非线性分析

当F?Ku时的结构分析

（非线性分析简介）

1、 引言

1.1结构分析起源 1.2有限元分析历史

2、 非线性的特征

2.1材料非线性

2.2几何非线性

2.3边界条件非线性 3、 非线性有限元分析的概念

3.1小应变

3.2非线性应变－变形关系（几何方程）

3.3非线性应力－应变关系（本构方程）

3.4更新平衡方程 3.5增量迭代求解方法

4、 大变形：更多关于几何非线性

4.1总体拉格朗日方法

4.2更新的拉格朗日方法

4.3欧拉方法 5、 塑性：更多关于材料非线性

5.1时间非相关行为

5.2时间相关行为

5.3屈服准则

5.4硬化 5.5蠕变（或称徐变）

5.6粘弹性和粘塑性

5.7橡胶和弹性体

6、 更多关于边界条件非线性

6.1接触和摩擦 7、 非线性动力分析

7.1动力问题求解方法

7.2隐式解法

7.3显式解法

7.4两种方法的对比 8、 虚拟制造

9、 一些实用信息

9.1非线性分析过程

9.2网格细分和重划分

10、应用实例

10.1汽车业：汽车玻璃的非线性仿真辅助分析

10.2航空业：Sikorsky Aircraft应用非线性求解方案解决设计瓶颈 10.3土木工程：充气坝的非线性仿真分析，协助其运行一次成功

10.4医疗器械：非线性有限元分析用于心血管器械的设计和安置

1、引言

结构和机械工程中的分析意味着基于工程原则的合适分析程序的应用，目的在于确定设

计中结构的、热学的以及多种物理场的完整性。对于简单结构，这些分析可以通过使用解析

公式或其它方法解决。更多时候，涉及到复杂部件或结构组装的分析就需要用到计算机仿真

技术，这是虚拟产品开发（VPD）的一个组成部分。

用于此类分析的主要工程软件基于有限元方法，在过去50年里，有限元分析成功应用于航空、汽车、能源、制造、化工、电子、医学等所有主要工业领域。事实上，有限元方法

是现代计算机设计工程的主要突破之一。

1.1结构分析起源

结构力学的起源可以追溯到伊萨克·牛顿和罗伯特·虎克等早期科学家。对于一个刚度

为K（单位N/m）的简易弹簧，自由端受力F（单位N）的作用，虎克得到了力荷载与引起的位移u之间简单的线性关系：f=Ku，此即虎克定律。因此，位移u就可以通过力荷载与

刚度系数相除得到。

目前线性系统的实际应用已经变得更复杂了，需要通过矩阵进行求解。结构中所有点的

力荷载和位移是矢量，结构刚度矩阵是所有单元刚度的集合。但是，基本原理是相同的。已

知力（某些情况下是指定位移）和结构刚度，就可计算得到相关未知量。后续的大部分计算分析可以得到应力和应变等相关量，进而利用这些量进行功能分析、设计或其它目的。

只有当假定力与位移成线性关系时，前述的结构计算才是合理的。也就是说，如果施加

的力变成了两倍，弹簧的变形也会是原来的两倍。在实际的结构力学中存在着非线性行为，

即由于材料、几何或接触等原因，结构刚度随着荷载的增大而逐渐增大。最终的结果就是施

加的荷载与位移不再成线性关系。这样的仿真分析称为非线性分析，可以概况为一个方程：f≠Ku。

出于数学和计算上的方便，早期的有限元计算都采用线性关系假定，尤其对于建筑结构

和飞行器等结构中通常考虑的小位移情况和线弹性材料行为，这是一种良好的近似。

随着计算技术的发展和计算机硬件能力的扩展，工程师们越来越希望接近他们设计中真

实的物理问题，因而在计算中考虑非线性的影响。事实上，类似于汽车碰撞、可变形包装、制动和密封系统等许多设计问题，其功能实现十分依赖于非线性行为。在这种情况下，线性

假定近似不可接受了。非线性行为也广泛应用于金属塑性成形、预应力、热处理等制造过程

仿真中。

这本指南意在介绍什么是非线性问题，并叙述了相关的原理和一些典型应用实例。

1.2有限元历史

在20世纪50年代中期，美英等国的航空工程师们发展了有限元方法，以分析飞行器结

构。尽管早期的有限元计算与当今的有限元方法大相径庭，但是网格离散、平衡方程和材料

的本构模型等仍然构成了计算的基础。

网格离散是指将复杂结构划分为大量的有限数目的相对简单的“单元”，集成单元刚度

矩阵得到联立方程中的结构总体刚度，再应用基本的虎克定律编制具有足够高计算效率和鲁棒性的求解程序。由于受到问题复杂性和计算条件的限制，目前的有限元方法发展了大矩阵

存储计算技术。

在20世纪60年代，研究人员开始将有限元方法应用于流体力学、热传导、电磁波传播

等非结构工程问题。实际上，基于类似原理可以解决许多工程科学计算问题，只是其求解方程不同而已。理论上已经证明，只要数学描述合适，有限元计算将收敛于正确的理论解。目

前研究人员也已开始将有限元分析应用于非线性问题。

2、非线性的特征

如前所述，所有的自然过程都存在不同程度的非线性行为。例如，挤压膨胀的气球（在

此过程中随着挤压力增大，刚度增大，变形速率降低），将曲别针弯曲至发生永久变形（材

料性质发生了永久变化）。这些例子以及其它许多日常情形都存在诸如大变形、非弹性材料

行为等情况。 何处会存在非线性行为，我们又如何评价其重要性呢？一般来说，有三种主要的常见非

线性行为。

2.1材料非线性

材料非线性是指材料的非线性应力－应变本构关系。弹塑性、压碎、开裂等都属于此类

情况，它还包括诸如粘弹性、粘塑性（蠕变）等与时间关联的作用。由于材料内部的变化，材料非线性通常（但不是所有的）表现为随着施加荷载的增长结构响应的软化。

2.2几何非线性

若结构刚度与其位移的关系成非线性，则称为几何非线性。几何非线性考虑诸如加载钳

板的硬化、屈曲等在纤薄结构中容易出现的问题。一般几何非线性比纯粹的材料非线性更难

于描述。几何的变化可能是突然的、不可预知的，但是计算中如果不考虑它们的影响，就不可能确切知道结构的真实行为。

2.3边界条件非线性

早期有限元分析主要针对小位移情况下的单个结构部分的分析。当考虑高度可变形体或

由多个部分组成的组合结构时，不断发展的位移可能引起自身或各部分之间的接触。这种特

定类型的几何非线性作用，称之为边界条件或接触非线性。在边界条件非线性中，当结构的两个或多个部分从初始接触状态发生改变时，结构的刚度也会发生改变。例如螺栓连接、齿

轮传动、密封装置等。

此外，许多实际结构存在以上三种非线性情况的组合，求解非线性方程的算法通常视不

同原因导致的非线性效应而定。

通过诸如永久变形、几何大变形等可以发现可能的非线性行为。开裂、颈缩、细缩、开口梁弯曲、断裂、屈曲、应力值超过材料弹性极限、局部屈服、剪切带、超过熔点30％以

上温度等都是非线性作用在结构行为中起到重要作用的迹象。

3、非线性有限元分析的概念

不管是线性还是非线性，有限元方法都只是实际问题的近似。成功进行有限元分析取决于在以下问题上作出良好全面的权衡：

有限元模型的质量（几何的精确程度）；

离散过程（网格形式选择、划分、分布）；

材料特性和相关假定行为；

荷载和边界条件； 求解程序自身（求解方法，收敛准则等）。

非线性分析在原理上比线性分析要复杂得多。例如，叠加原理（多个荷载作用下位移、应力、应变是各荷载作用下相应量的简单代数和）不再适用。其它线性假定的合理性，如应

变－位移关系、应力－应变关系、接触体的处理等，也需要经过相应检验。

尽管目前的有限元程序都包含有智能化、错误诊断和自动纠错等功能，但分析人员的经验仍然是对能否成功进行非线性分析仍是至关重要的。

在非线性有限元分析中，以下部分或全部的线性关系将会失效。

3.1小变形

大部分金属材料在应变超过0.01或0.02时将会失效。但有些材料，例如橡胶、弹性体、

塑料等，应变可以达到很大。这些情况已不符合原有的“工程应变”概念，需要对应变进行重新定义。

3.2非线性应变－位移关系

包括大转动问题（小应变时也可能存在）在内的不再适用线性应变－位移关系。在此情

况下，形状的改变不可忽略。屈曲行为、橡胶分析、金属成形以及其它许多常见情形都要求

考虑应变－位移关系中时常忽略的高阶项。此时应变－位移关系描述需要用到格林应变或对数应变。在这种情况下，由于求解应力时内力积分的面积与初始未变形前已发生改变，原先

的应力描述也是不正确的。非线性应变－位移关系通常使用Caushy应力度量，即应力总是

利用当前状态下结构的位置来进行计算。

3.3非线性应力－应变关系

简单来说，非线性本构关系是指材料响应随应变（而不是位移）的变化而变化。塑性行为是非常常见的例子。“塑性”材料初始阶段近似于线性响应，经过屈服点后材料承受荷载

的能力显著降低。如果材料在屈服后卸载，将产生永久变形。荷载持续加载，塑性继续发展，

直到施加无限小荷载增量时产生无限大位移。这种自然的软化行为并非一个缺陷，它在汽车

安全罩等失效设计中会进行特定的考虑。塑性流动也是金属或其它弹塑性材料成形等制造过

程中的核心。 某些情况下，应变大量增加会产生屈服硬化。此外，塑性变形表现出符号特征（压或拉）、

方向性（纤维加强塑性）、时间关联性（粘性作用/蠕变）和温度相关性等，这大大增加了材

料性质数学描述的复杂性。在多种不同荷载条件下，金属、塑料、土、岩石和其它许多材料

都存在着各种不同弹塑性行为。其它材料非线性行为，如断裂、压碎、分层等，都可能经常

遇到。

3.4更新平衡方程

平衡方程是有限元方法的基本原则之一，保证内力与外力的平衡。非线性分析的所有结

果要不断更新以保持力－位移关系的平衡，保证模拟分析的合理性。正如我们所看到的，通

过增量迭代方法求解非线性问题可以保证数值计算的平衡。

3.5增量迭代求解程方法

如前所述，有限元是一种近似方法。尤其对于非线性问题，描述物理问题的联立方程的

求解方法是需要考虑的重要事项之一。

在简单的线性分析中，对应于荷载的位移可通过刚度矩阵求逆的简单方法求得。从理论

上讲，荷载的数值是不重要的，因为线性响应遵从叠加原理，任意荷载都可以通过已有结果

进行外插得到。 在非线性分析中，施加的荷载和引起的位移是不成比例的（这是结构刚度本身固有的非

线性性质的结果），荷载的施加是通过一系列的荷载步（增量步）实现。早期纯粹应用增量