-2001年全国初中数学竞赛试题及答案

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2001年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（本题共6小题，每小题7分，满分42分。每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1、a，b，c为有理数，且等式62532cba成立，则cba10019992的值是（）

A、1999 B、2000 C、2001 D、不能确定

2、若1ab，且有09201152aa及05200192bb，则ba的值是（）

A、59 B、95 C、52001 D、92001

3、已知在ABC中，90ACB，15ABC，1BC，则AC的长为（）

A、32 B、32 C、30 D、23

4、如图，在ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，ABD∽ACB不一定成立的情况是（）

A、BDABBCAD B、ACADAB2

C、ACBABD D、BDACBCAB

5、①在实数范围内，一元二次方程02cbxax的根为aacbbx242；②在ABC中，若222ABBCAC，则ABC是锐角三角形；③在ABC和111CBA中，a，b，c分别为ABC的三边，111cba，，分别为111CBA的三边，若111ccbbaa，，，则ABC的面积S大于111CBA的面积1S。以上三个命题中，假命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）

A、522.8元 B、510.4元 C、560.4元 D、472.8

二、填空题（每小题7分，共28分）

1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，15QPO，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为。

2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为。

3、已知yx，是正整数，并且1202322xyxyxxyy，，则22yx .

4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 . 三、解答题（共70分）

1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线baxy上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求ba，的值使得222CFBEAD达到最大值。（20分）

2、（1）证明：若x取任意整数时，二次函数cbxaxy2总取整数值，那么cbaa，，2都是整数；

（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分）

3、如图，D，E是ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，CAFDAE.

（1）判断ABD的外接圆与AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；

（2）若ABD的外接圆的半径的2倍，6BC，4AB，求BE的长。

B C D E F 四、解答题：

1、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知kEG，FH，四边形EFGH的面积为S。

（1）求证：klS2sin；

（2）试用Sk，，来表示正方形的面积。

B C D

F G H

O 2、求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程0232baxx，0232cbxx，0232acxx的所有的根都是正整数。

3、在锐角ABC中，BCAD，D为垂足，ACDE，E为垂足，ABDF，F为垂足。O为ABC的外心。

求证：（1）AEF∽ABC；（2）EFAO

4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。

求证：PSPRPNPM

l B D

M N P O

R S

历年全国初中数学联赛试题总汇

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精品资料分享 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

１．设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是

（A）3 ；（B）31；（C）2；（D）35．

答（）

２．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

（A） 10；（B）12；

（C） 16；（D）18．

答（）

３．方程012xx的解是

（A）251；（B）251；

（C）251或251；（D）251．

答（）

４．已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是

（Ａ）11991；（Ｂ）11991；

（Ｃ）1991)1(n；（Ｄ）11991)1(n．

答（）

５．若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；

（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；

（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． {{{{{{{{

精品资料分享答（）

６．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么

dcba的最大值是

（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（）

７．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是

历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛

（第1-23届）

初一年级/七年级

第一/二试题

1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题 ......................003-005

2.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题 ......................010-012

3.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题 ...... 0错误!未定义书签。-020

4.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题 ...... 0错误!未定义书签。-026

5.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题 ...... 0错误!未定义书签。-032

6.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题 ...... 0错误!未定义书签。-040

7.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题 ...... 0错误!未定义书签。-050

8.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题 ...... 0错误!未定义书签。-058

9.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题 ...... 0错误!未定义书签。-066

10.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ..... 0错误!未定义书签。-073

11.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ..... 0错误!未定义书签。-080

12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题 ..... 0错误!未定义书签。-087

13.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题 ..... 0错误!未定义书签。-098

14.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题 ....... 错误!未定义书签。-105

15.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题 ....... 错误!未定义书签。-113

16.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题 ....... 错误!未定义书签。-120

2001第十八届全国初中数学联赛

一、选择题（每小题7分，共42分）

1．a，b，c为有理数，且等式23526abc成立，则29991001abc的值是（）

A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定

2．若1ab，且有25200190aa及29200150bb，则ab的值是（）

A．95 B．59 C．20015 D．20019

3．已知在ABC△中，90ACB，15ABC，1BC，则AC的长为（）

A．23 B．23 C．0.3 D．32

4．如图，在ABC△中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，ABDACB△∽△不一定成产的情况是（）

A．ADBCABBD B．2ABADAC

C．ABDACB D．ABBCACBD

5．①在实数范围内，一元二次方程20axbxc的根为242bbacxa；②在ABC△中，若222ACBCAB，则ABC△是锐角三角形；③在ABC△和111ABC△中，a，b，c分别为ABC△的三边，1a，1b，1c分别为111ABC△的三边，若1aa，1bb，1cc，则ABC△的面积S大于111ABC△的面积1S．以上三个命题中，假命题个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）

A．522.8元 B．510.4元 C．560.4元 D．472.8元

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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

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