a d a d a d a d a d ⨯⎧=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+⋅+=+⎪⎩即：121+20,46a d d a d =⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 故14,2a d =-⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为26n a n =-． （2）由（1）知()21(4)25,2n n n S n n n +=⋅-+⋅=-又,26n n n S a a n >=-2526n n n ∴->-即2760n n -+>16n n ∴<>或+n N ∈min 7n ∴=1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的判定与证明方法（1）定义法：如果一个数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{a n }为等差数列；（2）等差中项法：如果一个数列{a n }对任意的正整数n 都满足2a n+1=a n +a n+2，那么可以判断{a n }为等差数列；（3）通项公式法：如果一个数列{a n }的通项公式满足a n =p n +q （p ，q 为常数）的形式，那么可以得出{a n }是首项为p+q ，公差为p 的等差数列;（4）前n 项和公式法:如果一个数列{a n }的前n 项和公式满足S n =An 2+Bn （A ，B 为常数）的形式，那么可以得出数列{a n }是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列.1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( )A ．32B ．39C ．42D ．45 【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.n n 13n A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C【解析】因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12n n 267A ．13 B ．49 C ．35 D ．63n n n －1n ＋126n n A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1 D ．S 4＝S 1 【答案】B【解析】数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6， 所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3. 所以a n ＝－6＋3(n －2)＝3n －12，所以S 1＝a 1＝－9，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－9－6－3＝－18， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－9－6－3＋0＝－18， 所以S 4＜S 1，S 3＝S 4.6.在等差数列{a n }中，a 2，a 14是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 8a 2a 14＝( )A ．－32 B ．－3 C ．－6 D ．2n A ．100 B ．120 C ．390 D ．540 【答案】A【解析】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.8.已知等差数列{a n }的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40n n 56678是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 【答案】ABD【解析】S 6＝S 5＋a 6＞S 5，则a 6＞0，S 7＝S 6＋a 7＝S 6，则a 7＝0，则d ＝a 7－a 6＜0，S 8＝S 7＋a 8＜S 7，a 8＜0.则a 7＋a 8＜0，所以S 9＝S 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 5＋2(a 7＋a 8)＜S 5，由a 7＝0，a 6＞0知S 6，S 7是S n 中的最大值．从而ABD 均正确．10．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0n ＋n 25898值是________． 【答案】16【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21＋4d 2＋5a 1d＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.12．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．n n ＋1n n ＋2324(1)求a 1＋a 3a 2的值； (2)求证：数列{a n }为等差数列．14. 已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.一、单选题 1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为1010．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ） （参考数据：51010 1.58,10 1.26≈≈）A ．0.57B ．0.59C ．0.61D ．0.63【答案】D【解析】依题意，以标准对数视力5.0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力4.8为该数列第3项，标准对数视力5.0对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为10110， 因此，标准对数视力4.8对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为2105111()0.631010⨯=≈. 故选：D数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（ ）A ．184B ．186C ．187D ．188．（上海杨浦二模）数列n 为等差数列，1且公差，若1，3，6也是等差数列，则其公差为（ ） A ．1g d B ．1g2d C ．lg 23D ．1g 324．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“221n F =+（n ∈N ）”是素数，我们称n F 为“费马数”．设()2log 1n n a F =-，22log n n b a =，n *∈N ，数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．n n a b < B ．n n a b > C ．n n S T ≤ D ．n n S T ≥【答案】D【解析】因为221nn F =+（n ∈N ），所以()222log 1log (211)2nn n n a F =-=+-=，n *∈N所以222log 2log 22nn n b a n ===，n *∈N ，当2n =时，22224,224a b ===⨯=，两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ） A ．第23天 B ．第24天 C ．第25天 D ．第26天6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列n a 为等差数列，数列n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数(),()f x ax b g x ax b =+=-，下列条件，能使得（m ，n ）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ） A ．(0)1,()f f f m n -+成等差数列B ．(),()g m g g n 成等比数列C ．(),2()2,()f m n f m b f m n --+成等差数列D ．(),(),()g m n g m g m n -+成等比数列()()()2222amb a m n b a m n b ⎡⎤⎡⎤-=--⋅+-⎣⎦⎣⎦，整理可得()222220an an am b --=，当20an ≠，且0b ≠时，由22220an am b --≠得2212n m b b a a-=，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D 错误. 故选：C.8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为1239,,,,a a a a ⋅⋅⋅，设数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，且218a =，4690a a +=，则8S =（ ）A ．189B ．252C ．324D ．405【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由218a =，4690a a +=，得11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：199a d =⎧⎨=⎩，所以8879893242S ⨯⨯=⨯+=. 故选：C.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设n *∈N ，正项数列{}n x 满足11(0,1),ln 1n n n n x x x x x +∈-=，下列说法正确的有（ ） A ． 1x 为{}n x 中的最小项B ．2x 为{}n x 中的最大项C ．存在1(0,1)x ∈，使得123,,x x x 成等差数列D ．存在1(0,1),x n *∈∈N ，使得12,,n n n x x x ++成等差数列 1,()x f x '>1,()x f x '<(1)1ln1f =+)1x131,(0,1),1,1,n x x f x f +∈∴>==所以A 正确 令()(ln ,1g x f x x x x =- 21()0,x g x x +-='-<()g x ∴)0,x ∴320x x -<x x 是最大的项，所以B 是最大的项，则不可能使得()n g x <，则，所以不存在,x x 10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列n a 满足：当为奇数时，21n a n =+；当n 为偶数时，2n a n =，则下列结论正确的为（ ）A ．2021和2023均为数列{}()21n a n *-∈N 中的项B ．数列{}()21n a n *-∈N 为等差数列C ．仅有有限个整数k 使得23k k a a >成立D ．记数列{}2na 的前n 项和为n S ，则1413n n S +<-恒成立选项，2n 为偶数，则}2n 是以4为首项，以)14414n -=-三、填空题11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知n S 为单调递减的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和3612n nT n =-，则下列结论中正确的有___________．（填写序号） ①30a =；②27n S n n =-；③()2n n S n a n =+-；④4nS S ≤【答案】②④11n d a ⎛++⎝3612n n-，12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列{}n a 满足：①10a <，22a >；②在区间(11,20)中的项恰好比区间[41,50]中的项少2项，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了⨯幻方的每一行上整数之和为______.⨯的幻方，那么5555【答案】65【解析】因为()125251232513253252+⨯++++==⨯=，因为55⨯幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为325655=. 故答案为：65.九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②③【解析】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确③. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.④. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确故答案为：①②③四、解答题15．（2022·上海崇明·二模）已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列． (1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k =是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值【解析】(1)由题意可得满足5m =且11a =的P 数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..(2)假设{}n a 是等差数列，公差为d ，当0d >时，由题意，2d =或3， 此时1121i a a a ≥+>+(2,3,4,,)i m =，所以11a +不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列 当0d <时，由题意，2d =-或3-，此时1121i a a a ≤-<-(2,3,4,,)i m =所以11a -不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列 综上所述，{}n a 不可能是等差数列 (3)由题意，N*d ∈，当6d ≥时，因为51a ≥，所以100519115a a d =+≥，与题意不符； 当3d ≤时，记{}545352515,,,,(1,2,3,,20)k k k k k k M a a a a a k ----==，当{}100(1,2,3,,20)i M i ∈∈时，51004388i a ≥-⨯=，所以55()31k i a a i k d =--≥，所以k M 中的最小项314319≥-⨯=，所以1(1,2,3,20)k M k ∉=，与题意不符，当4d =时，1054a a =+，又由题意，10512342323a a x x x x =++--（*），其中N(1,2,3,4)i x i ∈=， 且12345x x x x +++=，所以13242()3()4x x x x -+-=，所以13242x x x x -=⎧⎨=⎩ ， 所以322225x x ++=，与N(1,2,3,4)i x i ∈=不符；当5d =时，取,541,532,522,511,5n n n k n n k a n n k n n k n n k =-⎧⎪+=-⎪⎪=+=-⎨⎪-=-⎪-=⎪⎩ ，此时的数列{}n a 满足题意，综上所述，5d =.16．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．础工资收入总量()1024000 1.0511********.051S ⨯-=⨯=-元（2）()37003001n a n =+-，14000 1.05n n b -=⨯134003004000 1.05n n c n -=+-⨯，()1340030014000 1.05n n c n +=++-⨯，设11300200 1.050n n n c c -+-=-⨯>，即11.05 1.5n -<，解得18n ≤≤所以当18n ≤≤时，{}n c 递增，当9n ≥时，n c 递减又当0n c <，即134003004000 1.05n n -+<⨯，解得514n ≤≤，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块 【答案】C【思路导引】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S ．【解析】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===，故选C ．2．（2020浙江7）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差110,a d d≤≠．记12122,,n n n b S b S S n ++*=-=∈N ，下列等式不可能成立的是（ ）A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．2428b b b =【答案】B【解析】A ．由等差数列的性质可知4262a a a =+，成立；B ．4566b S S a =-=-，2323b S S a =-=，()6710891093b S S a a a a =-=-++=-， 若4262b b b =+，则()6399639232a a a a a a a -=-⇔-=-， 即660d d d =-⇔=，这与已知矛盾，故B 不成立；C ．()()()2242811137a a a a d a d a d =⇔+=++ ，整理为：1a d =，故C 成立；D ．()89141011121314125b S S a a a a a a =-=-++++=-，当2428b b b =时，即()263125a a a =⋅-，整理为()()()211155211a d a d a d +=-++，即2211225450a a d d ++=，0∆>，方程有解，故D 成立．综上可知，等式不可能成立的是B ，故选B ．3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则()A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由40S =，55a =，得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n ∴=-，24n S n n =-，故选A ．4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = )A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B 【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+，12a =，∴111132433(3)422a d a a d a d ⨯⨯⨯+=++++，把12a =，代入得3d =-，524(3)10a ∴=+⨯-=-，故选B ．5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】由题知，∴1113424656482a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得12a =-，4d =，故选C ． 6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．2a ，3a ，6a 成等比数列，∴2326a a a =， 2111(2)()(5)a d a d a d ∴+=++，且11a =，0d ≠，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A ． 7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100(a = ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97【答案】C【解析】由题知，195959()92922a a a S a +⨯====27，∴53a =，又108a ==d d a 5355+=+，1d ∴=，10059598a a d ∴=+=，故选C8．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．9．（2020北京8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯，则数列{n T } （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项 【答案】A【解析】设公差为d ，a 5-a 1=4d ，即d=2，a n =2n-11，1≤n ≤5使，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，所以n=4时，T n ＞0，并且取最大值；n=5时，T n ＜0；n ≥6时，T n ＜0，并且当n 越来越大时，T n 越来越小，所以T n 无最小项．故选A ．10．（2020上海7）已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，且满足1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+= ．【答案】278【解析】由条件可知111298a d a d a d+=+⇒=-，()112951010194 (92727)988a d a a a a d a a a d d ++++====+． 故答案为：278． 11．（2019•新课标Ⅲ，理14）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由10a ≠，213a a =可得，12d a =，∴1011051510()5()S a a S a a +=+ 112(29)24a d a d +=+11112(218)428a a a a +==+．12．（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和．若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ．【答案】16【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩，所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=．13．（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，，则5a = ________ ． n S 的最小值为_______． 【答案】0，-10【解析】由题意得，2151351010a a d S a d =+=-⎧⎨=⋅+=-⎩，解得141a d =-⎧⎨=⎩，所以5140a a d =+=．因为{}n a 是一个递增数列，且50a =，所以n S 的最小值为4S 或5S ，()4543441102S S ⨯==-⨯+⨯=-． 14．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___． 【答案】14【解析】解法一 设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，所以7767(4)2142S ⨯=⨯-+⨯=．解法二 32714a d +=，所以2d =．故432a a d =+=，故7477214S a ==⨯=．15．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，251146536a a a d a d d +=+++=+=，∴6d =，∴3(1)663n a n n =+-⋅=-．16．（2019•新课标Ⅰ，文18）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式； （2）若10a >，求使得nn a S ≥的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ， 若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=， 若34a =，则5322a a d -==-， 则3(3)210n a a n d n =+-=-+，（2）若nn a S ≥，则d n a d n n na )1(2)1(11-+≥-+，当1n =时，不等式成立，当2≥n 时，有12a d nd-≥，变形可得12)2(a d n -≥-，又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有112)4)(2(a a n -≥--，又由10a >，则有10≤n ， 则有102≤≤n ，综合可得：102≤≤n ，n N ∈．17．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-， 17a ∴=-，13315a d +=-，解得17a =-，2d =，72(1)29n a n n ∴=-+-=-；（2）17a =-，2d =，29n a n =-，22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n ∴=+=-=-=--，∴当4n =时，前n 项的和n S 取得最小值为16-．18．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===，452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==． 故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

第14讲 等差、等比数列考点1：等差数列一、等差数列的基本概念和公式1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即A =x+y 2．3.通项公式：a n =a 1+(n −1)d =a m +(n −m)d ,(n ∈N ∗,m ∈N ∗,m ≤n)⇒d =a n −a m n−m(n,m ∈N ∗,n ≠m)4. 前n 项和公式：S n =n(a 1+a n )2=na 1+n(n−1)2d ，(n ∈N ∗)；二、等差数列的性质：1. a m =a n +(m −n)d ，d =a m −a n m−n,(n ∈N ∗，m ∈N ∗);2. 若p +q =m +n ，则有a p +a q =a m +a n ；若2m =p +q ，则有2a m =a p +a q （p ，q ，m ，n ∈N ∗）；3. {a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n−1=(2n −1)a n ；{b n }为等差数列，S n ′为前n 项和，S 2n−1′=(2n −1)b n ；有a nb n=S 2n−1S 2n−1′．4. 若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n +q }，{a n ±b n }也为等差数列，且公差分别为pd 1，d 1，d 1±d 2．5. 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n+m ，a n+2m ，．．．．，为等差数列，公差为md ．6. 等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n ，⋯⋯为等差数列，公差为n 2d ，(n ∈N ∗)；三、等差数列的单调性以及前n 项和的最值探讨1. 在等差数列{a n }中，若公差d >0，则等差数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则等差数列{a n }为递减数列；若公差d =0，则等差数列{a n }为常数列； 补充：更一般性的情况，研究任一数列的增减性可以利用逐项作差法，即构造f (n )=a n+1−a n ，然后研究自变量n 变化时函数值f (n )的符号．2. 有关等差数列{a n }的前n 项和为S n 的最值问题： 若a 1>0，d <0，则前n 项和为S n 存在最大值 若a 1<0，d >0，则前n 项和为S n 存在最小值3. 如何求最值：方法一：（任何数列都通用）通过{a n ≥0a n+1≤0解出n 可求前n 项和为S n 的最大值；通过{a n ≤0a n+1≥0解出n 可求前n 项和为S n 的最小值； 方法二：利用等差数列前n 项和S n 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和S n 不存在最值），利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；四、等差数列的判断方法1. 定义法：a n −a n−1=d （常数）(n ∈N +，n ≥2)⇔{a n }为等差数列；2. 等差中项法：2a n =a n−1+a n+1(n ∈N +，n ≥2)⇔{a n }为等差数列；3. 通项公式法：a n =kn +b （k ，b 是常数）⇔数列{a n }是等差数列；4. 前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n =An 2+Bn ，(A ，B 是常数，A 2+B 2≠0) ⇔数列{a n }是等差数列；若数列{a n }的前n 项和S n =An 2+Bn +C(A ，B 是常数，C ≠0)，则数列{a n }从第二项起是等差数列．典例精讲【典例1】已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2+a 5＝a 6+a 3，则S 7＝（ ） A ．2 B ．7 C ．14 D ．28【典例2】已知等差数列{a n }的公差为4，且a 2，a 3，a 6成等比数列，则a 10＝（ ） A ．26 B ．30 C ．34 D ．38【典例3】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＞0，公差d ＜0，a 10•S 21＜0，则S n 最大时，n 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【典例4】．已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A．B ．20 C ．25 D ．100【典例5】．已知等差数列{}n a 满足10a >，201920200a a +>，201920200a a <．其前n 项和为n S ，则使0n S >成立时n 最大值为( ) A ．2020B ．2019C ．4040D ．4038【典例6】．等差数列{}n a 中，36a =，816a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则122020111(S S S ++⋯+= ) A ．20172018B ．20182019C ．20192020D ．20202021【典例7】已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，22a b m ==，33a b n ==，若m ，n 为正数，且m n ≠，则( ) A ．11a b < B ．11a b > C ．11a b = D ．1a ，1b 的大小关系不确定【典例8】已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 2+a 6＝a 8．若p ﹣q ＝10．则a p ﹣a q ＝【典例9】设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4+a 7＝60，a 2+a 5+a 8＝51，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则正整数k 的值为 ．考点2：等比数列一、等比数列的基本概念和基本公式1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q ≠0)表示．等比数列中的项不为0．2. 通项公式：a n =a 1q n−1=a m q n−m (n ∈N ∗，n ≥2) ；3. 前n 项和公式：S n ={na 1 (q =1)a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q(q ≠1)．二、等比数列的性质（其中公比为q ）：1. a n =a m q n−m ，q =√na mn−m(n ∈N ∗，m ∈N ∗) ； 2. 若p +q =m +n ，则有a p ⋅a q =a m ⋅a n ；若2m =p +q ，则有a m2=a p ⋅a q ； 3. 等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n+m ，a n+2m ，⋯⋯为等比数列，公比为q m ．4. 若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 、b 的等比中项，G 2=ab ，当且仅当两个数a 和b 同号 才存在等比中项．5. 若数列{a n }，{b n }都是等比数列且项数相同，则c n =a n s b n t (st ≠0)仍为等比数列．三、等比数列的判断方法1.定义法：a 1≠0，a nan−1=q （常数）(n ∈N ∗，n ≥2) ⇔{a n }为等比数列．2. 等比中项法：a n 2=a n−1a n+1，(n ∈N ∗，n ≥2) ⇔{a n }为等比数列．3. 前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n =A −Aq n （A 是常数，A ≠0，q ≠0，q ≠1）⇔数列{a n }为等比数列；典例精讲【典例1】已知数列{a n }为等比数列，其中a 5，a 9为方程x 2+2016x +9＝0的二根，则a 7的值（ ）A ．﹣3B ．3C ．±3D ．9【典例2】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是100−200(910)n 万元，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【典例3】各项为正数的等比数列{a n }中，a 2与a 10的等比中项为√33，则log 3a 4+log 3a 8＝ ．【典例4】已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为 ．【典例5】已知正项等比数列{}n a ，向量3(a a =，8)-，7(b a =，2)，若a b ⊥，则212229log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．16C ．18D ．26log 5+【典例6】．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列2{log }n a 的前9项之和为( ) A ．11B ．9C ．15D ．13【典例7】.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a = ．【典例8】．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为34，则5S = ．综合练习一．选择题（共5小题）1．设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2019＝6057，则1a2+4a2018的最小值为（）A．1 B．23C．136D．322．设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．63．在等差数列{a n}中，S n表示{a n}的前n项和，若a3+a6＝3，则S8的值为（）A．3 B．8 C．12 D．244．已知正项等比数列{a n}满足：a7＝a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n＝16a12，则1m +9n的最小值为（）A．32B．83C．114D．不存在5．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若a1＝﹣24，a4=−89，则当T n取最大值时，n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6二．填空题（共1小题）6．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则b2a1+a2的值为．三．解答题（共2小题）7．已知{a n}为等差数列，且a1+a3＝8，a2+a4＝12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记的{a n}前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．8．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4＝28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a n log12a n，S n＝b1+b2+b3+…+b n，对任意正整数n，S n+（n+m）a n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．。

考点19 等比数列【思维导图】【常见考法】考法一：定义的运用1.已知数列，，，.求证：是等比数列； {}n a 11a =n N +∀∈121n n a a +=+{1}n a +2．已知数列的前项和为，且，.求证：为等比数列，并{}n a n n S 11a =()*11n n a S n n N +=++∈{}1na +求的通项公式； {}n a3．已知数列中，其前项和满足．求证：数列为等比数列，并求{}n a n n S 22(*)n n S a n =-∈N {}n a {}n a 的通项公式；考法二：中项性质1．已知实数依次成等比数列，则实数的值为 。

1,,,,9a x b --x2．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则 。

{}n a 2=53y x x -+15a a 、3a =3．在等比数列中，，是方程的两根，则 。

{}n a 4a 6a 2510x x ++=5a =4．在正项等比数列中，，则_______. {}n a 1010110a =1232019lg lg lg lg a a a a ++++=5．己知数列为正项等比数列，且，则 。

{}n a 13355724a a a a a a ++=26a a +=6．实数数列为等比数列，则 。

21,,4,a b a =7．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为 。

{}n a 2a 16a 2620x x ++=2169a a a8．已知，若2是与等比中项，则的最小值为 。

0ab >2a 4b 41121a b +++9．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则1291a a －，，，－12391b b b －，，，，－。

221()b a a －＝10．在中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列且，则ABC sin sin a c Cc b A-=- 。

sin cb B=11．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则的取值范围是 。

等比数列知识点归纳总结讲解等比数列是数学中重要的一种数列，具有很广泛的应用。

本文将对等比数列的定义与性质、求和公式、通项公式等进行归纳总结与讲解。

一、定义与性质等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比相等。

设等比数列的首项为 a，公比为 r，则第 n 项的公式为 an = a * r^(n-1)。

其中，n 为项数，a_1 为首项。

1. 公比 r 的取值：- 当 r > 1 时，等比数列是递增的；- 当 0 < r < 1 时，等比数列是递减的；- 当 r = 1 时，等比数列的所有项都相等，即为常数数列。

2. 等比数列的性质：- 等比数列中任意两项的比值相等，即 a(n+1) / an = r；- 等比数列中的任意项与它之后的项的比值相同；- 等比数列的任意项可以表示为它前一项乘以公比的 n 次方。

二、求和公式求等比数列的前 n 项和是解决等比数列问题中常用的方法之一。

根据数列的性质和推导，可以得到等比数列的求和公式如下：等比数列的前 n 项和 Sn = a(1-r^n) / (1-r)，其中 a 为首项，r 为公比。

三、通项公式通项公式是指通过等比数列给出的某一项与它的位置之间的关系，可以求解该等比数列的各项的值。

根据等比数列的定义，可以得到等比数列的通项公式如下：等比数列的第 n 项 an = a * r^(n-1)，其中 a 为首项，r 为公比。

四、应用举例等比数列在实际问题中具有广泛的应用。

以下举两个例子加以说明：例1：一个微生物培养基中的细胞数量，每天增加一倍。

已知初始时刻有 1000 个细胞，求第 6 天的细胞数量。

解：根据已知条件，我们可以得知初始时刻（第 1 天）的细胞数量a = 1000，公比 r = 2。

根据通项公式 an = a * r^(n-1)，我们可以求得第6 天的细胞数量为 a6 = 1000 * 2^(6-1) = 32000。

例2：某公司每年的销售额都是前一年的 80%，已知第一年销售额为 500 万元，求五年后的销售额。

高中数学等比数列知识点总结归纳高中数学中等比数列是必考之一，等比数列是高中数学的一个重要知识点也是一个难点，很多人在学完等差数列之后再学等比数列就更容易相互混淆了。

下面是小编为大家整理的关于高中数学等比数列知识点总结，希望对您有所帮助!等比数列公式性质知识点1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的'，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.等比数列知识点1.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

2021年高考数学一轮复习等比数列知识点知识点总结
高考是高中最重要的时期，为了备战高考，为大家带来了等比数列知识点，希望能帮助大家复习本门课程，只有找到适合自己的复习方法，在复习中才会事半功倍!
(1)定义式：
(5)等比中项：
若
为
或者
无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。

(7)由等比数列组成的新的等比数列的公比：
{an}是公比为q的等比数列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+ (3)
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q
性质
(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am_an=ap_aq。

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)若“G是a、b的等比中项”则”G =ab(G≠0)”。

(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则
{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1 ，q1 …
{can}，c是常数，{an_bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。

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2021年高考数学一轮复习要点知识点总结
高考第一轮复习是高考生跨入高三后基础能力过关时期，时间大概为今年9月至次年3月。

这一轮的复习十分重要，目的是将我们学过的基础知识梳理和归纳，既以教材为基本内容，又以教学大纲以及当年的考试说明为依据，做到知识点的全面涉及与提高巩固，同时也为我们二轮、三轮复习奠定基础。

在此，小编特整理了____年高考数学一轮复习要点，供各位考生参考。

第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

____年高考数学一轮复习要点就分享到这里了，一轮复习关系到高考的成败，希望上文能帮助大家做好高考第一轮复习，请继续关注！
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等比数列知识点梳理等比数列是初中数学中重要的内容之一，它在数学中拥有广泛的应用，因此深入理解和掌握等比数列知识点是非常有必要的。

本文将从基础知识点、性质和应用方面进行探讨和分析。

一、基础知识点1. 等比数列的定义：如果一个数列的任意两个相邻项的比都相等，则这个数列是等比数列。

2. 其中，相邻两项的比叫做公比。

通常用字母q表示，q≠0。

3. 等比数列的通项公式为：$a_n = a_1q^{n-1}$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示第一项。

4. 等比数列前n项和的公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$S_n$表示前n项和。

二、性质1. 等比数列的特点：通常一个数列有“趋势”，等比数列的“趋势”是每一项与前一项的比相等。

2. 等比数列的任意一项可以表示成前一项和公比的乘积：$a_n=q*a_{n-1}$。

3. 等比数列的前n项和$S_n$与公比q的大小关系：当$|q|<1$时，$S_n$趋向于有限值，但没有极限，称为收敛于$S$，当$q=1$时，$S_n=n*a_1$，当$q=-1$时，$S_n$的值在$n$为奇数时为0，在$n$为偶数时为$-2a_1$。

当$|q|>1$时，$S_n$趋向于正无穷或负无穷。

三、应用1. 等比数列的应用：金融、工程和科学等学科中的许多问题都可以转化为等比数列问题。

在金融中，如计算复利利息时，等比数列就是一种很有用的工具。

2. 生活中也有等比数列出现的场合，如年利率为3%的银行定期存款，每年到期后都将余款与原始本金一起存入下一年，这个资金增长规律就是等比数列。

3. 等比数列也常常出现在电影、小说等中，如《西游记》中唐僧取经的路程就是一条等比数列，每行程一定距离，充分体现了等比数列的应用。

四、总结综上所述，等比数列在初中数学中是重要的内容，也是数学中的一种有用工具。

我们需要充分理解等比数列的定义、通项公式和前n项和公式，掌握等比数列的特点和性质，以及在实际应用中的意义。

第19练等比数列及其求和学校____________姓名____________班级____________一、单选题1．（2022·福建泉州·模拟预测）记等比数列{n a }的前n 项和为n S .若2121204a a S S -=-=，，则2022S =（）A ．202222-B ．202221-C ．202322-D ．202321-【答案】C 【详解】因为214S S -=，所以24a =，因为2120a a -=，所以12a =，所以公比212a q a ==，所以()20221202320221221a q S q-==--故选：C2．（2022·安徽马鞍山·三模（文））等比数列{}n a 中，已知149a a +=，2518a a +=，则5S =（）A ．31B ．32C ．63D ．127【答案】A 【详解】解：因为等比数列{}n a 中，已知149a a +=，2518a a +=，设等比数列{}n a 公比为q ，所以()2514918a a q a a q +=+==，解得2q =，所以11331129a a a a q +=+=⨯，解得11a =，所以()551123112S ⨯-==-，故选：A.3．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知n S 为公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和.若11a =，1S ，3S ，9S 成等比数列，则12a =（）A ．11B ．13C ．23D ．24【答案】C【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，因为1S ，3S ，9S 成等比数列，所以()()211133936a d a a d +=+，化简得0d =（舍去）或122d a ==，所以1211123a a d =+=.故选：C4．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（）A．B．-C．±D ．3π【答案】C 【详解】解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a =所以33575a a a a ==±.故选：C.5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，124a a +=，若12a +，23a +，3a 成等差数列，则{}n a 的公比为（）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】设等比数列的公比为q ，由121144a a a a q +=⇒+=，因为12a +，23a +，3a 成等差数列，所以22(3)a +=12a ++3a ，于是有21112(3)2a q a a q +=++，即2111112(3)234a q a a q q a a q ⎧+=++⇒=⎨+=⎩，或0q =舍去，故选：B6．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，已知31a =，456a a +=，则公比q =（）A ．3-或2B ．2C ．2-或3D ．3【答案】B 【详解】设等比数列的首项为1a ，由题意，得10a >，0q >，因为31a =，456a a +=，所以21341116a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，所以26q q +=，解得2q =或3q =-（舍）.故选：B.7．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知等比数列{}n a 满足，且0n a >，1n =，2，…，且()2525e 3nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，242ln ln ln n a a a +++=L （）．A ．()1n n +B ．()21n n -C ．2n D ．()21n -【答案】A 【详解】由()2525e 3n n a a n -⋅=≥得22e nn a =0n a >，则e nn a =，()242ln ln ln 2421n a a a n n n +++=+++=+L L ．故选：A ．8．（2022·江西·模拟预测（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S4226S S -=，则6S =（）A ．36B ．39C ．40D ．44【答案】B 【详解】由题可得()224226442,S S S S S SS -=-=-，由4226S S -=，得222226S S S +-=，解得23S =，所以412S =，所以642939S S S =+=.故选：B ．9．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123,,a S S -成等差数列．若存在两项*,(,N )m n a a m n ∈18a =，则19m n+的最小值是（）A ．16B ．2C ．103D ．83【答案】B 【详解】由题设2312S S a =-，即1223122()()a a a a q a a +=+=+，又{}n a 为正项等比数列，所以2q =，0n a >，18a =，则2221164m n a qa +-=，即2264m n +-=，所以8m n +=，则19119191()()(10(102888m m n m n m n n n m +=⨯++=⨯++≥⨯+=，当且仅当36n m ==时等号成立，满足*,N m n ∈，所以19m n+的最小值为2.故选：B10．（2022·河南·模拟预测（文））北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；L ．依次进行“n 次分形()*n ∈N ”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于40的分形图，则n 的最小值是（）（参考数据lg 30.477≈，lg20.301≈）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】C 【详解】图1的线段长度为1，图2的线段长度为43，图3的线段长度为243⎛⎫⎪⎝⎭，L ，“n 次分形”后线段的长度为43n⎛⎫⎪⎝⎭，所以要得到一个长度不小于40的分形图，只需满足4403n⎛⎫⎪⎝≥⎭，则4lg 12lg23n ≥+，即()2lg2lg312lg2n -≥+，解得12lg210.60212.82lg2lg30.6020.477n ++≥≈≈--，所以至少需要13次分形．故选：C.二、多选题11．（2022·江苏南通·模拟预测）若数列{}n a 是等比数列，则（）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B ．数列{}n ka 是等比数列C ．数列{}1n n a a ++是等比数列D ．数列{}2n a 是等比数列【答案】AD 【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，11111n n n na a a q a ++==，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列，A 对；0k =时，0n ka =，则{}n ka 不是等比数列，B 错；()11n n n n n a a a a q a q ++=+=+，1q =-时，10n n a a ++=，此时{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；2212n na q a +=，所以，{}2n a 是公比为2q 的等比数列，D 对.故选：AD ．12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =-，22a =，()2211nn n a a +-=--，则（）A ．{}21n a -是等比数列B ．()5211210i i a -=+=-∑C ．{}2n a 是等比数列D ．10152i i a ==∑【答案】ACD 【详解】对选项A ，当n 是奇数时，222n n a a +-=，所以()2222n n a a ++=+，又因为12a =-，所以120a +=，所以当n 是奇数时，20n a +=，即2n a =-.即数列{}21n a -是以首项为2-，公比为1的等比数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：当n 是奇数时，20n a +=，所以()521120i i a -=+=∑，故B 错误.对选项C ，n 为偶数时，220n n a a +-=，即22n n a a +=，又因为20a ≠，所以0n a ≠，即22n na a +=，所以{}2n a 是以首项为2，公比为2的等比数列，故C 正确.()()()510135792468101212105212ii a a aa a a a a a a a =-=+++++++++=-+=-∑，故D 正确.故选：ACD 三、填空题13．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））正项等比数列{}n a ，若59a =，241a a =，则2a 的值为_________．【答案】13【详解】由题4513242411191a a q a a a q a q a q ⎧==⎨=⋅==⎩，因为0n a >，可得11,39a q ==，则2113a a q ==.故答案为：13.14．（2022·浙江·模拟预测）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为___________里．【答案】192【详解】解：由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为12，设第一天走了1a 里，则616112378112a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，解得1192=，即则该人第一天走的路程为192里.故答案为：192.四、解答题15．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，12n n S a +=+．(1)证明：数列{}2n S -为等比数列；(2)记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：2n T <．【解析】(1)）因为()1122n n n n S a S S ++=+=+-，所以122n n S S +=+，所以()1222n n S S +-=-，因为120S -≠，所以10n S -≠，1222n n S S +-=-，故数列{}2n S -为等比数列，首项为121S -=，公比为2；(2)由（1）可知122n n S --=，所以11111222n n n S --=<+，所以21111111212121222212n n n nT -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++⋅⋅⋅+==-< ⎪⎝⎭-．16．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在①1a ，2a ，4a 成等比数列，②()6531S a =-，③342.1S S S +=-中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．设n S 为各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和，已知___．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()121nn nna b S -+=，求数列{}nb 的前n 项和nT．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】(1)若选①②作为条件，设{}n a |的公差为d ，由124,,a a a 成等比数列可知2214a a a =，所以()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d =．由()6531S a =-得()11510351a d a d +=+-，整理得1253a d =-，当0d =时，132=-a 不合题意，所以0d ≠，则1d a =，解得11d a ==，故1(1)n a n n =+-=．若选①③作为条件．设{}n a 的公差为d ，由124,,a a a 成等比数列可知2214a a a =，所以()()21113a d a a d +=+整理得21d a d =．由2341S S S +=-得111233461a d a d a d +++=+-，整理得121a d =-，所以2(21)d d d =-，解得0d =或1d =，当0d =时，11a =-，不合题意，所以1d =，则11a =，故()11n a n n =+-=；若选②③作为条件．设{}n a 的公差为d ，由()6531S a =-得()11510351a d a d +=+-，整理得1253a d =-，由2341S S S +=-得111233461a d a d a d +++=+-，整理得121a d =-，由两式联立得11,1a d ==，故()11n a n n =+-=；(2)由（1）得()12n n n S +=，所以()()121nn n n a b S -+=()()()12211nn n n -+=+()11211n n n ⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦()()1112111n n n n +⎡⎤=-⋅--⋅⎢⎥+⎣⎦，故数列{}n b 的前n 项和()()11111121112231n n n T n n +⎡⎤=--++-+-⋅--+⎢⎥+⎣⎦ 1121(1)1n n +⎡⎤=---⋅⎢⎥+⎣⎦()2121nn ⋅-=-++．。

等比数列高考知识点总结等比数列是高中数学中一个非常重要的概念，不仅在高考中出现频率较高，而且在数学学习的后续阶段也经常被应用。

掌握等比数列的相关知识是高考数学理科考生的必备技能之一。

下面就从定义、基本性质、常见应用等方面进行总结。

一、等比数列的定义等比数列指的是一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项的公比倍。

具体地，如果一个数列满足对于任意正整数 n，都有a_{n+1} = a_n * q (q ≠ 0)，其中 a_n 为数列的第 n 项，q 为数列的公比，那么就称这个数列为等比数列。

二、等比数列的基本性质1. 等比数列的通项公式对于等比数列中的任意一项 a_n，都可以通过以下公式计算出来：a_n = a_1 * q^(n-1)其中 a_1 为数列的首项，q 为公比。

2. 等比数列的前 n 项和等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过以下公式计算出来：Sn = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中 a_1 为数列的首项，q 为公比。

3. 等比中项的计算对于等比数列中的任意两项 a_m 和 a_n，都可以通过以下公式计算出它们的等比中项：amn = sqrt(a_m * a_n)其中 sqrt 为平方根函数。

三、等比数列的常见应用1. 等比数列在复利计算中的应用等比数列经常出现在复利计算中。

当我们进行复利计算时，每一期的利息都是上一期利息的公比倍。

通过等比数列的通项公式和前 n 项和公式，我们可以轻松计算出复利的总额。

2. 等比数列在几何问题中的应用等比数列在几何问题中也经常被应用。

例如，当我们研究物体的成长、缩减或者某种特性的变化时，经常会遇到等比数列。

通过等比数列的性质，我们可以方便地分析物体的发展趋势。

3. 等比数列在数列求和中的应用等比数列的前 n 项和公式在数列求和中扮演着重要的角色。

考生掌握等比数列的前 n 项和公式，可以快速求解高考中出现的相关题型，提高解题效率。

等比数列高考知识点大全等比数列是高考数学中的重要知识点之一，几乎每年都会在高考中出现。

它不仅仅是一个数列的形式，更是一种数学思维方式的体现。

下面，我们将全面地总结和讨论等比数列的相关知识点。

一、等比数列定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每一项都等于前一项乘以同一个常数。

这个常数被称为等比数列的公比，常用字母q表示。

二、等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an。

那么等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)三、等比数列的前n项和等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式来计算：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)四、等比数列性质1. 等比数列的公比不能为0，否则数列将全部是0。

2. 如果公比q大于1，数列会呈现出递增的趋势；如果公比q小于1但大于0，数列会呈现出递减的趋势。

3. 如果公比q小于-1或大于1，数列会发散，不存在有限项和。

4. 等比数列可以通过求解方程来确定其首项和公比。

五、等比数列的应用1. 等比数列可以用来描述一些实际问题，比如传染病的传播过程，利息的复利计算等等。

2. 在概率统计中，等比数列可以用来描述负指数分布和幂律分布等特殊分布。

3. 在金融领域，等比数列可以用来描述复利计算，比如存款的本利和计算。

4. 在几何问题中，等比数列常常与等比比例、相似三角形等概念相联系。

六、等比数列的解题技巧1. 确定首项和公比，描绘等比数列的特征。

2. 利用通项公式和前n项和公式，计算数列中的特定项和一定范围内的和。

3. 利用等比数列的性质，解决与等比数列相关的应用题。

4. 与等差数列进行比较，利用等差数列与等比数列的区别解决问题。

七、例题演练现在，我们通过一些典型例题来检验一下对等比数列知识的掌握程度：例题1：已知等比数列的首项是2，公比是3，求该数列的第10项。

解答：根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，代入a1 = 2，q = 3，n = 10，可以得到a10 = 2 * 3^(10-1) = 177147。

2021年高考数学一轮复习：数列高分答题策略知识点总结数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

总结：以上就是____年高考数学一轮复习：数列高分答题策略的全部内容，请大家认真阅读，巩固学过的知识，小编祝愿同学们在努力的复习后取得优秀的成绩!。

考点19 等比数列【题组一 定义的运用】1．已知数列{}n a 满足121n n a a -=+（*n N ∈，2n ≥），且11a =，1n n b a =+．证明：数列{}n b 是等比数列； 【答案】见解析【解析】证明：∵当2n ≥时，121n n a a -=+，∴()1112221n n n a a a --+=+=+． ∴12nn b b -=，1112b a =+=． ∴数列{}n b 是以2为首项，公比为2的等比数列．2．在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的n ∈N *，都有2132n n n a a a ++=-.证明数列{}+1n n a a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； 【答案】见证明；【解析】由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-．又11a =，23a =，所以2120a a -=≠，故2112n n n na a a a +++-=-.所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列.所以12nn n a a +-=.所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++-L 21222n =++++L 21n =-. 3．已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；【答案】见解析.【解析】由题可知()*111322n n a a n N +⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，从而有13n n b b +=，11112b a =-=，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.4．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()11322n n n a a a n n N *+-=-≥∈,．设1n n n b a a +=-．证明：数列{}n b 是等比数列； 【答案】证明见解析；【解析】证明：因为()*11322,n n n a a a n n N+-=-≥∈，1nn n ba a +=-，所以()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()1122n n n na a a a ++-=-， 又因为121211b a a =-=-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数列.5．设数列的前项和为，且.证明：是等比数列，并求其通项公式；【答案】（1）；（2）.【解析】当时，，所以，当时，，，两式相减得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列.于是.6．已知数列{}n a 满足112(1),2n n na a n a +=+=，设nn a b n=．证明数列{}n b 为等比数列； 【答案】证明见详解；【解析】(1)证明：由12(1),n n na a n +=+可得12+1n n a an n+=. 而nn a b n =，所以12n n b b +=.又1121a b ==，所以数列{}n b 为等比数列. 【题组二 中项性质】1．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 。