工程数学试卷及答案汇总(完整版)

《工程数学》试题 第 1 页 共6 页

得分 评卷人

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中. B. 至少有一发击中.

C. 必然击中 D. 击中3发

2．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X和Y独立。 B. X和Y不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)

3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。

A． 其它1||0|)|1(2)(xxxf。 B. 其它2||05.0)(xxf

C.

00021)(222)(xxexfx D. 其它00)(xexfx，

4．设随机变量X～)4,(2N, Y～)5,(2N, }4{1XPP,

}5{2YPP, 则有（ ）

A. 对于任意的, P1=P2 B. 对于任意的, P1 < P2

C. 只对个别的，才有P1=P2 D. 对于任意的, P1 > P2

5．设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）

A．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c.

C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 《工程数学》试题 第 2 页 共6 页 得分 评卷人

6． 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A–2E|= 。

7．设A=

10000002~011101110x，则x=

。

8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为

。

9．设随机变量X的概率密度函数为其它Axxxf002)(，则概率)21(XP 。

10．设二维连续型随机变量),(YX的联合概率密度函数为其它当0,00),()43(yxkeyxfyx，则系数k 。

得分 评卷人

11．求函数tetf)(的傅氏变换 (这里0)，并由此证明： 二、填空题（每空3分，共15分）

三、计算题（每小题10分，共50分） 《工程数学》试题 第 3 页 共6 页 tedt2cos022

12．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求

（1）收报台收到信号“1”的概率；

（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。

13．设二维随机变量),(YX的联合概率函数是

其它0,00),()42(yxceyxfyx

求：（1）常数c；（2）概率P(X≥Y )；（3）X与Y相互独立吗？请说《工程数学》试题 第 4 页 共6 页 出理由。

14．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。

15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求

(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX

《工程数学》试题 第 5 页 共6 页

得分 评卷人

16.设a=(a1,a2,…,an)T，a1≠0,其长度为║a║，又A=aaT,

(1)证明A2=║a║2A；

(2) 证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；

(3) A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.

四、证明题（共10分） 《工程数学》试题 第 6 页 共6 页

得分 评卷人

17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。

五、应用题（共10分） 《工程数学》试题 第 7 页 共6 页 参考答案及评分标准

一、 选择题（每小题3分，共15分）

1．B 2．C 3．D 4．A 5．A

二、 填空题（每小题3分，共15分）

6. 9 7. 1 8. 1–(1–P)3 9. 3/4 10. 12

三、计算题（每题10分，共50分）

11.解答：函数f(t)的付氏变换为：

F(w)=dtedtedteeetjtjtjtt0)(0)(||||][ （3分）

=22211jj (2分)

由付氏积分公式有

f(t)=[1F(w)]=deFtj)(21 (2分)

=dtjt)sin(cos22122

==dtdt02222cos2cos221 （2分）

所以 tedt2cos022 （1分）

12.解答:

设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分）

(1)由全概率公式 （1分）

有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分）

=0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分）

(2)由贝叶斯公式 （1分）

有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分）

=0.8x0.6/0.52=12/13 （1分）

13.解答: 《工程数学》试题 第 8 页 共6 页 (1) 由联合概率密度的性质有

1),(dyyxfdx

即 0)42(01dycedxyx （2分）

从而 c=8 （2分）

(2)yxdxdyyxfYXP),()(xyxdyedx0)42(0328 （2分）

(3) 当x>0时， 02)42(28),()(xyxXedyedyyxfxf （2分）

当x<=0时, 0)(xfX

同理有 其它004)(4yeyfyY （1分）

因 yxyfxfyxfYX,)()(),(

故X与Y相互独立 （1分）

14.解答：

设 否则个盒子有球第iXi01 i =1,2,…,N (2分)

则 NiiXX1 (1分)

因 nniNNXP)1()0( (2分)

nniiNNXPXP)1(1)0(1)1( (2分)

因而 nniiiNNXPXPEX)1(1)1(1)0(0 (2分) 《工程数学》试题 第 9 页 共6 页 所以 ))11(1(1nNiiNNEXEX (2分)

15.解答：

（1）随机变量X的取值为1，2，3。 （1分）

依题意有：62)3(;63}2{;61}1{XPXPXP （3分）

X的分布函数}{)(xXPxF （1分）

由条件知：当1x时，;0(）xF （1分）

当21x时，;61)1((XPxF） （1分）

当32x时，;32)2()1((XPXPxF） （1分）

当3x时，;1(）xF （1分）

（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）

四、证明题（共10分）

(1) A2=aaT·aaT=aTa ·aaT =║a║2A （2分）

(2)因 Aa= aaT ·a=aTa·a= ║a║2a （2分）

故a是A的一个特征向量。

又A对称，故A必相似于对角阵 （1分）

设A∽ diag(λ1,λ2,…,λn)=B, 其中λ1,λ2,…,λn是A的特征值 (1分)

因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分)

从而λ1,λ2,…,λn中必有n-1个为0, 即0是A的n-1重特征值 （1分）

(3) A对称，故A必相似于对角阵Λ，

Λ=diag(║a║2, 0,…,0) (2分)