下载文档原格式
高三数学复习知识点之复数1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i的数（其中a，b∈R）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i，即a；③ 虚数—当b≠0时的复数a + b i；④ 纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + b i，即b i.⑤ 复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+di<=>a=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0<=>a=b=0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂>0，则z₁>-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数]2°若z₁<z₂，则z₁-z₂<0.（√）②若a,b,c∈C，则(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0是a=b=c的必要不充分条件.（当(a-b)²=i²，(b-c)²=1,(c-a)²=0时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z₁-z₂|.其中z₁,z₂是复平面内的两点z₁和z₂所对应的复数，d表示z₁和z₂间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：|z-z0|=r(r>0).⑵曲线方程的复数形式：①|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②|z-z₁|=|z-z₂|表示线段z₁z₂的垂直平分线的方程.③|z-z₁|+|z-z₂|=2a(a>0且2a>|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(0<2a<|z₁z₂|,表示以Z₁,Z₂为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设z₁,z₂是不等于零的复数，则①||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,λ>0).②||z₁|-|z₂||≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ>0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0).注：3. 共轭复数的性质：注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N﹢)②对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N﹢有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由就会得到-1=1的错误结论.②在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若ω是1的立方虚数根。
高考复习：复数的概念及运算contents•复数的基本概念•复数的运算性质目录•复数的三角形式•复数的应用与例题解析CHAPTER复数的基本概念0102复数的定义复平面复数的实部是`a`，表示在实轴上的点；虚部是`b`，表示在虚轴上的点。
实部和虚部模和辐角复数的几何意义复数的四则运算01020304加法减法乘法除法CHAPTER复数的运算性质运算法则例子定义运算法则例子030201运算法则例子定义CHAPTER复数的三角形式总结词通过运用正弦函数，可以将复数表示为正弦形式，简化复数的表示和计算。
详细描述复数的正弦形式是利用正弦函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(cosθ+sinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
这种表示方法将复数转化为实数和虚数的和，方便进行计算和简化。
例如，计算复数的乘法时，可以将正弦和余弦部分分别相乘，再相加得到结果。
总结词详细描述总结词通过运用正切函数，可以将复数表示为正切形式，方便进行计算和简化。
详细描述复数的正切形式是利用正切函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(tanθ)，其中r为模长，θ为辐角。
这种表示方法将复数转化为实数和虚数的比值，方便进行计算和简化。
例如，计算复数的乘法时，可以将实数部分相乘，虚数部分相乘，再相除得到结果。
但是需要注意正切函数在某些角度下存在无穷大或无穷小的值，这会导致计算出现误差或溢出等问题。
因此在实际计算中需要注意角度的范围和数值稳定性。
CHAPTER复数的应用与例题解析复平面向量解析几何力学在处理波动、振动等问题时，复数能够帮助我们更好地理解系统的稳定性和频率响应。
电学在电学中，复数被广泛应用于交流电、电磁场等领域。
量子力学在量子力学中，复数被用来描述微观粒子的波函数和能量。
控制理论在控制系统中，复数被用来描述系统的稳定性和性能。
信号处理在信号处理领域，复数被用来进行傅里叶变换、滤波等操作。
图像处理在图像处理中，复数被用来进行图像的频域分析和滤波。
复数的几何意义及复习一 复数的几何意义1.复数集内的三角形不等式：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号.2.复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： (1)↔=-是正的常数）r r z z (0轨迹是一个圆. (2)↔-=-)(2121是复常数、z z z z z z 轨迹是一条直线. (3)↔=-+-是正的常数）是复常数，、a z z a z z z z 2121(2轨迹有三种可能情形： a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在. (4)↔=---)(221是正的常数a a z z z z 轨迹有三种可能情形： a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b)当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c)当212z z a ->时，轨迹不存在.2 、已知关于x 的方程有实数根b 。
（1）求实数的值；（2）若复数满足，当z 为何值时有最小值，并求出的最小值。
解：（1）∵ 是方程的实根∴∴∴（2）设∵∴即整理，得∴复数对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆。
如图所示连结圆心和原点O，并延长交圆于点P，当复数z为点P对应的复数时,最小可求得∴,3 、若复数z满足，求的最大、最小值。
解法一：数形结合法设，则化简，得表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为解法二：利用复数的模的性质即，去绝对值，得解这个关于的不等式，得当时，上式取等号由，把代入得，解得或当时，取最大值；当时，取最小值。
复数小结（考点小析） 教学时间： 第7课时考纲要求：1. 理解复数的基本概念．2. 理解复数相等的充要条件．3. 了解复数的代数表示形式及其几何意义．4. 会进行复数代数形式的四则运算．5. 了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.学情分析：本班为文科普通班，学生基础较差，理解力较为困难，学习积极性不够高。
教学目标：掌握复数相关知识的基础上能完成高考中常常出现的几种考点形式的题目。
教学重点：复数的有关概念、复数的几何意义与运算法则在考点中的应用和理解。
教学难点：怎样去落实考点得到此分。
教学方法：讲练结合教学过程：一、知识回顾1．定义： 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部(i 为虚数单位)2．分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类 a ＋b i 为实数⇔__b=0____ a ＋b i 为虚数⇔__b ≠0__ a ＋b i 为纯虚数⇔_a ＝0且b ≠0___________3.复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔ a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔ a ＝c,b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．5．复数的模：向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝ a 2＋b 2 (a ，b ∈R )．二、例题选讲考点一 复数的基本概念(1)处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数)，从定义出发解决问题；(2)利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法．(3)实数的共轭复数是它本身．【例1】(1) 设m ∈R ，(m +2) (m －1)＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝__________.【思路点拨】根据纯虚数的定义可得(m +2) (m －1)＝0，m 2－1≠0，由此解得实数m 的值．【解答过程】因为复数z ＝(m +2) (m －1)＋(m －1)i 为纯虚数，所以(m +2) (m －1)＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.【跟踪训练1】若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为i(x ＋y i)＝x i －y ＝3＋4i ，x ，y ∈R ，所以x ＝4，－y ＝3，即x ＝4，y ＝－3.所以|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.考点二 复数的几何意义复数与复平面内的点，以及复平面内以原点为起点的向量是一一对应的，只要把复数与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．【例2】(1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路点拨】 (1)化简复数z ，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案；【解答过程】(1)z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，故复数z 对应的点为(－1,1)，在复平面的第二象限．【跟踪训练2】已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (0,1)，B (－1,3)，则z 2z 1＝( ) A ．－1＋3i B ．－3－iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意可得z 1＝i ，z 2＝－1＋3i.所以z 2z 1＝－1＋3i i ＝－i (－1＋3i )－i 2＝i ＋3. 考点三 复数的代数形式的运算(1)两个复数相除，可以先把他们的商写成分式的形式，然后把分子、分母同乘以分母的共轭复数，把结果化简；(2)在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度：①(1＋i)2＝2i ；②(1－i)2＝－2i ；③1＋i 1－i ＝i ；④1－i 1＋i＝－i ；⑤－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑥i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈N *.【例3】已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3＋4iD ．3－4i【思路点拨】 利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果；解析：由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 【跟踪训练3】已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析： 先由共轭复数的条件求出a ，b 的值，再求(a ＋b i)2的值．由题意知a －i ＝2－b i ，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.三.巩固练习高考真题复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，(1＋i)(2＋i)等于( )A．1－i B．1＋3iC．3＋i D．3＋3i【解析】(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.四.课后小结复数的基本概念复数的几何意义复数的代数形式的运算五.课后作业配套练习复习题。
复数知识点复习咱今儿来好好复习复习复数这个知识点，这玩意儿在数学里可重要着呢！先来说说啥是复数。
复数啊，就像是数学世界里的“神秘嘉宾”，它由实部和虚部组成。
比如说，3 ＋ 4i ，这里的 3 就是实部，4i 就是虚部。
记得我之前教过一个学生小明，他一开始对复数那是一头雾水。
有一次做作业，他把复数的运算弄了个乱七八糟。
我就问他：“小明啊，你咋把这简单的复数都给搞晕啦？”小明愁眉苦脸地说：“老师，我觉得这复数太抽象了，我搞不明白。
”我笑着告诉他：“别着急，咱们慢慢来。
”咱先看看复数的加法。
复数的加法就跟合并同类项差不多。
比如说，（2 ＋ 3i) ＋（1 ＋ 2i) ，那就是实部相加 2 ＋ 1 ＝ 3 ，虚部相加 3i ＋2i ＝ 5i ，最后结果就是 3 ＋ 5i 。
这多简单，就像你把一堆苹果和一堆梨分别加起来一样。
再说说复数的减法。
其实和加法原理差不多，就是实部减实部，虚部减虚部。
举个例子，（5 ＋ 4i) （2 ＋ 2i) ，那就是 5 2 ＝ 3 ，4i 2i＝ 2i ，结果就是 3 ＋ 2i 。
然后是复数的乘法。
这个可得仔细点，（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝ ac ＋adi ＋ bci ＋ bdi²。
因为 i²＝－1 ，所以化简一下就好啦。
比如说，（2＋ 3i)（1 ＋ 2i) ，算出来就是 2×1 ＋ 2×2i ＋ 3i×1 ＋ 3i×2i ＝ 2 ＋ 4i ＋3i ＋ 6i²＝ 2 ＋ 7i 6 ＝－4 ＋ 7i 。
复数的除法稍微有点麻烦，得先把分母实数化。
比如说，（2 ＋3i)÷（1 ＋ 2i) ，分子分母同时乘以分母的共轭复数 1 2i ，然后按照乘法法则计算就行啦。
咱再回过头来说说小明。
经过我这么一番耐心讲解，小明慢慢开窍了。
后来有一次测验，他在复数的题目上做得可好了，还跑来跟我炫耀：“老师，我现在觉得复数也没那么难嘛！”我笑着拍拍他的肩膀说：“对呀，只要用心，啥都能学会！”总之，复数这部分知识，只要多练习，多琢磨，就一定能掌握好。
