正余弦交流电有效值推导
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正余弦交流电有效值推导
周期性电压和电流的大小可以用有效值来衡量。周期性电压或电流在一个周期内的作用，换算成相同作用下的DC电压或电流，称为周期性电压或电流的有效值。
正弦交流电的有效值计算公式的推导如下：
设一正弦交流电压，其峰值为 U_\rm m，周期为 T，那么 u
随时间 t 的变化为
u=U_{\rm m}{\rm sin}\left(\omega t+\varphi\right)
对于恒定的电压和电流，一般用大写字母 U 和 I 表示；对于变化的电压和电流，则用小写字母 u 和 i
表示。
该电压加在定值电阻 R 两端时，产生的电流 i 为
i=I_{\rm m}{\rm\sin}\left(\omega
t+\varphi\right)=\frac{U_{\rm m}}{R}{\rm
sin}\left(\omega t+\varphi\right)
在一个周期 T 内消耗的电能 W 为
W=\int_{0}^{T}i^2R{\rm d}t=\int_{0}^{T}I_{\rm
m}^{2}R{\rm sin}^2\left(\omega t+\varphi\right){\rm
d}t=\int_{0}^{T}\frac{U_{\rm m}^2}{R}{\rm
sin}^2(\omega t+\varphi){\rm d}t
其中
\int_{0}^{T}\sin^2(\omega t+\varphi){\rm
d}t=\frac{1}{2}\int_{0}^{T}1-\cos[2(\omega t+\varphi)]{\rm d}t=\frac{1}{2}[T-\frac{1}{2\omega}\sin2(\omega
T+\varphi)+\frac{1}{2\omega}\sin2\varphi]
由 T=\frac{2\pi}{\omega}，可得
\sin2(\omega T+\varphi)-\sin2\varphi=\sin2(2\pi+\varphi)-\sin2\varphi=0
故而
\it \int_{\rm 0}^{T}\rm sin^2(\it {\omega t} \rm
+\varphi )\rm d\it t = \frac {T}{\rm 2}
从而得到
W=\it \frac{U_{\rm m}^{\rm 2}}{\rm 2 \it R} T
而当等效的直流电压 U_\rm {eq} 加在电阻 R 两端时，容易证明此时产生的电流 I_\rm{eq}=\it\frac{U_\rm {eq}}{R}
即为等效电流。在相同的时间 T 内，电阻消耗的电能 W_\rm
{eq} 为
W_\rm {eq}=\it I_\rm {eq}^2\it RT=\it \frac{U_{\rm
eq}^\rm 2}{R}T
因为 \it W=\it W_{\rm eq}，所以有
\it \frac{U_{\rm m}^{\rm 2}}{\rm 2 \it R} T=\it
\frac{U_{\rm eq}^\rm 2}{R}T\to\it U_{\rm m}=\rm
\sqrt{2} \it U_{\rm eq}
\frac{1}{2} I_{\rm m}^{\rm 2}R T = I_{\rm eq}^{\rm 2}R
T\to\it I_{\rm m}=\rm \sqrt{2} \it I_{\rm eq} 所以正弦交流电的电压和电流的有效值均为其振幅 U_{\rm m}
和 I_{\rm m} 除以 \sqrt{2}。
