人教版数学高二A版选修2-2学案 第三章 数系的扩充与复数的引入 章末复习

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校对完成版本 章末复习

学习目标

1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．

(5)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2

(r≥0，r∈R)．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi←―――――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←―――――→一一对应平面向量OZ→.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) 高中数学打印版

校对完成版本 2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )

3．方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )

类型一 复数的概念

例1 已知复数z＝a2－a－6＋a2＋2a－15a2－4i，分别求出满足下列条件的实数a的值：

(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.

考点 复数的概念

题点 由复数的分类求未知数

解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.

由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.

由a2－4≠0，解得a≠±2.

(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，

得a＝－5或a＝3，

∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．

(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，

得a≠－5且a≠3且a≠±2，

∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．

(3)由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0，得a＝3，

∴当a＝3时，z＝0.

引申探究

例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由．

解 由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，

且a2－4≠0，得a无解，

∴不存在实数a，使z为纯虚数． 高中数学打印版

校对完成版本 反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．

(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．

跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数．

考点 复数的概念

题点 由复数的分类求未知数

解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，

所以 x2－3x－3>0，log2x－3＝0，x－3>0，

解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.

(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，

所以 x2－3x－3>0，log2x－3≠0，x－3>0，

解得x>3＋212且x≠4.

所以当x>3＋212且x≠4时，z为虚数．

类型二 复数的四则运算

例2 (1)计算：－23＋i1＋23i＋21＋i2 018＋4－8i2－－4＋8i211－7i；

(2)已知z＝1＋i，求z2－3z＋6z＋1的模．

考点 复数四则运算的综合运用

题点 复数的混合运算

解 (1)原式＝i1＋23i1＋23i＋21＋i21 009＋4－8i＋8i－44－8i＋4－8i11－7i＝i＋(－i)1 009＋0＝0.

(2)z2－3z＋6z＋1＝1＋i2－31＋i＋62＋i＝3－i2＋i＝1－i， 高中数学打印版

校对完成版本 ∴z2－3z＋6z＋1的模为2.

反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．

(2)虚数单位i的周期性

①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)；

②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．

跟踪训练2 (1)已知z1＋i＝2＋i，则复数z等于( )

A．－1＋3i B．1－3i

C．3＋i D．3－i

考点 共轭复数的定义与应用

题点 利用定义求共轭复数

答案 B

解析 ∵z1＋i＝2＋i，∴z＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.

(2)已知z是复数，z－3i为实数，z－5i2－i为纯虚数(i为虚数单位)．

①求复数z；

②求z1－i的模．

考点 复数四则运算的综合应用

题点 与混合运算有关的未知数求解

解 ①设z＝a＋bi(a，b∈R)，

∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.

又∵a－2i2－i＝2a＋2＋a－4i5为纯虚数，

∴a＝－1，即z＝－1＋3i.

②z1－i＝－1＋3i1－i＝－1＋3i1＋i1－i1＋i 高中数学打印版

校对完成版本 ＝－4＋2i2＝－2＋i，

∴z1－i＝|－2＋i|＝－22＋12＝5.

类型三 数形结合思想的应用

例3 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB→对应的复数为z.

(1)求复数z；

(2)若复数z对应的点P在直线y＝12x上，求θ的值．

考点 分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用

题点 数形结合思想的应用

解 (1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.

(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．

由点P在直线y＝12x上，得－2sin2θ＝－12，

∴sin2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，

因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝5π6.

反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．

跟踪训练3 在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数2z＋z2对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

考点 复数的乘除法运算法则

题点 运算结果与点的对应关系

答案 A

解析 ∵2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2

＝21＋i＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，

∴复数2z＋z2对应点的坐标为(1,1)， 高中数学打印版

校对完成版本 故在第一象限．

1．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )

A．1

B.2

C.3 D．2

考点 复数的模的定义与应用

题点 利用定义求复数的模

答案 B

解析 由已知得x＋xi＝1＋yi，根据两复数相等的条件可得x＝y＝1，

所以|x＋yi|＝|1＋i|＝2.

2．若z＝1＋2i，则4izz－1等于( )

A．1 B．－1

C．i D．－i

考点 复数四则运算的综合应用

题点 复数的混合运算

答案

C

解析 4izz－1＝4i12＋22－1＝i.

3．复数z＝2＋ai1＋i(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于( )

A．2 B．－1

C．1 D．－2

考点 乘除法的运算法则

题点 利用乘除法求复数中的未知数

答案 D

解析 z＝2＋ai1＋i＝2＋ai1－i1＋i1－i

＝2＋a＋a－2i2在复平面内对应的点的坐标为2＋a2，a－22且在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2. 高中数学打印版

校对完成版本 4．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若 z·zi＋2＝2z，则z等于(

)

A．1＋i B．1－i

C．－1＋i D．－1－i

考点 复数四则运算的综合应用

题点 与混合运算有关的未知数求解

答案 A

解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，

所以z·zi＋2＝2z，即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，

根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，

解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.

5．若复数z满足|z|－z＝101－2i，则z＝________.

考点 复数四则运算的综合应用

题点 与混合运算有关的未知数求解

答案 3＋4i

解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝a－bi，

∵|z|－z＝101－2i，∴|z|－z＝2＋4i，

则a2＋b2－a＋bi＝2＋4i，

∴ a2＋b2－a＝2，b＝4，解得 a＝3，b＝4，∴z＝3＋4i.

1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．

2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．

3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.

一、选择题

1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )