东城区2023年高三二模数学试题及答案
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1 北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（二）
数 学
2023.5
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项。
（1）已知集合{15}Axx=−N，{0,1,2,3,4,5}B=，则
(A) A
⫋B
(B) AB=
(C) BA
(D) BA
（2）已知椭圆22
1
3xy
mm+=的一个焦点的坐标是
(2,0)−，则实数
m的值为
（A）1
（B
）2
（C）2
（D）4
（3）已知数列{}
na
中，
11a=，
+121
=0
nnaa−，
nS
为其前n项和，则
5S=
（A）11
16 （B）31
16
（C）11
（D）31
（4）在复平面内，O是原点，向量OZuuur
对应的复数是1i−+
，将OZuuur
绕点O按逆时针方向旋转
4
，则
所得向量对应的复数为
(A)
2−
(B)
2i−
(C) 1−
(D)i−
（5）已知点
(1,3)M在圆
22
:Cxym+=上，过
M作圆
C的切线l，则l的倾斜角为
（A）30o
（B）60o
（C）120o
（D）150o
（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖
2 蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有
（A）13种 （B） 14
种
（C）15
种 （D）16种
（7）设函数
22,,
()
,.x
xa
fx
xxa
=
若()fx为增函数，则实数
a的取值范围是
（A）(0,4] （B）[2,4]
（C）[2,+) （D）[4,)+
（8）“cos0
= ”是“函数()sin()cosfxxx
=++为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知三条直线
1:220lxy−+=
，
2:20lx−=
，
3:0lxky+=
将平面分为六个部分，则满足条件的
k的值共有
（A）
1 个 （B）2 个
（C）
3 个 （D）无数个
（10）设0.01
e,1.01,ln1.01abc===，其中e为自然对数的底数，则
（A）abc （B）bac
（C）bca （D）acb
3
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知向量,ab满足2,1==ab，a与b的夹角为
3
，则ab= ;2____−=ab．
（12）函数()sin(+)(0,)
2fxx
=
在一个周期内的部分取值如下表：
x
12
−
12
4
5
12 7
12
()fx a
1 a a−
1−
则()fx的最小正周期为 ；a= _______．
（13）若2
{|01}{|20}=xxxxxm−+I，则实数m的一个取值为__________.
（14）如图，在正方体
1111ABCDABCD−
中，E是
11AB的中点，
平面
ACE将正方体分成体积分别为
1V，
2V(
12VV
) 的两部分，
则1
2V
V= .
（15）定义在区间
[1,)+上的函数
()fx的图象是一条连续不断的曲线，
()fx在区间[21,2]kk−上单调
递增，在区间[2,21]kk+上单调递减，1,2,.k=L给出下列四个结论：
① 若
{(2)}fk为递增数列，则
()fx存在最大值；
② 若
{(2+1)}fk为递增数列，则
()fx存在最小值；
③ 若
(2)(21)0fkfk+，且
(2)(21)fkfk++存在最小值，则
()fx存在最小值；
④ 若
(2)(21)0fkfk+，且
(2)(21)fkfk−+存在最大值，则
()fx存在最大值.
其中所有错误结论的序号有_______．
4 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在△ABC中，sincos0
2B
bAa−=.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若3b=，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存
在且唯一确定，求a及△ABC的面积.
条件 ①：sinsin2sinACB+= ；
条件
②：3c=
；
条件 ③：10ac=.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，
按第一个解答计分．
（17）（本小题14分）
如图，直角三角形
ABC和等边三角形ABD
所在平面互相垂直，
2ABAC==，E
是线段AD
上
一点.
（Ⅰ）设E为AD
的中点，求证：BECD⊥；
（Ⅱ）若直线
CD和平面
BCE所成角的正弦值为10
10，求AE
AD的值.
5 （18）（本小题13分）
某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两
次考试的成绩如下表所示（满分100分）：
学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7
第一次 82 89 78 92 92 65 81
第二次 83 90 75 95 93 61 76
（Ⅰ）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩
的概率；
（Ⅱ）设
(1,2,,7)
ixi=L表示第
i名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差．从数学学习小组7
名学生中随机选取2名，得到数据
,(1,,)
ijxxijij7
≤≤，定义随机变量
X
，Y如下：
0,0|3,
1,3|6,
2,|6ij
ij
ijxx
Xxx
xx
−
=−
−
，
≥|
≤
|
≤
| 0,0
1,24,
2,4
3,6.ij
ij
ij
ijxx
xx
Y
xx
xx
−
−
=
−
−
≤＜2,
≤＜
≤＜6,
≥
（i）求
X的分布列和数学期望
EX
；
（ii）设随机变量
X
，Y的的方差分别为
DX
，DY
，试比较
DX与
DY的大小．（结论不要求证明）
6
（19）（本小题15分）
已知焦点为F的抛物线2
:2(0)Cypxp=经过点(1,2)M．
（Ⅰ）设O为坐标原点，求抛物线C的准线方程及△OFM的面积；
（Ⅱ）设斜率为(0)kk的直线l与抛物线C交于不同的两点,AB，若以AB
为直径的圆与抛物线C
的准线相切，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
（20）（本小题15分）
已知函数
()esin2x
fxxx=−.
（Ⅰ）求曲线()
yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；
（Ⅱ）求()
fx在区间[1,1]−上的最大值；
（Ⅲ）设实数a使得()
ex
fxxa+对xR恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由.
（21）（本小题15分）
已知有穷数列
12:
nAaaaL，，，(3)n中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足
1mn的整数
m，令集合
(){12}
kAmkamkn===，，，，L.记集合
()Am中元素的个数为
()sm(约定空集的元素个数为
0).
（Ⅰ）若
:63253755A，，，，，，，，求
(5)A及
(5)s； （Ⅱ）若
12111
()()()
nn
sasasa+++=L，求证：
12,,,
naaaL
互不相同；
（Ⅲ）已知
12,aaab==，若对任意的正整数
()ijijijn+，，都有
()
iijAa+或
()
jijAa+，求
12naaa+++L的值.
