多边形的内角和

闵集中学七年级数学课堂教学设计活页

课题： 多边形的内角和 设计人：胡红星 审核：七年级数学备课组

上课时间： 2012年4月 第 8周 第 24课时

学习目标：理解多边形内外角公式，能利用他们解决一些简单的问题。

重难点：多边形内外角和的公式的推导.

课前导学：

1、填空：

（1）多边形相邻两边所组成的角叫做它的 .多边形的边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 .一般的，一个n边形有 个内角， 个外角.

（2）三角形的内角和为 ，外角和为 .三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 .

（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的 .从一个n边形的一个顶点出发的 有 条，它们可以把多边形分为 个三角形.

（4）在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做 .

（5）n边形的内角和等于 ；n边形的外角和等于 .

2、一个多边形的内角和与外角和之和等于2520°，这个多边形的边数为（ ）

A、12 B、13 C、14 D、15

3、若一个多边形的每一个内角都与它的相邻的外角相等，则这个多边形是（ ）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

4、已知：四边形ABCD.

求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°

课堂导学：

探究 你能推导出五边形和六边形的内角和是多少吗？

例1 如图，已知五边形ABCDE中，AE∥CD,∠A=100°,∠B=130°，求∠C的度数.

例2 如图所示，分别以四边形的各个顶点为圆心，半径为R作圆（这些圆互不相交），把这些圆与四边形的公共部分（即图中的阴影部分）剪下来拼在一起，你有什么发现？并用有关的数学知识进行解释.

多边形内角和的公式书写

咱们在数学的世界里溜达，多边形内角和这玩意儿可是个挺有意思的家伙。

咱先来说说啥是多边形。多边形嘛，就是由好多条线段首尾相连围成的图形。三角形、四边形、五边形……那可多了去了。

那多边形的内角和咋算呢？这里有个神奇的公式：$(n - 2)×180°$，这里的$n$表示多边形的边数。

就拿咱们熟悉的三角形来说，三角形有三条边，那$n$就是 3，代入公式算算：$(3 - 2)×180° = 180°$，嘿，果然三角形的内角和就是 180

度。

再看看四边形，$n$等于 4，$(4 - 2)×180° = 360°$，四边形的内角和就是 360 度。

有一次，我在课堂上讲这个公式，有个小家伙特别可爱，他瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？难道是神仙告诉我们的？”我笑着跟他说：“这可不是神仙告诉我们的，咱们一起来研究研究。”

我让他们把一个四边形沿着对角线分成两个三角形，这两个三角形的内角和加起来不就是四边形的内角和嘛。他们一下子恍然大悟，“哦！原来是这样！” 咱再来说说五边形。五边形的内角和按照公式来算，$(5 - 2)×180° =

540°$。

那要是六边形、七边形、八边形……都能按照这个公式来算。

其实啊，这个公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开多边形内角和的秘密之门。

在做练习题的时候，有的同学会粗心大意，把边数搞错，结果算出个稀奇古怪的答案。这时候我就会提醒他们：“可得把边数数清楚咯，别让多边形跟你闹脾气。”

多边形内角和的公式书写，看着简单，但是要真正掌握，还得多练习多琢磨。希望同学们都能把这把神奇的钥匙用得顺溜，在数学的世界里畅行无阻！

多边形的内角和与外角和

多边形是一种有多个直角或不是直角的边的几何图形。它由一系列线段组成，这些线段的端点称为顶点。在一个多边形中，内角和与外角和是两个重要的概念。

一、内角和

内角是多边形内部两条边所形成的角，可以通过计算多边形的内角和来了解多边形的性质。多边形的内角和可以通过以下公式来计算：

内角和 = (n - 2) × 180°

其中，n表示多边形的边数。可以看出，内角和与多边形的边数呈线性关系，边数越多，内角和也会增加。

例如，对于三角形（三边形），它有3个内角，内角和为180°。对于四边形（四边形），它有4个内角，内角和为360°。同理，五边形（五边形）的内角和为540°，六边形（六边形）的内角和为720°。

二、外角和

外角是多边形内部一条边与其相邻边的延长线之间所形成的角。多边形的外角和可以通过以下公式来计算：

外角和 = 360°

不论多边形的边数是多少，其外角和总是等于360°。这是因为多边形的各个外角之间构成了一个完整的圆周角。 三、内角和与外角和的关系

多边形的内角和与外角和之间存在一定的关系。根据数学原理，多边形内角和与外角和相差180°。

证明如下：

设多边形的边数为n，每个内角为a°，每个外角为b°。

多边形的内角和为 (n - 2) × 180°，外角和为360°。

根据角度的差值关系，可以得到：(n - 2) × 180° = n × a° - n × b°

化简得到：360° = n × (a° - b°)

因此，a° - b° = 180°，即内角和与外角和相差180°。

这个关系在解决一些几何问题时非常有用。通过计算内角和和外角和，我们可以推导出多边形的各种性质和特点。

总结：

多边形的内角和可以通过公式 (n - 2) × 180° 来计算，其中n为多边形的边数。

多边形的外角和总是等于360°。

多边形的内角和与外角和相差180°。

内角和与外角和是多边形几何性质研究中的重要概念，通过它们我们可以了解多边形的特点和关系。

多边形的内角和与外角和

多边形是数学中一个重要的概念，它是由若干条线段组成的封闭曲线。每个多边形都有内角和与外角和，本文将详细介绍这两个概念以及它们之间的关系。

1. 多边形的内角和

内角是指多边形内部相邻线段所形成的角度。对于任意一个n边形（n≥3），其内角和可以用公式 (n-2) × 180° 计算。这是因为一个n边形可以被分割成n-2个三角形，而每个三角形内角和为180°。所以，n边形的内角和为 (n-2) × 180°。

2. 多边形的外角和

外角是指多边形外部与相邻线段所形成的角度。对于任意一个n边形，其外角和等于360°。这是因为多边形的每个外角都与其相邻内角互补，而一个完整的圆周角为360°。

3. 内角和与外角和的关系

多边形的内角和与外角和有一个重要的关系，即它们的和等于n个直角。这可以通过数学归纳法来证明。对于一个三角形来说，它的内角和为180°，外角和为360°，两者的和正好等于一个直角。

假设对于任意一个n边形，其内角和与外角和的关系成立，即内角和加上外角和等于n个直角。现在考虑一个n+1边形，我们可以通过在原来的n边形的任意一个顶点处添加一个顶点来构造它。根据我们的假设，原来的n边形的内角和与外角和的和等于n个直角。

对于新添加的顶点，它对应的内角为180°，外角为360°。所以，我们可以得到新的n+1边形的内角和为原来n边形的内角和加上180°，外角和为原来n边形的外角和加上360°。将它们相加，得到新的内角和加上外角和为原来n个直角加上180°加上360°，即n+1个直角。

综上所述，对于任意一个多边形，它的内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。因此，内角和与外角和是有确定关系的，可以相互转换。

总结起来，多边形的内角和等于顶点数目减去2乘以180°，外角和等于360°，而内角和与外角和的和等于顶点数目乘以直角的个数。这些概念的理解对于解决与多边形相关的问题以及几何形状的计算非常重要。