离散数学习题四参考答案
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第四节 代数系统
1 A={所有实数},
ο： （a，b）a＋2b＝aοb
这个代数运算是否满足结合律？
解：(aοb)oc=(a＋2b)oc=a+2b+2c≠ao(bοc)=ao(b+2c)=a+2b+4c，
所以不满足结合律.
2 A={1,2,3,„,100},找一个A×A到A的映射。
解：o:aob=max{a,b},是一个从A×A到A的映射。
3 A={a,b,c,d},由表
a b c d
a a b c d
b b d a c
c c a b d
d d c d b
所给的代数运算是否满足交换律?是否有单位元？是否有零元？
解：满足交换律，a是单位元，没有零元？
4 全体整数的集合对于普通减法来说是否构成一个群。
解：全体整数的集合对于普通减法来说不构成一个群，因为不满足结合律，即
a-(b-c)≠(a-b)-c
5 举一个有两个元的群的例子。
解：A={0，1}，运算“*”的运算表为 * 0 1
0 0 1
1 1 0
其中0是单位元，1的逆元为自身。实际上运算“*”是模为2的同余加法运算。
6 设G是整数集，对G规定一个运算“о”
aоb＝a＋b－2
证明，（G，о）是一个群。
证明：显然运算“o”是封闭的。
（1）满足结合律：ao(boc)=ao(b+c-2)=a+b+c-4=（aob）oc=(a+b-2)oc
（2）存在单位元“2”：2oa=2+a-2=a,ao2=a+2-2=a;
(3) 存在逆元：ao(2-a)=(2-a)oa=a+2-a=2,即a的逆元是2-a.
所以（G，о）是一个群。
7证明:一个有限群的每个元的阶都是有限的.
证明：设有限群（G，o）中|G|=n，则任取一元素a∈G，显然naaaa,,,321中至少有两个表示同一个元素，（否则就不是有限群）设jiaaji,，又
Iaaaaaijijii)()(11（其中I是群的单位元），因此
aaoaaijij1)(，显然j-i+1为有限，所以a的阶是有限的。
8 证明:群G的两个子群的交集也是G的子群.
证明：设21,GG是G的两个子群，AGG21， （1）任取a，b∈A，有21,;,GbaGba，所以21;GaobGaob即21GGaob
所以运算“o”在A上是封闭的；
（2）同理任取a，b，c∈A，有21,,;,,GcbaGcba，所以a，b，c在21;GG上满足结合律，即，b，c在21GG上也满足结合律；
（3）显然G上的单位元就是21;GG的单位元，也是A的单位元；
（4）显然A中任意元素的逆元同G和21;GG的逆元；
所以群G的两个子群的交集也是G的子群
9 设G={km|k∈Z},m是一取定的自然数,证明(G,+)是一个群.
证明：（1）G关于运算“+”是封闭的：xm+ym=（x+y）m∈G；
（2）满足结合律：xm+(ym+zm)=（x+y+z）m=（xm+ym）+zm
（3）存在单位元“0”：km+0=0+km=km;
(4) 存在逆元：km+（-km）=0 ，即km的逆元是-km。
所以（G，+）是一个群。
10在环A中,若a,b∈A,计算(a＋b) n＝?
解: (a＋b) n展开式对于“+”有n+1项，在二项展开式的第k+1项是knkknKbaCT1，但由于运算“.”没有交换律,所以1KT中的KnC项都是不同的，都是有k个a和n-k个b所组成的，有排列公式 n个位子k个a，n-k个b的所有排列之和就是第k+1项的展开式，所有k+1项的和就是(a＋b) n的展开式。
11 R={0,a,b,c},加法和乘法由以下两个表给出:
+ 0 a b c × 0 a b c
0 0 a b c 0 0 0 0 0
a a b c 0 a 0 a b c
b b c 0 a b 0 b 0 b
c c 0 a b c 0 c b a
证明,(R,+,×)是一个环。
证明：从加法运算表可得，（R，+）是加群；（同构与模4的剩余类加群）
列举可得（R,×）满足结合律,且”×”对于”+”满足分配律;所以(R,+,×)是一个环。
11证明由所有实数a+b2,(a,b是整数)作成集合对于普通加法和乘法构成一个整环。
证明：由于运算是普通加法和乘法，一定满足结合律、交换律和分配律，对于加法有单位元（0）和逆元（-a-b2），接下只要证明对普通加法和乘法封闭就可以了。
设A={ a+b2|a，b∈Z}
1．（a+b2）+（c+d2）= （a+c）+（b+d）2∈A
2．（a+b2）×（c+d2）= （ac+2bd）+（ad+bc）2∈A 12在Z 5中,找出一个非零元的逆元。
解；（Z 5，×）中，[0]是零元，[1]的单位元，所以[2]的逆元是[3]，因为2与3的乘积除以5的余数是1，同样[4]逆元是它本身。
13在Z 15中,找出方程x2-1=0的全部根。
解：x2-1=0的全部根是±1，在Z 15中就是[1]和[14]。（可从整数的同余来分析）
14 F＝{C|C＝a＋bi,a,b∈Q,i是复数单位},证明F对于普通加法和乘法构成一个域。
证明：证明步骤与第11题相仿。
由于运算是普通加法和乘法，除了封闭性外，其他域的条件都满足，只要证明对普通加法和乘法封闭就可以了。
1．（a＋bi）+（c＋di）=（a+c）+（b+d）i∈C；
2，（a＋bi）×（c＋di）=（ac-bd）+（ad+bc）i∈C；
3．（a＋bi）的逆元是ibabbaa2222∈C。
15 设F是数域,F[x]是F上的未知数x的多项式环,对F[x]规定运算“o”：
f（x）o g（x）=f（g（x））
问（F[x]，+，o）是否是一个环，环中哪些算律不成立？
解：运算“o”就是函数的“复合”运算，我们知道复合运算满足结合律，但“复合”对于普通加法不满足分配律，所以（F[x]，+，o）不是一个环。如：
设242)(;1)(;1)(xxxhxxgxxf，则
44411)1())()(()(xxxfxhxgfhgfo，而
1)1()11()()1())(())((4242242xxxxxxfxfxhfxgffohfog所以运算“o”对运算“+”不满足分配律。
