直线和圆、圆和圆的位置关系中考专题复习及训练试题
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创作；朱本晓
2022年元月元日
创作；朱本晓
2022年元月元日 直线和圆、圆和圆的位置关系中考专题复习及训练
[解读中考要点]
1、直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系有三种：相交、相切和相离。如图6.2 – 1所示。
图6.2-1lll相离 相切 相交 OOO
解读：〔1〕直线和圆相交时与圆有两个公一共点；直线和圆相切时有惟一公一共点；直线和圆相离时没有公一共点。反之也成立。
〔2〕当直线和圆有惟一公一共点〔即直线和圆相切〕时，这条直线叫做圆的切线。
2、圆心O到直线l的间隔 与⊙O的半径r之间的关系
（1） 直线和圆相交，即dr；
（2） 直线和圆相切，即dr；
（3） 直线和圆相离，即dr。
解读：上面的结论反过来也成立，即假设dr，那么直线和圆相交；假设dr，那么直线和圆相切；假设dr，那么直线和圆相离。这就得到判断直线和圆的位置关系的一种方法。
3、圆的切线的性质与断定方法
〔1〕性质：圆的切线垂直于过切点的直径。
〔2〕断定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
解读：连圆心和切点的线段是圆的半径，这是常做的辅助线。
4、三角形的内切圆 创作；朱本晓
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2022年元月元日 和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
解读：〔1〕因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，由角平分线的性质知，三角形的内心到三角形三边的间隔 都相等。利用这个性质可以解决一些作图题。
〔2〕锐角三角形、锐角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部。
5、圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系有5种：相离、外切、相交、内切、内涵。
解读：两圆相离和内含时两圆没有公一共点；两圆外切和内切时两圆有惟一公一共点；两圆相交时两圆有两个公一共点。
6、相切两圆的圆心距d与两圆的半径,Rr之间的关系
假设两圆外切，那么dRr；假设两圆内切，那么dRr。
解读：上面结论反过来也成立。即假设dRr，那么两圆外切；假设dRr，那么两圆内切，这就得到了判断两圆的位置关系的一种方法。
[剖析经典考题]
从近几年的中考题来看，本节的内容是考察的重点。本节内容命题大局部是填空题和选择题，也常出现与三角形、四边形等知识结合的综合题。不但有较容易的根底题，而且也具有选拔功能的才能题。综合题涉及的知识点较多，要求有较高的所谓才能和计算才能。大多数试题有一定的难度，在今后中考试题中，判断直线和圆以及圆与圆的关系的应用将是考察的重点。
例1、〔2021〕如图6.2-2，∠AOB=30°，M是OB边上的任意一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M。当OM=_________时，⊙M与OA相切。
分析：本例主要考察直线和圆的位置关系以及切线的断定和性质。如图6.2-2，作MN⊥OA于点N，
在Rt△MON中，∵∠MON=30°， 图6.2-2M B0AN创作；朱本晓
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2022年元月元日 ∴MN=12OM。
假设⊙M与OA相切，那么必须有MN=2，所以此时OM=2MN=4cm。
点拨：此题的解题关键通过作垂直，构造直角三角形。这条辅助线也是圆当中常做的一条辅助线。
例2、〔2021〕⊙和⊙的半径分别为3cm和4cm，圆心距=10cm，那么⊙和⊙的位置关系是〔
〕.
A. 内切 B.相交
C.外切 D.外离
分析：此题主要考察圆和圆的位置关系。由⊙和⊙的半径的和为7 cm，而圆心距=10cm，7<10，所以⊙和⊙相交。
解：D
点拨：圆心距d与两圆的半径,Rr满足RrdRr时两圆相交。
例3、〔2021〕：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：〔1〕AD＝BD；
〔2〕DF是⊙O的切线．
分析：此题综合考察等腰三角形和圆的有关性质以及切线的断定方法。〔1〕中可以通过连接CD，利用三角形全等或者等腰三角形“三线合一〞的性质证AD＝BD；〔2〕要证DF是⊙O的切线，必须连接OD，证明0D⊥FD即可。
解：〔1〕证法一：连结CD〔如图6.2-4〕，
∵BC为⊙O的直径 ∴CD⊥AB
∵AC＝BC FEDCBAO图 创作；朱本晓
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2022年元月元日 ∴AD＝BD．
证法二：连结CD，
∵BC为⊙O的直径
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵AC＝BC，CD＝CD
∴△ACD≌△BCD .
∴AD＝BD .
〔2〕证法一：连结OD如〔图6.2-5〕，
∵AD＝BD，OB＝OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线．
证法二：连结OD，
∵OB=OD
∴∠BDO＝∠B
∵∠B＝∠A
∴∠BDO=∠A
∵∠A+∠ADE＝90°
∴∠BDO＋∠ADE＝90°
∴∠ODF=90°.
∴DF是⊙O的切线． OABCDEF
OABCDFE 创作；朱本晓
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2022年元月元日 点拨：要注意辅助线在解题中的作用。另外，一题多解也能锻炼我们的思维才能。
[挑战中考名题]
一、选择题
1、〔2021〕圆的半径为，假如一条直线和圆心的间隔 为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是〔 〕.
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或者相离
2、〔2021〕圆A和圆B相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，那么圆B的半径是〔 〕．
A．5cm B．11cm C．3cm D．5cm或者11cm
3、〔2021〕假如⊙O1和⊙O2的半径分别为3㎝和1㎝，且O1O2＝2㎝．那么⊙O1和⊙O2的位置关系是〔 〕
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
4、〔2021〕两圆的半径R、r分别是方程x2－3x＋2=0的两根，且圆心距d =3，那么两圆的位置关系为〔 〕.
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
5、〔2021〕如图6.2-6，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=65º，那么∠BAC=〔 〕.
A、35º B、25º C、50º D、65º
外切于P点的⊙和⊙是半径为3cm的等圆，连心线交⊙于点A，交⊙于点B，AC与⊙相切于点C，连结PC，那么PC的长为〔 〕.
A B
C D
二、填空题
7、〔2021〕⊙O的半径为8, 圆心O到直线l的间隔 是6, 那
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2022年元月元日 么直线l与⊙O的位置关系是
．
8、〔2021〕如图6.2-8，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，，垂足为E，要使DE是⊙O的切线，那么图中的线段应满足的条件是 或者 。9、〔2021〕 如图6.2-9, ⊙o的割线PAB交⊙o于点A、B，PA=7cm，AB=5cm。PO=10cm，那么⊙o的半径为 。
图6.2-9COP
10、〔2021〕假设半径为6cm和5cm的两圆相交,且公一共弦长为6cm.那么两圆的圆心距为 .
11、〔2021〕如图6.2-10，两圆轮叠靠在墙边，两轮半径分别为4和1，那么它们与墙的切点A，B间的间隔 为____________。
12、〔2021〕在边长为3㎝、4㎝、5㎝的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为____㎝.
三、解答题
13、〔2021〕工人师傅为了检测该厂消费的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图6.2-11所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图〔单位：cm〕
将形状规那么的铁球放入槽内时，假设同时具有图6.2-11所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求。图6.2-12是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图。⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD。请你结合图8－1中的数据。计算这种铁球的直径。
14、〔2021〕:如图6.2-13，⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,连结CD. A E B 4 4
16
A
C E D B O
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2022年元月元日 (1)求证:PA∥BC;
(2)求⊙O的半径及CD的长.
15、〔2021〕如图6.2-14，BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为BF的中点，BF交AD于点E，且BEEF=32，AD=6.
(1) 求证：AE=BE；
(2) 求DE的长；
(3) 求BD的长 .
,AD是ABC的角平分线, 延长AD交ABC的外接圆O于点E,过CDE、、三点的圆1O交AC的延长线于点F，连结EFDF、．
(1)求证：AEF∽FED；
(2) 假设6,3ADDE, 求EF的长；
(3) 假设DF∥BE, 试判断ABE的形状，并说明理由．
A
O
P
B
D C
1O• A
E F C
B D O•
