当前位置：文档之家 › 求通项公式的方法归纳

求通项公式的方法归纳

  • 格式：doc
  • 大小：11.01 KB
  • 文档页数：2

求通项公式的方法归纳

通项公式是数学中常用的一种表示数列的方法。它可以通过一定的推导和归纳，找到数列中每一项与项数之间的关系式，从而得到一个通用公式，可以直接求解数列中任意一项的值。

具体来说，求通项公式的方法可以通过以下几个步骤归纳：

1. 观察数列的规律：首先，我们需要仔细观察数列的前几项，寻找其中的规律或者特点。这可能包括数列中相邻项之间的差异、倍数关系、等差或等比等特征。通过观察数列的规律，我们可以初步猜测数列的通项公式。

2. 假设通项公式：基于对数列的观察，我们可以假设一个通项公式，将数列的第n项表示为一个未知数的函数。这个函数可以是多项式、指数函数、三角函数等，根据数列的性质来决定。

3. 代入验证：在假设通项公式的基础上，我们将其代入数列的前几项，逐一验证是否满足。如果通项公式能够正确描述数列的每一项，那么我们可以认为猜测的通项公式是正确的。

4. 证明通项公式：通过数学归纳法或其他证明方法，我们可以证明假设的通项公式对于数列中的所有项都成立。这一步是非常重要的，因为它能够帮助我们确保通项公式在数列中的适用性和准确性。

需要注意的是，求通项公式是一个较为复杂的数学问题，需要一定的数学知识和技巧。对于一些简单的数列，可以通过观察和巧妙的代数变换来找到通项公式；而对于更复杂的数列，可能需要使用更高级的数学方法，如递推关系、递归等。

总结而言，求通项公式的方法归纳包括观察数列规律、假设通项公式、代入验证和证明通项公式。通过这些步骤，我们可以找到数列中每一项与项数之间的关系，从而得到一个通用公式，方便计算数列中任意一项的值。

合集下载

数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。 例3 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

数列求通项的七种方法及例题

数列求通项的七种方法及例题

数列求通项的七种方法及例题

数列求通项的7种方法及例题：

1. 已知首项和公比法：

设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 ×

q^(n-1)。

例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。

答案：a5=2×3^4=2×81=162

2. 已知前n项和法：

设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 +

S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。

例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。

答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 8

3. 等差数列的通项公式：

设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。

例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。

答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 18

4. 等比数列的通项公式：

设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×

q^(n-1)。 例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。

答案：a5=2×3^4=2×81=162

5. 三项和平均数法：

设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。

例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。

答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 5

6. 泰勒公式法：

对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。

例如：已知数列{an}中，a1=2，且当 n→∞ 时，an

→ 0，求a4。

答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1!

+ (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4

- 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()nnaafn ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()nnaafn(2)n，

则 21321(1)(2)

()nnaafaafaafn

两边分别相加得 111()nnkaafn 例1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。

解：由121nnaan得121nnaan则

112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn

所以数列{}na的通项公式为2nan。

例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。

解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn

求数列通项公式的十种方法[1]

求数列通项公式的十种方法[1]

第 1 页 共 14 页 求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。

解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。

二、利用1(2)1(1)nnSSnSnna

例2．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数

2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；

解： 22(1)4231anadSnnnn

23435TSnnnnn……2分 当1,35811nTb时

当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分

练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0

∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)