课时11 分式方程及其应用

第十五章 分式第11课时 分式方程的应用(2)学习目标1.列分式方程解决实际问题，体会建模的思想．2．掌握用分式方程解决实际问题的方法和步骤.知识点一：列分式方程常用的等量关系(1)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间；工作总量＝各工作量之和．以工程为背景的这类问题，通常设工程总量为1的也比较多见(2)利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润进价×100%； 总利润＝单件的利润×销售的数量．(3)行程问题：路程＝速度×时间．(4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息．对点练习1.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程，甲工程队30天完成的工程与甲、乙两工程队10天完成的工程相等．甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？知识点二：列分式方程解实际问题的一般步骤(1)审：审清题意，弄清已知量和未知量，找到相等关系；(2)设：设未知数(可以直接设，也可以间接设)；(3)列：列出分式方程；(4)解：把分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程；(5)验：看整式方程的解是否满足分式方程(验根)(注意：千万不要忘记检验这个步骤)；(6)答：写出实际问题的答案.对点练习2.A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍，已知水流速度为4千米/时．该轮船在静水中的速度多少？精典范例【例1】某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为( )A.1080x ＝1080x －15＋6B.1080x ＝1080x －15－6 C.1080x ＋15＝1080x－6D.1080x ＋15＝1080x＋6【例2】新冠疫情防护期间，为了保障居民有良好的生活环境，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车一起运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车一起单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．(1)甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？变式练习1.某地大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x 米，所列方程正确的是( )A.120x ＋4＝1202xB.1202x ＝120x－4 C.120x ＝120x ＋1－4 D.120x －4＝120x ＋12.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价之和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．(1)每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，商场共有几种进货方案？。

分式方程的解法与应用分式方程是指含有分数形式的方程，其中包含了分数的加减乘除运算。

解决分式方程需要运用一些特定的解法和技巧，以及理解分式方程在实际生活中的应用。

本文将介绍分式方程的解法和应用，并讨论其在数学和日常生活中的重要性。

一、分式方程的解法分式方程的解法有多种方法，以下是其中常见的几种：1. 清除分母法：当分式方程中存在分母时，可以通过乘以适当的整数或者多项式的方法，将方程的分母消除，从而转化为含有整数或多项式的方程。

通过进行这样的清除分母操作，可以简化方程的求解过程。

2. 相同分母法：当分式方程中存在多个分式且分母相同的情况时，可以通过将这些分式相加或相减，生成一个分子相加或相减的新分式，从而将分式方程转化为一个更简单的方程。

然后，可以继续使用其他解方程的方法求解。

3. 倒数法：当分式方程的分子或分母中含有复杂的表达式时，可以通过倒数的方式，将方程进行转化。

将方程的分母转化为分子，分子转化为分母，然后利用等式的性质进行化简，最后得到一个更为简单的方程。

二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 比例问题：比例问题是分式方程的常见应用之一。

在计算比例时，常常需要解决分式方程。

例如，在商业领域中，计算销售增长率、成本与利润的关系等问题，都需要运用分式方程进行计算。

2. 涉及面积和体积的问题：分式方程在计算面积和体积相关问题时也很有用。

例如，计算不规则形状的面积、计算容器中液体的体积等都可能涉及到分式方程的应用。

3. 财务问题：在处理财务问题时，分式方程同样发挥着重要的作用。

例如，在计算股票交易、利息计算以及贷款还款等问题时，常常需要解决分式方程来进行计算。

总结：分式方程是一种特殊的方程类型，运用特定的解法和技巧可以解决。

掌握分式方程的解法不仅在数学学科中重要，也在实际生活中具有广泛的应用。

通过应用不同的解法，我们能够更好地理解和解决涉及分数运算的各类问题，提高解决实际问题的能力。

分式方程及其应用【课前热身】1．（2010年山西）方程02112=--+x x 的解为 2.如果分式12-x 与33+x 的值相等,则x 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．33．（06临沂）如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（ ）A ．35=+y y xB ．31=-y x yC ．312=y xD ．4311=++y x 4．若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D.2【考纲解读】1.正确理解分式方程的有关概念2.掌握分式方程的基本解法及应用3.了解分式方程产生增根的原因【考点剖析】1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，把方程化为整式方程：方程的两边都乘以各分母的最简公分母（2）解这个整式方程，求出未知数的值；（3）验根，把整式方程的根代入 最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.※分式方程的增根具有两个特征：（1）增根使最简公分母等于0；（2）增根是去分母所得整式方程的根.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）找出题目中的等量关系，列出方程；（4）解方程；（5）若是分式方程，先检验是否有增根，再看是否符合题意；（6）写答案【复习小结】1.主要考查方程思想、转化思想，题型以选择填空为主，有时也会涉及一些大题2.解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，注意验根3.在探究增根要注意思维的开放性【典例精析】＆＆【针对性练习】例1 解分式方程：2111x x x x ++=+练1解下列分式方程：（1）（2010 义乌） 22122x x x +=+ （2）（2010江西）224124x x x -+=+-（3）（2010济南）13-x -)1(2-+x x x 0= （4）（2010孝感）013132=--+--x x x例2（2009杭州） 已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，求m 的取值范围.练2.1 已知关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是练2.2 若关于x 方程2332+-=--x mx x 无解，求m 的值.练2.3 若分式方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则它的增根是例4 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？练4 跃壮五金店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售.若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同.求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别是多少？【达标练习】 分式方程中考真题集锦1.（2010 东营）分式方程x x 321=-的解是（ ） A ．－3 B. 2 C.3D.－2 2.（2010曲靖）分式方程xx x -=+--23123的解是 （ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2 3．（2010南宁）将分式方程13)1(251+=++-x x x x 去分母整理后得：（ ） A.018=+x B.038=-x C.0272=+-x x D.0272=--x x4.（2010益阳）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是（ ） Ａ．203525-=x x Ｂ．x x 352025=- Ｃ．203525+=x x Ｄ．xx 352025=+ 5.（2010 滨州）方程4131x +=-的解为 6．（2010鄂尔多斯）已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为 7．（2010乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2、15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为8.（2010绥化）已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是非正数，则a 的取值范围是 .9.（2010青岛）某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得方程10.解分式方程（1）（2010荷泽）x x x -=+--21221 （2）（2010南昌）解方程：144222=-++-x x x11.（2010四川达州）对于代数式12x -和321x +，你能找到一个合适的x 值，使它们的值相等吗？写出你的解题过程.12.(2010丹东）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:13.(2010日照)2010年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心.“一方有难,八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前了3天完成任务，求原计划每天生产多少吨纯净水？14.（2010直盐）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.【近三年临沂中考】1（2010临沂）16.方程121x x=-的解是2（2008临沂）22．（本小题满分7分）在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24千米的任务。

分式方程的应用
xx年xx月xx日
目 录
• 分式方程的概述 • 分式方程在数学中的应用 • 分式方程在实际生活中的应用 • 分式方程的局限性和发展 • 总结
01
分式方程的概述
分式方程的定义
分式方程是一种数学方程，其中包含分式，即分子和分母都 是多项式的形式。
分式方程在实数范围内有解，并且可以应用某些算法来求解 。
长度计算
在一些长度计算中，分式方程可以用于表示两个点之间的距 离，进而解决问题。
03
分式方程在实际生活中的应用
分式方程在物理中的应用
速度公式
在物理学中，我们常常需要求解物体的速度或加速度等物理量。这些量通常 可以通过分式方程来表示，例如速度公式v=s/t，其中v是速度，s是位移，t 是时间。
引力公式
05
总结
分式方程的重要性和应用价值
分式方程是数学中一种重要的工具，对于解决实际问 题具有广泛的应用价值。
分式方程能够描述和解决许多实际问题，例如速度、 时间、距离等之间的关系。
分式方程可以用于解决比例问题、分式计算、工程问 题、经济问题等众多领域的问题。
分式方程在科学、工程和技术等领域中有着广泛的应 用，是解决实际问题的重要手段之一。
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VS
酸碱滴定
酸碱滴定中，我们需要计算滴定终点时加 入的滴定剂体积。这可以通过一个分式方 程来表示，例如对于滴定反应终点公式： 终点时酸碱体积比=Kb*C/Ka，其中Kb和 Ka分别是弱酸与弱碱的电离常数。
分式方程在生物学中的应用
种群增长模型
在生物学中，我们常常需要研究种群的增长情况。种群增长可以用一个分式方程 来表示，例如指数增长模型N(t)=N0ert，其中N(t)是时间t时的种群数量，N0是 初始种群数量，r是种群的自然增长率。