数学物理方程复习资料
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数学物理方程复习 一．三类方程及定解问题
（一） 方程
1. 波动方程（双曲型）
Utt = a2Uxx +f; 00
U(0,t)= Φ1（t）;
U(l,t)= Φ2（t）;
U(x,0)= Ψ1（x）;
Ut(x,0)=Ψ2（x）。
2. 热传导方程（抛物型）
Ut = a2Uxx +f; 00
U(0,t)= Φ1（t）;
U(l,t)= Φ2（t）;
U(x,0)= Ψ1（x）.
3. 稳态方程（椭圆型）
Uxx +Uyy =f; 00.
U(0,x)= Φ1（x）;
U(b,x)= Φ2（x）;
U(y,0)= Ψ1（y）;
Ut(y,a)=Ψ2（y）。
（二） 解题的步骤
1. 建立数学模型，写出方程及定解条件
2. 解方程
3. 解的实定性问题（检验）
（三） 写方程的定解条件
1. 微元法：物理定理
2. 定解条件：初始条件及边界条件
（四） 解方程的方法
1. 分离变量法（有界区域内）
2. 行波法（针对波动方程，无界区域内）
3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）
Fourier变换:针对整个空间 奇：正弦变换 偶：余弦变换
Laplace变换：针对半空间
4. Green函数及基本解法
5. Bessel函数及Legendre函数法
例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b Ut（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+n△x））(0
在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),
COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)
即(T/ρ)[ Ux(x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) Ut(x+n△x，t)
即令△x0时有：Utt+ aUt=a2Uxx
例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。
解：设U（x,y,z,t）为粒子的浓度（单位体积内的粒子数），在空间内画出一个立方体，体积△V=△X△Y△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。
由扩散定律知：
流入X方向的流粒子数为：[qx(x,t)- qx(x+△x,t)] △t△y△z,
流入Y方向的流粒子数为: [qY(y,t)- qY(y+△y,t)] △t△x△z,
流入Z方向的流粒子数为: [qz(z,t)- qz(z+△z,t)] △t△x△y.
而源强产生的粒子数为：F（x,y,z,t）△t△x△y△z.
由质量守恒定律为：
[qx(x,t)- qx(x+△x,t)] △t△y△z+[qY(y,t)- qY(y+△y,t)] △t△x△z+[qz(z,t)- qz(z+△z,t)] △t△x△y+ F(x,y,z,t）△t△x△y△z=
[U（x,y,z,t+△t）- U（x,y,z,t）] △t△x△y△z.
令△t△x△y△z0时有：（＠是求偏导）
-＠qx/＠x-＠qy/＠y-＠qz/＠z+ F（x,y,z,t）= Ut
由自由扩展定律得： ＠(D＠u/＠x）/＠x+＠（D＠u/＠y）/＠y+＠（D＠u/＠z）/＠z+F= Ut
若扩散粒子是均匀的：
Ut= a2△U.
二．线性偏微分方程
（一）二阶线性偏微分方程
LU=a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy+b1Ux+b2Uy+c+f
1.主要部分：a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy
2.判别式△= a212- a11a22
△>0 双曲线方程
△=0 抛物型方程
△<0 椭圆方程
3.特征方程
a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0
特征根：dy/dx=（a12±△1/2）/ a11
特征曲线：y=[（a12+△1/2）/ a11]x+C1
y=[（a12-△1/2）/ a11]x+C2
新旧变量关系：ζ=y+λ1x，η= y+λ2x
令Q=省略
例一：把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成标准形式，并判断类型。
例二：x2Uxx+2xyUxy+y2Uyy=0 例三：化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。a≠0
（二）线性偏微分方程的基本性质
1.线性迭加原理
设L为线性偏微分算子，即LU=f
若u1 u2 u3 ……un 是LU=fi 的解，则u=∑CiUi是LU=∑Cifi的解。
若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u= u1+u2是LU=f的一般解。
2.齐次化原理（冲量原理）
原理1：设W是方程Wtt= a2 Wxx W|t=τ=0 W t|t=τ=f（x,t;τ）的解，则u=∫0tW（x,t;τ）dτ是方程Utt= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 U t |t=0
=0的解。
原理2：W是方程Wt= a2 Wxx W|t=τ=0 W t|t=τ=f（x,t;τ）的解，则u=∫0tW（x,t;τ）dτ是Ut= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 的解。
3.特征值函数δ
δ（x-x0）={0 x≠0∞ x=x0
∫δ（x-x0）dx=1
性质：Φ（x）是连续函数，则∫δ（x-x0）Φ（x）=Φ（x0）
三．分离变量法
（一） 齐次的泛定方程和齐次的边界条件
Utt = a2Uxx ; 00
U(0,t)=U(l,t)=0;
U(x,0)= Φ（x）;
Ut(x,0)=Ψ（x）。
第二类齐次边界条件：Ux(0,t)=Ux(l,t)=0;
第一类与第二类的齐次边界条件：U(0,t)=Ux(l,t)=0或Ux(0,t)=U(l,t)=0。
（二） 非齐次的泛函方程的齐次边界条件
Utt = a2Uxx +f(x,t); 00
U(0,t)=U(l,t)=0;
U(x,0)= Φ（x）;
Ut(x,0)=Ψ（x）。
令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W满足
Wtt = a2Wxx ; 00
W(0,t)=W(l,t)=0;
W(x,0)= Φ（x）;
Wt (x,0)=Ψ（x）.则V满足
Vtt = a2Vxx +f(x,t); 00
V(0,t)=V(l,t)=0;V(x,0)= 0;Vt (x,0)=0.
解W用分离变量法，解V用冲量原理。 （三） 齐次的泛定方程，非齐次边界条件
Utt = a2Uxx ; 00
U(0,t)=U1 (t);
U(l,t)= U2 (t);
U(x,0)= Φ（x）;
Ut (x,0)=Ψ（x）.
设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得：V(0,t)= V(l,t)=0,则
W(0,t)= U1 (t),W(l,t)= U2 (t),设W(x,t)=Ax+B,则
W(0,t)=B= U1 (t), W(l,t)=Al+B= U2 (t),则（省略）
（四） 非齐次的泛定方程，非齐次边界条件
Utt = a2Uxx +f(x,t); 00
U(0,t)=U1 (t);
U(l,t)= U2 (t);
U(x,0)= Φ（x）;
Ut (x,0)=Ψ（x）.
第一步：把非齐次边界条件化成齐次的边界条件
第二步：同(三)
例一：Utt = a2Uxx ； U(0,t)=0=U(l,t);
U(x,0)=3sinx; Ut (x,0)=0. 00
例二：在矩形区域内00.
U(0,x)= Bsin(πx/a); U(b,x)= 0;
U(y,0)=Ay(b-y); Ut(y,a)=0。
解：设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+ Vyy=0,
V(0,y)= V(a,y)=0, V(x,0)= Bsin(πx/a),V(x,b)=0;
同时Wxx+ Wyy=0, W(0,y)= Ay(b-y), W(a,y)=0, W(0,x)= W(b,x)=0.
答案省略~
例三：求解方程
Utt = a2Uxx +bshx; U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= U t(0,x)=0。
例四：长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做摆动，已知弦的初始位移和速度分别为Φ(x),Ψ(x)求其振动规律。
解：设位移分布函数为U(x,t)且满足：
Utt = a2Uxx +g(x)sinwt; 00
U(0,t)= U(l,t)=0;
U(0,x)= Φ(x);
U t(0,x)= Ψ(x).
解方程，设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且
Vtt = a2Vxx ;V(0,t)= V(l,t)=0;
V(0,x)= Φ(x);V t(0,x)= Ψ(x).
W满足：Wtt = a2Wxx +g(x)sinwt; 00
