高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程真题演练集训 理 新人教A版(

2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程真题演练集训 理 新人教A版

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1．[2015·山东卷]设函数f(x)＝错误!则满足f（f（a）)＝2f（a）的a的取值范围是( )

A。错误! B．[0,1］

C.错误! D．［1，＋∞）

答案：C

解析：由f（f(a))＝2f(a）得，f(a）≥1。

当a<1时，有3a－1≥1，

∴ a≥错误!，即错误!≤a〈1.

当a≥1时，有2a≥1，∴ a≥0，即a≥1;

综上，a的取值范围为错误!,故选C。

2．［2015·天津卷]已知函数f（x）＝错误!函数g（x）＝b－f(2－x)，其中b∈R。若函数y＝f(x)－g（x)恰有4个零点①，则b的取值范围是（ )

A.错误! B．错误!

C。错误! D．错误!

答案：D

解析：当x>2时，g（x)＝x＋b－4，f(x）＝(x－2）2；

当0≤x≤2时,g(x）＝b－x，f(x）＝2－x；

当x〈0时，g(x）＝b－x2，f（x)＝2＋x.

由于函数y＝f(x）－g(x） 恰有4个零点,

所以方程f(x）－g（x）＝0恰有4个根．

当b＝0时，

当x>2时,方程f（x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解;

当0≤x≤2时，方程f(x）－g（x)＝0可化为2－x－(－x)＝0,无解；

当x〈0时，方程f（x)－g(x）＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解．

所以b≠0，排除答案B。

当b＝2时，当x〉2时，方程f(x)－g（x）＝0可化为（x－2)2＝x－2，得x＝2（舍去）或x＝3，有1解;

当0≤x≤2时,方程f（x）－g(x)＝0可化为2－x＝2－x，有无数个解； 2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程真题演练集训 理 新人教A版

3 当x<0时，方程f(x)－g（x）＝0可化为2－x2＝x＋2，得x＝0(舍去)或x＝－1,有1解．

所以b≠2,排除答案A.

当b＝1时，当x〉2时，方程f(x)－g（x）＝0可化为x2－5x＋7＝0，无解；

当0≤x≤2时,方程f（x)－g（x)＝0可化为1－x＝2－x,无解；

当x〈0时，方程f(x）－g（x）＝0可化为x2＋x＋1＝0,无解．所以b≠1,排除答案C。

故选D.

3．［2014·湖南卷]已知函数f（x)＝x2＋ex－错误!（x〈0)与g（x）＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( ）

A.错误! B．（－∞，错误!)

C。错误! D．错误!

答案：B

解析:由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x）有正解，即x2＋ln(x＋a)＝（－x）2＋e－x－错误!有正解，即e－x－ln（x＋a)－错误!＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln（x＋a)－错误!,则F′(x）＝－e－x－错误!〈0,故函数F（x）＝e－x－ln(x＋a)－12在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g（x）＝f(－x）有正解，则存在正数x使得F（x）≥0，即e－x－ln（x＋a）－12≥0，所以a≤e错误!－x，又y＝e错误!－x在（0，＋∞）上单调递减，所以a

4．[2016·山东卷]已知函数f（x)＝错误!其中m＞0。若存在实数b,使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

答案:（3，＋∞)

解析：f(x)＝错误!当x>m时，f(x）＝x2－2mx＋4m＝(x－m）2 ＋4m－m2,其顶点为（m，4m－m2)；当x≤m时,函数f(x）的图象与直线x＝m的交点为Q（m,m)．

当错误!即0〈m≤3时，函数f（x)的图象如图①所示，易得直线y＝b与函数f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；

当错误!即m>3时,函数f(x)的图象如图②所示，则存在实数b满足4m－m2

4

① ②

5．［2015·湖南卷］已知函数f（x)＝ x3x≤ax2，x>a。若存在实数b,使函数g（x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．

答案：(－∞，0)∪（1,＋∞)

解析：函数g（x）有两个零点，即方程f（x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点．

①若a<0，则当x≤a时,f（x）＝x3，函数单调递增；当x＞a时,f（x）＝x2,函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图①实线部分所示，其图

象与直线y＝b可能有两个公共点。

① 2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程真题演练集训 理 新人教A版

5

②

②若0≤a≤1,则a3≤a2，函数f(x）在R上单调递增,f（x)的图象如图②实线部分所示,其图象与直线y＝b至多有一个公共点.

③若a＞1,则a3＞a2,函数f（x）在R上不单调,f(x）的图象如图③实线部分所示，其图象与直线y＝b可能有两个公共点．

综上,实数a的取值范围为(－∞,0）∪(1,＋∞）．

③

课外拓展阅读

函数零点的综合问题

1．函数零点常与导数知识结合用于判断函数存在唯一一个零点等命题．解题时常先判断函数在某区间上存在零点(存在性),再说明函数在相应区间上单调递增(或单调递减)即可(唯一性)． 2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程真题演练集训 理 新人教A版

6 2．当题目不是求零点，而是利用零点的个数，或由零点求参数的范围时，一般采用数形结合法．

［典例1] 已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋t－1,g(x)＝x＋错误!（x〉0)，其中e表示自然对数的底数．

（1）若g(x)＝m有实根，求实数m的取值范围；

（2）确定t的取值范围,使得g(x）－f(x）＝0有两个相异实根．

[思路分析］ (1)可将g(x)＝m有实根转化为一元二次方程有大于零的实根来求解，也可利用基本不等式或根据函数图象求解;（2)利用函数图象得到不等式，解不等式即可．

[解］ (1）解法一：因为x>0，所以g（x)＝x＋错误!≥2错误!＝2e,等号成立的条件是x＝e.

故g(x)的值域是[2e，＋∞）,

因而只需m≥2e，g(x）＝m就有实根．

故实数m的取值范围为[2e，＋∞)．

解法二：作出g(x)＝x＋e2x（x〉0)的图象，如图所示．

观察图象可知g(x）的最小值为2e，因此要使g（x)＝m有实根，则只需m≥2e.

故实数m的取值范围为［2e，＋∞)．

解法三：由g(x）＝m，得x2－mx＋e2＝0,

故错误!

等价于错误!故m≥2e。

故实数m的取值范围为[2e，＋∞）．

(2)若g(x)－f（x）＝0有两个相异的实根，则函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点． 2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程真题演练集训 理 新人教A版

7 因为f（x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－（x－e)2＋t－1＋e2,

所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2。

由题意,作出g(x)＝x＋错误!（x〉0）及f（x)＝－x2＋2ex＋t－1的大致图象，如图所示．

故当t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1时，g(x）与f（x)的图象有两个交点,即g（x）－f（x)＝0有两个相异实根．

所以t的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞)．

[典例2］ 设函数f(x）＝ax3－3ax,g(x）＝bx2－ln x（a,b∈R）,已知它们的图象在x＝1处的切线的斜率相等．

（1）求b的值；

（2）若函数F(x）＝错误!且方程F(x）＝a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围．

[思路分析]

［解] (1）f′（x)＝3ax2－3a，所以f′(1)＝0.

而g′(x)＝2bx－错误!,故g′(1)＝2b－1,

由题意得2b－1＝0,解得b＝错误!。

（2）当x∈（0，1)时，g′（x)＝x－错误!〈0，

当x∈（1，＋∞)时，g′(x)＝x－1x>0，

所以当x＝1时,g（x）取得极小值g(1）＝错误!.

当a＝0时,易知方程F(x）＝a2不可能只有四个解． 2018版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程真题演练集训 理 新人教A版

8 当a<0时，x∈（－∞，－1)时，f′（x)<0,x∈(－1，0）时f′(x）〉0，

所以当x＝－1时,f(x)取得极小值f(－1)＝2a，

又f(0）＝0,画出F（x)的图象如图所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解．

当a〉0时，x∈(－∞，－1）时，f′（x）>0,x∈（－1，0)时，f′（x)〈0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a,

又f(0)＝0，画出F（x)的图象如图所示，

从图象可以看出方程F（x)＝a2有且只有四个解时,错误!〈a2〈2a，所以实数a的取值范围是错误!。

温馨提示

解决此类问题要注意函数相关性质的研究，尤其要注意函数单调性与函数极值对函数图象的影响，所以多利用导数来研究函数的性质，从而较为准确地画出函数的草图，进而解决零点问题．