二次函数的图像和性质教师版

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教育个性化辅导教案

辅导科目： 数学 授课教师： 年 级：九年级 学生姓名：

本次课时： 3 已上课时： 剩余课时：

课题 二次函数图像和性质

类型 基础（√ ） 巩固（ ） 提高（ ）

授课时间： 月 日 至 备课时间： 月 日

教学目标 1．二次函数2)(hxay的图像的画法；

2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3．掌握抛物线的平移规律．

重点、难点、考点 1、二次函数的图像

教学内容

知识点1、y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图像和性质

例1、使用五点法画出二次函数y=x2-2的图象．

试一试

1、使用五点法画出二次函数y=x2+2的图象．

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jxOy

20yaxcc

cjy

xOc 20yaxcc 1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象

（1）0a

（2）0a

总结：

①抛物线y＝ax2±k的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；

②抛物线y＝ax2――→向上平移k个单位y＝ax2＋k；

抛物线y＝ax2――→向下平移k个单位y＝ax2－k.

2、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质

关于二次函数2(0)yaxca的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：

函数 2(0,0)yaxcac 2(0,0)yaxcac

图象

开口方向 向上 向下 jy

xOc

20yaxcc jy

xOc

20yaxcc 3 顶点坐标 (0，c) (0，c)

对称轴 y轴 y轴

函数变化 当0x时，y随x的增大而增大；

当0x时，y随x的增大而减小. 当0x时，y随x的增大而减小；

当0x时，y随x的增大而增大.

最大（小）值 当0x时，yc最小值 当0x时，yc最大值

3.二次函数20yaxa与20yaxca之间的关系；（上加下减）.

20yaxa的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到20yaxca的图象.

例1、二次函数y＝－2x2＋6的图象的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，y随x的增大而增大．

.y轴 (0，6) <0

试一试

1．将抛物线y＝－3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是____________．

抛物线的移动主要看顶点位置的移动．

1．y＝－3(x－2)2＋5

知识点2、二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图像和性质

函数2()(0)yaxha与函数2()(0)yaxhka的图象与性质

1.在同一直角坐标系中画二次函数221xy、2121）（xy、2121）（xy与的图象.

解：(1)先列表：

x … －2 －1 0 1 2 …

221xy … 2 0.5 0 0.5 2 …

2121）（xy … 0.5 0 0.5 2 4.5 …

2121）（xy 4.5 2 0.5 0 0.5

(2)然后描点画图

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1.函数2()(0)yaxha的图象与性质

例2、在同一直角坐标系中画函数222）（xy，22xy，222）（xy的图像

⑴说出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；

⑵抛物线22xy怎么平移得到抛物线222）（xy，222）（xy？

得到：抛物线2)hxay（，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h;顶点坐标（h, 0）.

课堂训练

1抛物线223）（xy的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是抛物线23xy向

平移 个 单位得到的。当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大。当x= 时，函数有最 值，是y= .

2. 函数122xxy的图像和x轴的交点坐标是 与y轴的交点坐标是 ，开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。关于x轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于y轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于原点对称的抛物线的解析式是 。

3．二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为________，对称轴为直线________．

4．抛物线y＝ax2向________平移________个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向________平移________个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．

注意y＝a(x－h)2中h常表示非负数．

5．抛物线y＝－12(x－1)2的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是直线________，通过向________a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0h， x=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．

0a 向下 0h， x=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． 5

平移________个单位后，得到抛物线y＝－12x2.

2.函数2()(0)yaxhka的图象与性质

要点

二、二次函数的平移

1.平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；

⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

2.平移规律：

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

例1．将抛物线22(1)3yx作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．

(1) 向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；

(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 hk， x=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．

0a 向下 hk， x=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 6

例2、将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）

A．y=（x+1）2+4 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2+4 D．y=（x﹣1）2+2

【解答】解：y=x2﹣2x+3，

=（x2﹣2x+1）+2，

=（x﹣1）2+2．

故选：D．

试一试

1.把二次函数y=2x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式为 y=2（x﹣3）2﹣18 ．

2.将二次函数y=3x2﹣6x+1化成顶点式是（ ）

A．y=3（x﹣3）2﹣26 B．y=3（x﹣3）2﹣8 C．y=3（x﹣1）2﹣2 D．y=3（x﹣1）2

3、抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（ ）

A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）

【解答】解：∵抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣3）2+5，

∴抛物线的顶点坐标为（3，5）．

故选：C．

4、若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y= （x﹣1）2+2 ．

针对练习

1、将抛物线23yx向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ．

2．若直线y＝3x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第________象限．

此题为一次函数与二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．

3．把y＝x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是__________．

2.二 3.y＝(x－1)2－3 4.y1>y3>y2

例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.

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【变式】二次函数21(3)42yx的图象可以看作是二次函数212yx的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．

例3、对于二次函数y=x2+2x﹣1的图象与性质，下列说法中正确的是（ ）

A．顶点坐标为（1，2）

B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大

C．对称轴是直线x=﹣1

D．最小值是﹣1

试一试

1、关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ）

A．开口向上 B．与x轴只有一个交点

C．对称轴是直线x=1 D．当x＞0时，y随x的增大而增大

【解答】解：∵抛物线y=（x﹣1）2，

∴a=1＞0，开口向上，顶点坐标为（1，0），

∴对称轴为x=1，与x轴只有一个交点，

故选：D．

例4．已知21()yaxh与2ykxb的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．

(1)确定此二次函数和直线的解析式； (2)当12yy时，写出自变量x的取值范围．