第3章 费米能级

掺杂与费米能级的关系掺杂是指向半导体材料中引入杂质元素或者一些外部因素，比如温度等，以改变其电性质的一种方法。

掺杂可以改变半导体材料的导电性能，而费米能级可以很好地解释此现象。

第一步：理解费米能级费米能级又称费米面，是指一个系统中所有电子能量的平均数，且只有所有具有比费米能级低的能量的电子可以占据费米能级。

费米能级可以用来描述金属、半导体和绝缘体中的电子行为。

在一个理想的半导体材料中，所有价带（valence band）的能量都被占据了，而所有导带（conduction band）的能量都空着。

半导体材料的导电特性就是由能带（band）之间的禁带（band gap）决定的。

在绝缘体中，禁带的能量非常高，电子没有足够的能量从价带向导带跃迁，所以绝缘体不能导电。

在金属中，禁带的能量非常低，电子可以很容易地离开价带进入导带，因此金属能够导电。

第二步：了解掺杂对费米能级的影响当半导体材料被掺杂时，也就是引入少量杂质元素，会导致新的能级被引入，并且这个能级应该比原来的禁带能量还要低。

这就意味着更多的电子能够从价带跃迁到导带，导致半导体材料的导电能力增强。

在n型半导体中，掺杂的杂质元素有多余的电子，这些电子被引入半导体中，会占据新引入的能级。

由于新能级比禁带能量低，这些电子将成为导电的自由电子。

在p型半导体中，掺杂的杂质元素缺少电子。

在这种情况下，半导体中的空穴（holes）跳到杂质元素上，形成留有正电荷的空穴，这些空穴将产生电子空穴对（electron-hole pairs），从而导致半导体材料导电。

第三步：结论通过在半导体材料中的掺杂，可以更改费米能级，进而影响材料的导电能力。

n型和p型半导体是非常重要的器件，例如场效应晶体管，二极管等器件都是由n型和p型半导体组成。

理解费米能级和掺杂的关系是要成为一名合格电子工程师的基本要求。

第三章 半导体中载流子的统计半导体靠电子和空穴传导电流，为了了解和描述半导体的导电过程，必须首先了解其中电子和空穴按能量分布的基本规律，掌握用统计物理学的方法求解处于热平衡状态的一块半导体中的载流子密度及其随温度变化的规律。

这就是本章要讨论的主要问题。

§3.1 状态密度为了计算半导体中热平衡载流子的密度及其随温度变化的规律，我们需要两方面的知识：第一，载流子的允许量子态按能量如何分布；第二，载流子在这些允许的量子态中如何分布。

一、 热平衡状态下的电子和空穴1、 热平衡状态在一定温度下，如果没有其他外界作用，半导体中能量较低的价带和施主能级上的电子依靠热激发跃迁到能量较高的受主或（和）导带，分别在价带和导带中引入可以导电的空穴和电子。

同时，高能量状态上电子也有一定的几率退回到它原来的低能量状态。

于是，电子和空穴在所有允许量子态间的可逆跃迁达到稳定的动态平衡，使导带和价带分别具有稳定的电子密度和空穴密度，这种状态即是热平衡状态。

处于热平衡状态下的导带电子和价带空穴称为热平衡载流子。

热平衡载流子具有稳定的、与温度相关的密度。

因此，需要解决如何计算确定温度下半导体热平衡载流子密度的问题。

2、 热平衡状态下的载流子密度由于导电电子和空穴分别分布在导带和价带的量子态中，所以电子和空穴的密度必取决于这些状态的密度分布，以及电子和空穴占据这些状态的几率。

如果状态密度是与能量无关的常数N C 和N V ，则电子和空穴的热平衡密度n 0和p 0直接由N C 和N V 分别与相应的几率函数相乘得出；如果状态密度是能量的函数g C (E) 和g V (E)，则载流子密度的计算须采用积分方式，即dE E f E g n CE C )()(0⎰∞=；dE E f E g p VE V )()(0⎰∞-=因此，须了解态密度函数和几率函数的具体函数形式。

二、 态密度的定义及求解思路假定在能带中无限小的能量间隔d E 内有d Z 个量子态，则状态密度g (E )定义为dE dZ E g /)(=也就是说，状态密度g (E )就是在能带中能量E 的附近每单位能量间隔内的量子态数。

§3.4 一般情况下的载流子统计分布一般情况指同一半导体中同时含有施主和受主杂质的情况。

在这种情况下，电中性条件为-++=+A D p n n p 00(3-80)因为n D +＝N D -n D ，p A －＝N A -p A ，电中性条件可表示成D A A D n N n p N p ++=++00式中，n D 和p A 分别是中性施主和中性受主的浓度，上式即)exp(kTE E N N VF V D --+)exp(211kTE E N AF A -++)exp(211)exp(kT E E N kT E E N N F D DF C C A -++--+= 对确定的半导体，式中的变数仅是E F 及T ，但E F 是T 的隐函数。

因此，若能利用这一关系确定出E F 与T 的函数关系，则对于半导体同时含施主和受主杂质的—般情况下，导带中的电子和价带中的空穴以及杂质能级上电子的统计分布问题就可完全确定。

然而，要想利用上式得到E F 的解析表达式是困难的。

不过，对计算机的使用已十分普及的今天并不是什么大问题。

如果实际应用时式中某些项还可忽略，求解费米能级E F 的问题还能进一步简化。

事实上，前面讨论的本征半导体和含一种杂质的半导体就是它的简化特例。

请同学阅读参考书中对含少量受主杂质的n 型半导体求解费米能级的讨论。

特别注意求解过程中的近似处理方法。

§3.5 简并半导体一、重掺杂半导体的载流子密度1、适用于玻耳兹曼统计的掺杂浓度已知n 型半导体处于施主杂质完全电离的温区时，其费米能级为D C F C N N kTE E ln=- （N A ＝0） ；AD CF C N N N kT E E -=-ln （N A ≠0） 注意此公式成立的先决条件是(E C -E F )>>kT ，因此它只适用于N D 或(N D -N A ) <<N C 的掺杂条件。

不过从这公式可以看到，随着有效杂质浓度的提高，费米能级将逐渐向导带底靠拢，从而使先决条件趋于无效。

什么是Fermi能级为什么Fermi能级可以处于禁带中间为什么本征半导体的Fermi能级位于禁带中央为什么n型半导体的Fermi能级位于导带底附近Fermi能级随着温度和掺杂浓度的改变而如何变化Fermi能级(E F)是一个非常重要的物理概念，它在半导体电子学中起着极其重要的作用。

(1) Fermi能级的概念:在固体物理学中，Fermi能量(Fermi energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量--------- F ermi粒子所占据的最高能级的能量另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为：式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，圧是该Fermi-Dirac分布函数的一个参量(称为化学势「在绝对零度下，所有能量小于E F的量子态都被电子占据，而所有能量大于E F的量子态都是空着的，则作为化学势的参量E F就是电子所占据的最高量子态的能量，因此这时系统的化学势也就与费米能量一致。

从而，往往就形象地把费米能量和化学势统称之为Fermi能级。

虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。

在非绝对零度时，电子可以占据高于E F的若干能级，则这时Fermi 能级将是占据几率等于50%的能级。

处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。

（2）Fermi能级的含义：作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF,具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。

①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。

第三章：平衡半导体到现在为止，我们已经讨论了一般晶体，确定了单晶晶格中电子的一些特性。

这一章，我们将运用这些概念来研究半导体材料，尤其是用导带和价带中量子态密度以及费米－狄拉克分布函数来确定导带和价带中电子和空穴的浓度。

此外，我们还会利用这些概念给出半导体材料的费米能级。

这一章我们将涉及平衡半导体：所谓平衡半导体或处于热平衡状态的半导体，是指无外界（如电压、电场、磁场或温度梯度等）作用影响的半导体。

在这种情况下，材料的所有特性均与时间无关。

平衡状态是研究半导体物理特性的起点，之后我们才会研究偏离平衡状态时出现的特性，例如给半导体材料施加电压时的情况。

这一章我们将要讨论的内容有：1.确定本征半导体热平衡时的电子和空穴浓度2.确定非本征即掺杂半导体热平衡时的电子和空穴浓度3.研究电子和空穴浓度随能量和温度变化的统计规律4.确定本征半导体费米能级的位置，讨论本征费米能级随掺杂浓度和温度的变化。

3.1本征半导体中的载流子浓度半导体器件的特性很大程度依赖于半导体材料的电导率，通过控制加入到半导体材料中的特定杂质的数量，就可以改变半导体的电学性能。

掺杂原子的类型决定了半导体材料中起作用的载流子是电子还是空穴。

掺杂原子的引入可以改变电子在有效能量状态上的分布，费米能级的位置成了杂质原子类型和浓度的函数。

电流实际上表征了电荷的流动速度。

半导体中的两种载流子电子和空穴均对电流有贡献。

因为半导体中的电流大小取决于导带中的电子数目和价带中的空穴数目，所以半导体中的载流子浓度是一个重要参数。

电子和空穴浓度与状态密度函数及费米－狄拉克分布函数有关。

3.1.1本征半导体平衡时的电子和空穴浓度分布导带中电子（关于能量）的分布为导带中的有效量子态密度与某个量子态被电子占据的概率的乘积。

()()()()3.1c F n E g E f E =其中，()F f E 是费米－狄拉克分布函数，()c g E 导带中有效量子态密度，在整个导带能量范围对上式积分便可得到导带中单位体积的总电子浓度。

费米能级与电压的计算
1. 能带理论：
能带理论描述了固体中电子能量的分布情况。

根据能带理论，
固体中的电子能量被分为多个能带，其中包括价带和导带。

费米能
级就是在零温下，处于能带填充状态的最高能级。

费米能级的位置
取决于材料的性质，如电子密度和晶格结构等。

2. 费米-狄拉克分布函数：
费米-狄拉克分布函数描述了在热平衡状态下，能级上电子的分
布情况。

根据费米-狄拉克分布函数，电子在能级上的填充情况与温
度有关。

在绝对零度时，费米-狄拉克分布函数可以简化为阶梯函数，即费米函数。

费米函数表示了能级上电子的占据情况，只有能级能
量小于费米能级的电子才能被填充。

当施加电场时，电子将受到电场力的作用而发生移动。

电压可
以通过电场的势能差来描述，即电场力对电子做功的结果。

费米能
级与电压之间的关系可以通过考虑电子在电场中的运动来得到。

具
体计算方法涉及到固体物理学中的输运理论和能带结构，需要考虑
电子的散射、载流子浓度等因素。

综上所述，费米能级与电压的计算涉及到能带理论和费米-狄拉克分布函数。

具体计算方法需要考虑材料的性质和电子在电场中的运动情况。

费米能级问题我简单说一下我对费米能及的理解：若固体中有N个电子，他们的基态是按泡利原理由低到高填充能量尽可能低的N个量子态。

有两类填充情况：一、电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部是空的，最高的满带称为价带，最低的空带称为导带。

价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围称为带隙。

这种情况对应绝缘体和半导体。

半导体实际上是带隙宽度小的绝缘体。

二、除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带（常被称为导带）。

这时最高占据能级为费米能级EF，它位于一个或几个能带的能量范围之内。

这就是金属。

说白了，固体内的电子因泡利不相容原理，不能每一个电子都在最低的能级，便一个一个依序往从低能及往高能阶填，直到最后一个填进的那个能级便是所谓的费米能级。

如果你明白了费米能级，就知道它可以是任何数值。

有的文献中，为了讨论方便。

就定义了费米能级为零点（估计你的概念就是从这里得出的）。

不同的费米能级有不同的物理意义。

半导体的费米能级EF总为负值。

最后补充一点，一般我们讨论的都是电子费米子。

至于中子、质子等其他费米子另当别论。

MS里介绍夹价带和态密度时的几句话，希望能解决你的问题。

All energiesare relative tothe Fermi level (or to the top of the valence band in the case of insulators or semiconductors). The labels along the X axis of the band structure graph correspond to the standard definitions of high symmetry points for the given lattice type (Bradley and Cracknell, 1972). TheG point is denoted by a G. 另外一句：The energies of the bands are plottedwith respect tothe Fermi level, which isassigneda value of zero.0K时费米能级应该是0eV吧，这个说法是不正确的，几乎没有物质在0K时费米能级是0eV。

第三章习题和答案1. 计算能量在E=E c 到2*n 2C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。

解：2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。

322233*28100E 21233*22100E 0021233*231000L 8100)(3222)(22)(1Z VZZ )(Z )(22)(2322C22CL E m h E E E m V dE E E m V dE E g Vd dEE g d E E m V E g cn c C nlm h E C nlm E C nn c n c πππππ=+-=-====-=*++⎰⎰**）（）（单位体积内的量子态数）（)(21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'213''''''2'21'21'21'2222222C a a lt tz y x ac c zla z y t ay x t a x z t y x C C e E E m k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k mlk m k k h E k E K IC E G si -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=+++====+++=*****系中的态密度在等能面仍为球形等能面系中在则：令）（关系为）（半导体的、证明：[]3123221232'2123231'2'''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~ltn c nc l t t z m m sm VE E hm E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dkk k g Vk k g d k dE E E =-==∴-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+••==∴•=∇•=+**πππ）方向有四个，锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。