北京市海淀区2016届高三二模数学(理科)试题及答案

北京市海淀区高三年级二模

数学（理科）2016.5

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集=UR，{|1},{|2},MxxPxx 则()UMPð

A.{|12}xx B.{|1}xx C.{|2}xx D.{|12}xxx或

2.在数列{}na中，12a，且1(1)nnnana，则3a的值为

A.5 B.6 C.7 D.8

3. 若点(2,4)P在直线1,:3xtlyat（t为参数）上，则a的值为

A.3 B.2 C.1 D.1

4.在ABC中，34cos,cos,55AB 则sin()AB

A.725 B.725C.925 D.925

5.在5()xa(其中0a)的展开式中，2x的系数与3x的系数相同，则a的值为

A.2 B.1 C. 1 D.2

6.函数()ln1fxxx的零点个数是

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7. 如图，在等腰梯形ABCD中，8,4,4ABBCCD. 点P在

线段AD上运动，则||PAPB的取值范围是

A.[6,443] B.[42,8]C.[43,8] D.[6,12]

8.直线1:10laxya与,xy轴的交点分别为,AB, 直线l与圆22:1Oxy的交点为,CD. 给出下面三个结论：

① 11,2AOBaS； ②1,||||aABCD；③11,2CODaS

则所有正确结论的序号是 DCABP A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知21i, ia其中i为虚数单位，aR，则a__.

10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名同学，统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直方图（如图）. 则这100名同学中参加实践活动时间在6~10小时内的人数为 ___ .

11. 如图，,,ABC是O上的三点，点D是劣弧¼ BC的中点，过点B的切线交弦CD

的延长线交BE于点E. 若∠80BAC，则__.BED

12. 若点(,)Pab在不等式组20,20,1xyxyx所表示的平面区域内，则原点O到直线10axby距离的取值范围是__.

13.已知点π3ππ(,),(,1),(,0)6242ABC，若这三个点中有且仅有两个点在函数()sinfxx的图象上，则正．数．的最小值为___.

14.正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点PQR，，分别是棱11111AAABAD，，的中点，以PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高__h. 0.040.05小时108642120.12 ab频率组距RQPD1C1B1BCDA1AEODACB三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）

已知函数()2sincos2fxxx.

（Ⅰ）比较π()4f，π()6f的大小；

（Ⅱ）求函数()fx的最大值.

16.（本小题满分13分）

某家电专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如下表所示：

第一周 第二周 第三周 第四周 第五周

A型数量（台） 11

10

15

4A 5A

B型数量（台） 10 12 13 4B 5B

C型数量（台） 15 8 12 4C 5C

(Ⅰ)求A型空调前三周的平均周销售量；

(Ⅱ)根据C型空调连续3周销售情况，预估C型空调连续5周的平均周销量为10台.

请问：当C型空调周销售量的方差最小时， 求4C，5C的值；

(注：方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x为1x，2x，„，nx的

平均数)

（Ⅲ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列和数学期望.

17.（本小题满分14分）

如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，DEAB于E，CFAB于F，且2AEBFEF，2DECF.将AED和BFC分别沿DE、CF折起，使A、B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥MCDEF，点G，N，H分别是,,MCMDEF的中点.

（Ⅰ）求证：GH∥平面DEM；

（Ⅱ）求证：EMCN；

（Ⅲ）求直线GH与平面NFC所成的角的大小.

18.（本小题满分14分）

已知函数2()e()xfxxaxa.

（Ⅰ）当1a时，求函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）若关于x的不等式()eafx在[,)a上有解，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)若曲线()yfx存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围.(只需直接写出结果)

19. （本小题满分13分）

已知点1122(,),(,)(AxyDxy其中12)xx是曲线24(0)yxy上的两点，,AD两点在x轴上的射影分别为点,BC,且||2BC.

（Ⅰ）当点B的坐标为(1,0)时，求直线AD的斜率；

（Ⅱ）记OAD的面积为1S，梯形ABCD的面积为2S，求证：1214SS.

B FACDEHN

GFMCDE20.（本小题满分13分）

已知集合{|(,,,,...,),{0,1}niniXXxxxxx12，1,2}in，，,其中3n.

(,,,,...,)innXxxxx12, 称ix为X的第i个坐标分量. 若nS，且满足如下两条性质：

① S中元素个数不少于4个；

② ,,XYZS，存在{1,2,}mn，，使得,,XYZ的第m个坐标分量都是1；

则称S为n的一个好子集.

（Ⅰ）若{,,,}SXYZW为3的一个好子集，且(1,1,0),(1,0,1)XY，写出,ZW；

（Ⅱ）若S为n的一个好子集，求证：S中元素个数不超过12n；

（Ⅲ）若S为n的一个好子集且S中恰好有12n个元素时，求证：一定存在唯一一个

{1,2,...,}kn，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案

数学（理科）2016.5

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

A B D B C

A C

C

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．解：（Ⅰ）因为()2sincos2fxxx

所以 πππ()2sincos22444f„„„„„„„2分

πππ3()2sincos26662f„„„„„„„4分

因为 322,所以 ππ()()46ff„„„„„„„6分

（Ⅱ）因为 2()2sin(12sin)fxxx„„„„„„„9分

22sin2sin1xx

2132(sin)22x

令 sin,[1,1]txt， 所以2132()22yt,„„„„„„„11分

因为对称轴12t,

根据二次函数性质知，当 1t时，函数取得最大值3 „„„„„„„13分

9．1 10．58 11.60

12．1[,1]2 13． 4 14．32 16解: (I)A型空调前三周的平均销售量

111015125x台„„„„„„„2分

（Ⅱ）因为C型空调平均周销售量为10台，

所以451051581215cc„„„„„„„4分

又222222451[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5scc

化简得到22411591[2()]522sc„„„„„„„5分

因为4cN，所以当47c或48c时，2s取得最小值

所以当4578cc 或4587cc时，2s取得最小值„„„„„„„7分

（Ⅲ）依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2，„„„„„„„8分

20255(0)304012PX,

1025201511(1)+=3040304024PX,

10151(2)30408PX, „„„„„„„11分

随机变量X的分布列为

随机变量X的期望511117()0121224824EX.„„„„„„„13分

X 0 1 2

p 512 1124 18