莱布尼茨公式推导过程详细

Ft，上面帖子中的一个笔误，应该是：“期望收益率相同的条件下，参与方差大的赌局，资金的增长速度要慢。”

举个例子上面例子中的仓位选择，实际上是组合的一种技术。思考一下，最优的投资比例f = 50%，是说每次只将资金的50%用于下注。这固然是一个仓位问题，但再思考一下，那另外50%的资金是什么？是拿在手中的现金。所以f = 50%实际上也是一个组合：赌注和现金的组合。在上面的例子中，如果不使用组合技术，也即在参与赌局的时候，不将资金分成现金和赌注两个部分，或者只持有现金，或者全部用于下注，则容易看到，资金最终都将不会出现增长。但是，在把资金变成赌注和现金的组合之后，资金就可以实现增长。

值得思考的一个问题是，我们知道，现金不产生任何收益，但是在上面的例子中，为什么把一部分的资金以现金的方式拿在手中，反而能够促使资金总额实现增长？这表面上，似乎是现金导致了资金的增长。是不是有点费解？其中的道理，如果把“赌局”这个词改成“股票”或者“期货”，就容易理解得多（我在前面已经说明，在我这里，赌局与证券、交易系统、投资项目等等概念的内涵是等价的）。因为现金和赌注的组合比例f是一个固定的比例，如果股票价格升高，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也升高，这时为了保持f固定不变，就需要卖出一部分股票以变成现金；如果股价价格下降，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也下降，为了保持f固定不变，就拿出一部分现金用于买入股票。所以，这里的赌注和现金就好象两个水池，比例f就好像它们之间的一个自动化的水泵，赌注上的资金多了，水泵就自动把资金往现金这个池子里面送；现金上的资金多了，水泵就自动把资金往赌注这个池子里面送。这样送来送去，在不做任何预测的情况下，却自动实现了“买低卖高”的效果。这正是对“重操作、不预测”的一个极好的注解。④ 超越极限

但是就上面所讨论的这个赌局而言，其可挖掘的赢利潜力，或者可实现的资金增长速度，还可以继续突破平均每次增长25%这个速度。或许有人要问：既然上面已经说明，在这个赌局下25%的增长速度已经是一个极限，怎么还可以被突破？这里需要特别说明：以上的极限是对等分投资法而言的。要突破这个极限，自然需要利用组合技术来构造新的投资方法。

黑体辐射公式的详细推导　李蓉　（华东交通大学￣Ｅ．Ｙ－－学院江西·南昌３３０１００）　摘要在本文中，我们将详细地推导黑体辐射公式，并利用黑体辐射公式推导一些有用的公式。在求导黑体辐射公　式时，我们首先要求出振动粒子的平均能量，然后分别用波动观点和粒子观点求空腔单位体积内频率ｖ到ｖ＋ｄｖ的振　动数目。这样我们就可以求出用ｐ　ｄｖ表示的黑体辐射公式。我们利用ｐ　和９　之间的关系，写出用ｐ　ｄ九表示的黑体辐　射公式，同时我们可以写出用Ｍ　（Ｔ）ｄｖ表示的黑体辐射公式。　关键词黑体辐射公式　中图分类号：０５７１．４３　文献标识码：Ａ　黑体辐射实验是现代物理学的关键性实验之一，普朗克　黑体辐射公式在普通物理学，近代物理学及量子力学的教材　中都讲到过，但没有一本教材详细地写出整个推导过程，所以，　学生只知道结论，不知道是怎么推导出来的，而且各教材的写　法也不一样，有的用能量密度Ｐ　写出，有的用单色辐出度Ｍｖ　（Ｔ）写出，这两者到底是什么关系，一些教材中也没有谈到，为　了让学生了解黑体辐射公式的推导，以及黑体辐射公式有哪　些重要的应用，本文详细地写出了推导过程。　１求振动粒子的平均能量　一个开有小孔的空腔可以看作一个黑体，黑体辐射公式　是描述黑体辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或　频率）的分布。所以，为了求的黑体辐射公式，我们可以先求　出振动粒子的平均能量，然后用波动观点导出空腔单位体积　内频率ｖ到ｖ＋ｄｖ的振动粒子的数目。这样，便可求得用ｐ　ｄｖ　表示的黑体辐射公式。　黑体是由带电的谐振子所组成，谐振子的能量不能连续　变化，而只能取一些分立值，它们是最小量￡。的整数倍。￡０Ｉ　２ｅ。，　３ＥＯ　ｏ　ｏ￣ｎ３ｅ。…，这些分立值称为谐振子的能级。其中，ｒｌ为正整　数，称为量子数。后来人们把振子处于某些能量状态，形象的　称为处于某个能级。这种假设叫做普朗克量子假设。这个假　设与经典物理能量连续的概念格格不入，为物理学带来了新　的概念和活力。　由经典统计理论可知，原子，分子振动能量遵循玻尔兹曼分　布，振子能量为Ｅｎ＝ｍｏ的几率与ｅ　成比例。所以利用一系　列的数学计算，我们可以求得振动粒子的平均能量巨：　ｅ　ｎ１　２用波动观点求空腔单位体积内频率ｖ到ｖ＋ｄｖ的振动数　目　热辐射为电磁波，为了求得空腔单位体积内频率ｖ到ｖ＋　ｄｖ的振动数目，我们要把电磁波分解为各个频率的驻波，这种　分解可以通过分离变数法解波动方程而求得一系列的特解，　其中，每一个特解都代表驻波，且由一组整数（１，ｍ，ｎ）确定，通　过计算可以得到空腔单位体积内频率ｖ到ｖ＋ｄＶ的振动数目　为８ｘｖ　［注：详细的求解过程参看王竹溪统计物理学导论　～　第二版Ｐ　。］　３用粒子的观点求空腔单位体积内频率ｖ到ｖ＋ｄｖ的量子　态数即振动数目　在经典物理学中，把组成黑体空腔壁的分子或原子看作　带电的线性谐振子。把辐射场看作粒子，认为是一种数目不　固定的光子气体，我们要求空腔单位体积内频率ｖ到ｖ＋ｄｖ的　量子态数，可以先求空腔内ｖ到ｖ＋ｄＶ之间的总量子态数。　因为我们知道，对量子态求和可以改为对相宇求积分，两　者的关系为：　ｚ　嘉　对于光子气体，１－＝３，ｄｗ＝ｄｘｄｙｄｚｄｐ　ｄｐ　ｄｐ　，但每一频率相　当于两个偏振方向。也就是相当于两个量子态，所以，在应用　到光子时，根据光子的性质有　２　Ｊ…Ｊ　，　利用积分可求得　１／２ｄｖ（Ｖ为空腔体积）　ｃ　所以，我们求得空腔单位体积内频率ｖ到ｖ＋ｄｖ的振动数　目为８万ｌ，　．　了　４写出由ｐ　ｄＶ表示的黑体辐射公式　我们已经求得空腔单位体积内频率ｖ到ｖ＋ｄｖ的振动数　目和振动粒子的平均能量，引进ｐｖ辐射能量密度可得　＝警　丁８１ｒｈｖ３志　５写出用Ｍ，（Ｔ）ｄｖ表示的黑体辐射公式　从热力学温度为Ｔ的黑体的单位面积上，单位时间内，在　波长附近，单位频率ｖ范围内所辐射的电磁波能量，称为单色　辐出度。显然，单色辐出度数黑体的热力学温度Ｔ和频率ｖ　的函数，用（Ｔ）表示。　因为　Ｍｙ＝　＝　ｃ丁８ｎｈｖ　３　＝２　所以，以Ｍ　（Ｔ）ｄｖ表示的黑体辐射公式为：　Ｍ　（　）　＝２ｎｈｖ　ｃ　南ｄ　这样，本文详细导出以ｐ　ｄｖ和Ｍｖ（Ｔ）ｄｖ表示的黑体辐射　公式以及两者的联系，全文的推导可以让大家更加清楚的了　解黑体辐射公式，同时黑体辐射公式验证了能量的粒子性。从　经典物理学来看，能量粒子性的假设是荒诞，不可思议的，但　后面无数的实验证明它又是正确的。普朗克发现了能量子，　对建立量子理论作出了卓越的贡献。　参考文献　［１］程守洙，江之永．普通物理学［Ｍ】．高等教育出版社，２００３．　【２】马文蔚物理学（第五版）［Ｍ］．高等教育出版社，２０１１．　［３］王竹溪．统计物理学导论［Ｍ］．人民教育出版社，１９７８．　【４］　曾谨言．量子力学导论（第二版）【Ｍ］．北京大学出版社，１９９８　一科教导刊ｒ电子版Ｊ·２０１４年第５期ｒ下Ｊ一　１３５

资金增长最快的投资比例是对数投资组合理论要解决的问题。凡是学过金融的都会知道Markowitz1952年开创的投资组合理论，但是知道对数最优组合理论的人就少多了。但是，大凡专业的赌徒或投机客，都会对这一理论有一些了解。1956年美国贝尔实验室工程师小Kelly的一篇文章开创了这一理论，著名的Kelly公式由此诞生，并奠定了Kelly赌法（Kelly betting）的理论基础。

我以前曾经介绍过Kelly公式以及比Kelly公式更一般的使资金增长最快的投资比例公式。现在对于对数投资组合理论有了更多的认识，需要做个系统整理，既是进一步梳理思路，也与大家交流。这是一个非常值得学习研究、直至应用自如的理论。

这个“故事”到这里既可说已经讲完，也可说才开了个头。时间允许，我会慢慢道来。

记得闽发的忘情剑今年有个帖子的题目里有“……请跟我深呼吸”，煽情得不得了，佩服佩服！金庸的《倚天屠龙记》中，“武林至尊，宝刀屠龙，号令天下，莫敢不从，倚天不出，谁与争锋？”令人神往。而今，在赌博投机的江湖中，倚天已出，那就是（12）式。所以，借用忘情剑的名句，“请跟我深呼吸！” 吼吼！

蔚蓝：

idlator兄好！

毛收益率RK理论上是而实际上不是，或者说应该不是独立同分布的。

当操作者是人的时候，前次的RK-1将通过对操作者的影响而对RK是产生某种影响，尤其当前次的RK-1或非常大或非常小的时候，同样在大的投机市场，还有受市场普遍平均收益率影响的可能。

------------------------------------------- idlator：

蔚蓝兄好，这里的讨论是假定一个赌局的性质已经给定，毛收益率Rk由赌局的性质所确定。至于赌徒能不能实现这个Rk，则是由他的操作水平所定。

互相，要看比例f 和速度g的具象，你可以自己设计一系列的赌局，然后分别计算一下各自的最优的比例f 和g，同时也计算非最优的f下的g，多算几次，然后画个图，就会有直观的领悟。

莱布尼茨公式是一个非常重要的微积分代数公式，它提供了一种简便而有效的方法来求导多元函数。它可以求出函数在某点处的导数，从而更好地理解函数的特性和行为。

首先，我们来看看莱布尼茨公式的一般形式：

∇f (x,y,z...) = ∂f / ∂x + ∂f / ∂y + ∂f / ∂z +...

其中，x、y、z分别代表函数f的多个变量，∂f / ∂x代表函数f在变量x处的偏导数，∂f /

∂y代表函数f在变量y处的偏导数，∂f / ∂z代表函数f在变量z处的偏导数，以此类推。

接下来，我们来看看如何使用莱布尼茨公式求导多元函数：

1、对于二元函数，假设函数f由x和y两个变量组成，那么莱布尼茨公式就可以表示为：

∇f (x,y) = ∂f / ∂x + ∂f / ∂y

2、对于三元函数，假设函数f由x、y和z三个变量组成，那么莱布尼茨公式就可以表示为：

∇f (x,y,z) = ∂f / ∂x + ∂f / ∂y + ∂f / ∂z

3、对于n元函数，假设函数f由x1、x2、x3、...、xn n个变量组成，那么莱布尼茨公式就可以表示为：

∇f (x1,x2,x3,...,xn) = ∂f / ∂x1 + ∂f / ∂x2 + ∂f / ∂x3 + ... + ∂f / ∂xn

以上就是莱布尼茨公式的通用形式，下面我们来看看几个具体的例子。

例1：求f (x,y) = x2 + y2 的梯度

解：由莱布尼茨公式，我们可以得到：

∇f (x,y) = ∂f / ∂x + ∂f / ∂y

即∇f (x,y) = 2x + 2y

因此，函数f (x,y) = x2 + y2 的梯度是：2x + 2y。

例2：求f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 的梯度

解：同样根据莱布尼茨公式，我们可以得到：

∇f (x,y,z) = ∂f / ∂x + ∂f / ∂y + ∂f / ∂z

即∇f (x,y,z) = 2x + 2y + 2z