2020高中数学 第一章1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修2-2
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精品 1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的平均变化率
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率，如图111所示．
图111
思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率ΔyΔx可正、可负、可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限即limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.
3．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.
[基础自测]
1．思考辨析 ....
精品 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( )
(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
提示：(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．
(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．
(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
【导学号：31062000】
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
D [Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]
3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是
( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
B [v＝ΔsΔt＝s－s2.1－2＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]
4．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．
[解析] ∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是
limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 f＋Δx－fΔx＝limΔx→0 ＋Δx2－12Δx
＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.
[答案] 2
5．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________．
[解析] f′(6)＝limΔx→0 f＋Δx－fΔx＝limΔx→0 2－2Δx＝0.
[答案] 0
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的平均变化率
已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.
【导学号：31062001】
[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5， ....
精品 所以从0.1到0.2的平均变化率为
3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)
＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋Δx2Δx＝6x0＋3Δx.
[规律方法] 1.求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝fx2－fx1；
第三步，求平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1
2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用fx0＋Δx－fx0Δx的形式.
[跟踪训练]
1．如图112，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(
)
图112
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B [平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.]
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx的值为( )
【导学号：31062002】
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
D [ΔyΔx＝＋Δx2－2×12Δx＝4＋2Δx.故选D.]
求瞬时速度
[探究问题]
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？
提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ ....
精品 提示：当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt]内的平均速度ΔsΔt――→令Δt→0
计算limΔt→0 ΔsΔt―→得t＝1 s时的瞬时速度
[解] ∵ΔsΔt＝s＋Δt－sΔt
＝＋Δt2＋＋Δt＋1－2＋1＋Δt＝3＋Δt，
∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵ΔsΔt＝s＋Δt－sΔt
＝＋Δt2＋＋Δt＋1－1Δt＝1＋Δt，
∴limΔt→0 (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt
＝(2t0＋1)＋Δt.
limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (2t0＋1＋Δt)
＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
[规律方法] 求运动物体瞬时速度的三个步骤 ....
精品 求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝st0＋Δt－st0
求平均速度v＝ΔsΔt
求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，\f(Δs,Δt)无限趋近于常数v，即为瞬时速度.
求函数在某一点处的导数
(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0 fx0－3Δx－fx0Δx＝1，则f′(x0)等于( )
A．1 B．－1
C．－13 D．13
(2)求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．
[思路探究] (1)类比f′(x0)＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx求解．
(2)先求Δy―→再求ΔyΔx―→计算limΔx→0 ΔyΔx
(1)C [∵limΔx→0 fx0－3Δx－fx0Δx
＝limΔx→0 fx0－3Δx－fx0－3Δx－＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－13，故选C.]
(2)∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－11
＝Δx＋1－11＋Δx＝Δx＋Δx1＋Δx，
∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，
∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 1＋11＋Δx＝2.
[规律方法] 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
....
精品 简称：一差、二比、三极限．
[跟踪训练]
3．已知f′(1)＝－2，则limΔx→0 f－2Δx－fΔx＝________.
【导学号：31062003】
[解析] ∵f′(1)＝－2，
∴limΔx→0 f－2Δx－fΔx＝limΔx→0 f－2Δx－f－12－2Δx
＝－2limΔx→0 f－2Δx－f－2Δx＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4.
[答案] 4
4．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
[解] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (6＋3Δx)＝6.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是
( )
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
B [v＝s－s2.1－2＝4.2－40.1＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝limΔt→0＝s1＋Δt－s1Δt＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
【导学号：31062004】
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]
3．函数f(x)＝x在x＝1处的导数为________．
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，
