七年级培优试题及答案

七年级培优试题及答案

1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；

（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题；

（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE；

（3）如图3，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF的面积分别为S△ABC、S△CEF、S△ADF，且S△ABC=36，则S△CEF﹣S△ADF= 3 ．（仅填结果）

【考点】命题与定理；三角形的面积；直角三角形的性质．

【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，然后求出∠A+∠ACD=90°，从而得到∠ADC=90°，再根据垂直的定义证明即可；

（2）根据角平分线的定义可得∠CAE=∠BAE，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，

∴S△ACD=S△ABC=×36=9，S△ACE=S△ABC=×36=12，

∴S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD

=12﹣9

=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了命题与定理，三角形的面积，直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，（3）利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ACD和S△ACE是解题的关键．

2. Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2= 140° ；

（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为

∠1+∠2=90°+∠α ；

（3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请直接写出∠α、∠1、∠2

之间的关系：

∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90° ；

（4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．

【专题】探究型．

【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；

（2）利用（1）中所求得出答案即可；

（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可；

（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出．

【解答】解：（1）如图，连接PC，

∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，

∴∠1+∠2=50°+90°=140°，

故答案为：140°；

（2）连接PC，

∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠C=90°，∠DPE=∠α，

∴∠1+∠2=90°+∠α；

故答案为：∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如图1，

∵∠2=∠C+∠1+∠α，

∴∠2﹣∠1=90°+∠α；

如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；

如图3，∵∠2=∠1﹣∠α+∠C，

∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

故答案为；∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

（4）

∵∠PFD=∠EFC，

∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，

∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，

∴∠2=90°+∠1﹣α．

故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．

【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．

3.阅读下面的材料:

如图①，在ABC中，试说明180ABC.

分析:通过画平行线，将A、B、C作等量代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种方法.

第24题

解:如图②，延长BC到点D,过点C作CE //BA.

因为BA//CE(作图所知)，

所以2B,1A(两直线平行，同位角、内错角相等).

又因为21180BCDBCA(平角的定义)，

所以180ABACB(等量代换).

如图③，过BC上任一点F，作FH//AC, FG//AB，这种添加辅助线的方法能说明180ABC吗?并说明理由.

. 能 理由：因为FH∥AC，所以1,2CCGF，因为FG∥AB，所以3,BCGFA，所以2A，因为180BFC，

所以180ABC.

4.如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E.设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.

.①若1CFGECD，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：

∵1CFGECD，∴11CFGFCP.

又∵1190CFGCGF，∴11190FCPPCG.

∴111CGFPCG. ∴111CPGP.

又∵11CFGFCP，∴11CPFP. ∴1111CPFPGP.

∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.

②若2CFGEDC，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：

∵2CFGEDC，

又∵DE⊥AC，∴90DEC. ∴90ECDEDC.

∴290ECDCFGECDEDC. ∴CP2⊥FG2.

∴线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.

③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.

EADBC

5.如图，D是ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且ABC的面积为20 cm2，求BEF的面积.

. 因为E是AD的中点，所以BE是ABD的中线，CE是ACD的中线，所以BF是BCE的中线，所以12BEFBECSS=5（cm2）

6.在ABC中，CB.如图①，ADBC于点D,AE平分BAC，则易知1()2EADCB.

(1)如图②，AE平分BAC, F为AE上的一点，且FDBC于点D，这时EFD与B、C有何数量关系?请说明理由;

(2)如图③，AE平分BAC,F为AE延长线上的一点，FDBC于点D，请你写出这时AFD与B、C之间的数量关系(只写结论，不必说明理由).

.

(1)如图辅助线：作AGBC，1()2EFDCB.

(2)1()2AFDCB

7． BC∥OA，∠B=∠A=100︒，试回答下列问题：

(1)如图，求证：OB∥AC；

(2)如图，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF

①∠EOC的度数；

②求∠OCB：∠0FB的值；

③如图，若∠OEB=∠OCA，此时∠OCA=

(在横线上填上答案即可)．

(1)证明：∵BC∥OA

∴∠B+∠0=180°．∵∠A=∠B．∴∠A+∠O=180°．∴OB∥AC．

(2)①∠A=∠B=：100°，由(1)得∠BOA=180°-∠B=80°．

∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF，BC∥OA，

∴∠FOC=12∠FOA，∠EOF=12∠BOF．

∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=12

(∠BOF+∠FOA)= 12∠BOA=40°．

②∵BC∥OA，∴∠FCO=∠COA．

又∵∠FOC=,∠AOC，．∴∠FOC=∠FCO．

∵∠FOC+∠FCO=180°-∠OFC，且

∠BFO=180°-∠0FC，

∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB．

∴∠0CB：∠0FB=1：2．

③由(1)知OB∥AC，∴∠OCA=∠BOC．

由(2)可以设∠B0E=∠E0F=a，∠FOC=∠COA=，∴∠OCA=∠BOC=2a+

∵∠ECO+∠EOC=180°-∠OEC，且∠OEB=180°-∠OEC，

即∠OEB=∠EOC+∠ECO=a++=a+2

∵∠OEB=∠OCA．∴2a+=a+2·即a=

∵∠AOB=80°，∴a==20°．

∴∠OCA=2a+=40°+20°=60°

9.阅读下列材料：

一般地，n个相同的因数a相乘，

记为na．如2×2×2=32=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log8a (即log8a=3)．一般地，若na=6(a>0且a≠1，6>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab (即logab=n)．如34=81，则4叫8.如图7所示，直线a∥b，则∠A＝_______.

.如图8所示，