平面的性质与直线的位置关系(教案)
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1 平面的性质与直线的位置关系（教案）
一. 知识梳理
1、平面的基本性质：三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．
2、空间两条直线
（1）空间两直线位置关系有平行、相交、异面
（2）平行直线
①公理4：a∥b,b∥c=>a∥c
②等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等
③推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
3、异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线，叫异面直线.
(2) 异面直线,ab所成的角定义： 已知两条异面直线,ab，经过空间任一点O作直线//,//aabb，把,ab所成的锐角（或直角）叫异面直线,ab所成的角（或夹角）．
为了简便，点O通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：]2,0(
4、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,ab 垂直，记作ab．
5、求异面直线所成的角的方法：
（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
6、两条异面直线公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线公垂线
7两异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段的长度
二. 基础训练
1.在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线.
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.
以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ____②____(把符合要求的命题序号都填上)
2. 如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于_30°___
3.设a、b是异面直线，则下列四个命题中： 2 ①过a至少有一个平面平行于b；
②过a至少有一个平面垂直于b；
③至少有一条直线与a、b都垂直；
④至少有一个平面分别与a、b都平行
正确的序号是______①③④_______
4.对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD.
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD.
④若AB⊥CD，BD=AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是___①④______.(写出所有真命题的序号)
5.空间四点A，B，C，D每两点的距离都为a，动点P，Q分别在线段AB，CD上，则点P与Q的最短距离是___22a_____
三.典型例题
例1.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K .求证：M、N、K三点共线.
【解题回顾】利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法.
备题说明：学会用平面的基本性质证明空间三点共线问题.
例2.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且32CDCGCBCF；求证：三条直线EF、GH、AC交于一点.
【解题回顾】利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法.
备题说明：学会用平面的基本性质证明空间三线共点问题.
3 例3.已知：∩=a，b,a∩b=A,c,c∥a,求证：b、c为异面直线.
【解题回顾】反证法是立体几何解题中，用于确定位置关系的一种较好方法，它的一般步骤是：
(1)反设——假设结论的反面成立；
(2)归谬——由反设及原命题的条件，经过严密的推理，导出矛盾；
(3)结论——否定反设，肯定原命题正确.
本命题的反面不只一种情形，应通过推证将其反面一一驳倒.
备课说明：回忆反证法，能用反证法证明两条直线异面.
例4.已知三直线a、b、c互相平行，且分别与直线l 相交于A、B、C三点，证明这三条直线共面.
变题：若有n条直线互相平行，且都与另一直线相交，证明这n+1条直线共面.
例5.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，AD上的点，请回答下列问题：
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形?
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形?
(3)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形?
【解】
(1)当AE∶AB=AH∶AD=CF∶CB=CG∶CD时，四边形EFGH为平行四边形.
(2)当E、H为所在边的中点，且32CDCGCBCF时，四边形EFGH为梯形.
(3) 当AE∶AB=AH∶AD=CF∶CB=CG∶CD，且AC⊥BD时四边形EFGH为正方形.
本题图形可作适当的变式，如A—BCD为正四面体，E，G分别为AB，CD边的中点，那么异面直线EG与AC所成的角为多少?(1990年全国高考题)
【说明】①第(1)小题的答案不惟一.
②第(3)小题的空间图形可作适当的变式，如A—BCD为正四面体，E，G分别为AB，CD边的中点，那么异面直线EG与AC所成的角为多少?即可变为1990年全国高考题.
四、反馈练习
1、三点确定一个平面的条件是________；共点的四条直线是多可以确定_______平面；
互不相交的三条直线可以确定________________平面.
解：不共线；四个；一个或两个或三个.
2、判断下列命题真假
（1）四边相等且有一个内角是直角的四边形是正方形；（ ）
（2）四点不共面，则其中任意三点不共线；（ ） 4 （3）“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；（ ）
（4）两个平面有三个共公点，那么这两个平面重合。（ ）
（5）三个平面可以把空间分成四、六、七、八个部分；（ ）
（6）过直线外一点向直线引垂线，有且只有一条；（ ）
（7）异面直线a与c、b与c所成的角相等，则a与b平行或异面；（ ）
（8）过空间任一点一定可以作一条直线与两条异面直线都相交；（ ）
解：；；；；；；；.
3、下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则PQ与SR一定是异面直线的是（ ）
解：C
4、下列一定在一个平面内的图形是 （ D ）
A、垂直于同一直线的两条直线 B、顺次首尾相连的四条线段
C、两两相交的三条直线 D、平行于同一直线的两条直线
5、下列两条直线一定是异面直线的是 （ C ）
A、分别在两个平面内的两条直线
B、没有公共点的两条直线
C、不同在任何一个平面内的两条直线
D、同时和两条异面直线相交的两条直线
6、互不重合的三个平面的交线可能有_____________________条.
解：0、1、2、3四种.
7、已知a∥c，b与c不平行、 a与b不相交，求证：a,b是异面直线.
证明：若a∥b，又a∥c，所以b∥c，与b不平行于矛盾.又a与b不相交，故a,b为异面直线.
8、正方体ABCD-ABCD中，对角线AC与平面BDC交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C、O、M共线.
解：（略）
9、已知正四面体ABCD中，BC的中点为E，AD的中点为F，连AE、CF.（1）判断AE、
CF的位置关系；（2）如是异面直线，找出它们所成的角与公垂线段.
证明：（略） A
B
C D
E F
