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证明：①根据 S n a n
a 1 , ( n 1) 得 an=a+(n─1) 2b, S n S n 1 , ( n 2 )
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例 6 数列{an}的前 n 项和 Sn=na+(n─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且 b≠0, ①求证{an}是等差数列； ②求证以(an,Sn/n─1)为坐标的点 Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程； ③设 a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1,P2,P3 都落 在圆外的 r 的取值范围
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解：①依题意，由{an}是等差数列，有 ar+ar+2=2ar+1 (r∈N),即 x=─1 时，方程 成立，因此方程恒有实数根 x=─1; ②设公差为 d(化归思想),先解出方程的另一根 mr=─ar+2/ar, ∴ 1/(mr+1)=ar/(ar─ar+2)=─ar/(2d), ∴ 1/(mr+1+1)─1/(mr+1)= 〔─ar+1/(2d)〕─〔─ar/(2d)〕=─1/2, ∴ {1/(mr+1)}是等差数列
∴{an}是等差数列，首项为 a,公比为 2b
②由 x=an=a+(n─1)2b, y=Sn/n─1=a+(n─1)b 两式中消去 n,得：x─2y+a─2=0, （另外算斜率也是一种办法）
(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是： (r─1)2+r2>r2; (r─2)2+(r─1/2)2>r2; (r─3)2+(r─1)2>r2 ∴ r 的取值范围是(1,5/2─ 2 )∪(0,1)∪(4+ 6 ,+∞)
lim S n =1/3
n
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例 5 等差数列{an}中，已知公差 d≠0,an≠0,设方程 arx2+2ar+1x+ar+2=0 (r∈ N)是关于 x 的一组方程 ①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根； ②设方程 arx2+2ar+1x+ar+2=0 的另一根记为 mr,证明： 数列{1/(mr+1)}是等差数 列
=q≠0
∴ {bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列，从而 bn=(1+r)qn─1, 当 q=1 时，Sn=n(1+r), lim
1 Sn
n
=0;
当 0<q<1 时， lim
1 Sn
n
=(1─q)/(1+r);
当 q>1 时， lim
1 Sn
n
=0;
19 . 2 n 20 . 2 n
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─1,q=0 5,求数列{
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log log
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解：①rqn─1+rqn>rqn+1, q>0 0<q<(1+ 5 )/2;
②
a n 1 a n 2 a n a n 1
a n2 an
q
b n 1 bn
a 2 n 1 a 2 n 2 a 2 n 1 a 2 n
a 2 n 1 q a 2 n q a 2 n 1 a 2 n
数列的综合应用
例 1 等差数列{an}的首项 a1>0,前 n 项和为 Sn,若 Sm=Sk(m≠k),问 n 为何值时， Sn 最大？
解： 根据 a n 成等差数列
a n An B S n An
2
Bn ， 首项 a1>0,
若 m+k 为偶数,则当 n=(m+k)/2 时，Sn 最大； 若 m+k 为奇数，当 n=(m+k─1)/2 或 n=(m+k+1)/2 时，Sn 最大
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例 2 已知关于 n 的不等式 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)> 于一切大于 1 的自然数 n 都成立，求 a 的取值范围
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例 4 已知抛物线 y=x2,点 An 的坐标为(1,0),将 OAn 分为 n 等分，分点为 A1,A2,…An─1, 过 A1,A2,…An─1,An 分别作 y 轴的平行线，分别交抛物线于 B1,B2,B3, …Bn─1,Bn,再分别以 OA1, A1A2,A2A3, …An─1An 为宽作 n 个小矩形
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例 7 已知数列{an}满足条件 a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q (q>0)的等 比数列，设 bn=a2n─1+a2n (n=1,2,3,…) ①求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3 (n∈N) 成立的 q 的取值范围；
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) =0,
n
两边同除以 pn,得： lim (2)当 p<1 时,
Sn S n 1
n
=p;
∵ p>q>o,∴ 0<q<p<1 lim p =0, lim q =0,
n n
n
n
∴ lim
Sn S n 1
n
=1
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a 1 ( q 1)( p a 1 ( q 1)( p
n
Sn S n 1
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2 2
b n 1 bn
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}的最大项和最小项的值
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n
解：Sn=
1 n
1 n
2
1
( ) ( ) ( ) n n n n n n
2 2
2
1
3
1
n
2
=(n+1)(2n+1)/(6n2);
n
解：
Sn S n 1
1) b1 ( p 1)( q 1) b1 ( p 1)( q
n
1) 1)
n 1
n 1
,以下分两种情况讨论：
(1)当 p>1 时, ∵ p>q>0,∴ 0<q/p<1 lim (
n
q p
) =0, lim (
n
n
1 p
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例 3 已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为 p,q,其中 p>q 且 q≠1, p≠1, 设 Cn=an+bn,Sn 为数列{Cn}的前 n 项和，求 lim
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②求 bn 和 lim
1 Sn
n
,其中 Sn 为数列 bn 的前 n 项的和；
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∴ 7/12>
1 12
log
a
